[PDF] 204. Connexité. Exemples et applications.





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Topologie des espaces métriques II

Les seuls sous-ensembles de R muni de la distance usuelle



TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

16 May 2005 Exemples extrêmes : ? et R sont `a la fois ouverts et fermés. ... Définition 6 Soit E un sous-ensemble de R. Une partie A ? E est dite ...



Chapitre 1 - Espaces topologiques

et X sont à la fois ouverts et fermés. Proposition 3. Dans un espace de Hausdorff X tout ensemble fini est fermé. Démonstration.





Chapitre 1 ESPACES TOPOLOGIQUES

Un espace topologique est un couple (E T ) où E est un ensemble et T une topologie sur topologique (E



Espaces topologiques connexes

Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l'en- un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et Uc définissent une ...



Cours de topologie métrique

Un ensemble F ? X est fermé si son complémentaire Fc est ouvert. Exemple 9. ? et X sont à la fois ouverts et fermés. Proposition 1. a) Pour tout x ? X et 



204:connexité.Exemples et applications.

29 May 2010 Il n'existe pas de partitions de X en deux fermés disjoints non vides. 3. Tout ensemble à la fois ouvert et fermé est égal à X ou l'ensemble ...



204. Connexité. Exemples et applications.

le sous-ensemble des éléments vérifiant la propriété P (le résultat d'existence locale assure qu'il est non vide) est `a la fois ouvert et fermé.



Espaces métriques connexes

Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l'en- semble vide. Démonstration 1 ¦ 2 est évident par passage au complémentaire.



[PDF] Ouverts et fermés chapitre 112 - cpge paradise

Dans tout le chapitre on considère X un espace metrique muni d'une distance d I Ouverts Soit O un sous ensemble de X On dit que O est ouvert lorsque ?a ? 



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Certaines parties peuvent être à la fois des ouverts et des fermés comme ? et E Dans une topologie discrètes toutes les parties sont à la fois des fermés



[PDF] Espaces topologiques

Un ensemble F ? X est fermé si son complémentaire Fc est ouvert c -à -d si Fc ? T Exemple 9 ? et X sont à la fois ouverts et fermés Proposition 



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— On reprend l'ensemble S des matrices stochastiques de Mn(R) On sait que S est fermé Pour montrer que S est compact il suffit de montrer qu'il est borné car 



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Dans un espace topologique (E T ) quelconque E est à la fois ouvert et fermé Remarque Une topologie peut aussi être définie par l'intermédiaire de ses 



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3 sept 2020 · 1 3 Voisinages ensembles ouverts ensembles fermés Définition 1 5 (Voisinage) On consid`ere (X d) un espace métrique un ensemble



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Une boule fermée Bf (a r) est un fermé de (Ed) L'ensemble T (ou Td) des sous-ensembles ouverts de (Ed) s'appelle ”la topologie” associée ` 



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(2) L'union de toute famille d'ensembles ouverts est un ouvert et donc l'in- tersection de toute famille d'ensembles fermés est un fermé de E Aussi l' 



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24 jan 2004 · 3) La topologie “discr`ete” sur un ensemble E est définie par ?E = P(E) toute partie de E est alors `a la fois un ouvert et un fermé



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L'erreur classique consiste à penser que fermé est le contraire d'ouvert Une partie peut être à la fois un ouvert et un fermé : c'est le cas de l'ensemble 

  • Comment montrer qu'un ensemble est ouvert ou fermé ?

    — Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n?1 ? X telle que xn ?? x ? O, il existe n0 tel que xn ? O pour tout n ? n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n?1 ? F on a limn?? xn ? F.3 sept. 2020

  • C'est quoi un ouvert et un fermé ?

    En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes.

  • Quand Est-ce qu'un ensemble est fermé ?

    Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en rempla?nt « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
  • Définition Un sous ensemble U de X sera dit ouvert si il est vide ou si pour tout élément x de cet ensemble on peut trouver une boule ouverte de rayon suffisamment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans U. de tous les ouverts de X s'appelle la topologie de X.

204.Connexite. Exemples et

applications.

AntoineDiez

Lecon realisee en collaboration avec GabrielLepetit En analyse, mais pas seulement, un probleme se pose souvent sous la forme tres generale suivante : Etant donne un espace topologiqueEet une proprieteP, com- ment montrer quetousles points deEverient la proprieteP?.A notre dis- position, on trouve beaucoup de theoremes d'existence locale (citons par exemple les theoremes de Cauchy-Lipschitz et d'inversion locale) et on peut se demander s'il existe un moyensimplede les globaliser a l'espace entier. C'est parfois possible avec des outils purement topologiques : lorsque l'espace ambiantEestconnexe, c'est a dired'un seul tenant, on verra qu'une facon simple de proceder est de montrer que le sous-ensemble des elements veriant la proprieteP(le resultat d'existence locale assure qu'il est non vide) est a la fois ouvert et ferme. Ce simple fait assurera alors que tout l'espace verie la proprieteP. Des ranements de ce principe ainsi que les denitions elementaires feront l'objet de la section 1. Des exemples concrets en analyse reelle et complexe seront donnes dans la section 2. Outre l'utilisation pratique que l'on peut en faire en analyse, la connexite est une notion intrinsequement topologique qui permet de classier les objets : typiquement des surfaces (on abordera brievement le cas des quadriques reelles), mais aussi des groupes topologiques parmi lesquels les groupes matriciels qui feront l'objet de la sec- tion 3. Intuitivement, cela revient a se demander si les objets que l'on considere sont d'un seul tenant, ou bien constitues deplusieurs morceauxet dans ce cas, de combien. L'essentiel des resultats theoriques et certaines applications sont tires de [Que07] et [Dol13]. Pour les resultats plus specialises, d'autres ouvrages sont cites, notamment [Rud09] pour l'analyse complexe ou [MT86] et [CG13] pour la section 3. 1

Table des mati

eres

Table des matieres

1 Espaces topologiques connexes 3

1.1 Connexite, denitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Prolongement par connexite 8

2.1 Trois theoremes d'analyse reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Quelques resultats d'analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Le theoreme de relevement continu suivi de quelques applications . .

10

3 Un autre point de vue : connexite dans les espaces de matrices 12

3.1 Groupes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Une application en algebre lineaire : une propriete de l'exponentielle

matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Une application en algebre bilineaire : les composantes connexes des

quadriques reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

References 19

2

1 Espaces topologiques connexes

La notationAtBdesignera toujours la reunion disjointe deAetB. 1

Espaces top ologiquesconnexes

1.1

Connexit e,d enitionset premiers exemples

Denition 1.1(Espace topologique connexe).SoitXun espace topologique. On a equivalence entre : (i)Si X=O1tO2ouO1;O2ouverts dansX, alorsO1=;ouO2=;. (ii)Si X=F1tF2ouF1;F2fermes dansX, alorsF1=;ouF2=;. (iii)Les seules parties ala fois ouv erteset ferm eesde Xsont;etX. Dans ce cas, on dit queXest un espace topologiqueconnexe. Exemple1.2.La droite reelle est connexe. En eet, siRse partitionnait en deux fermes (disjoints)AtB, alors soienta2Aetb2Bet c:= supfr; r2[a;b]\Ag: cest bien deni puisque l'ensemble de droite est non vide (aest dedans) et borne (parb). Or, puisqueAest ferme,c2A. D'autre part, (c;b]Bet commeBest ferme on a aussic2B. D'ouc2A\B, ce qui est contradictoire. Le proposition suivante donne une caracterisation fonctionnelle utile de la notion de connexite. Proposition 1.3.L'espace topologiqueXest connexe si et seulement si toute appli- cation continue':X!Zest constante. Preuve.()) Soitx2Xetn='(x). Puisquefng Zest ouvert et ferme dans Zet comme'est continue,; 6='1(fng)Xest aussi ouvert et ferme. OrXest connexe donc'1(fng) =Xet'est constante (egale an).

(() Supposons queXse partitionne en deux ouvertsX=O1tO2. Alors'=1O1est une applicationX!Zqui est continue (car lesOisont ouverts), elle est donc

constante. Ainsi, ou bien'= 1 etO2=;, ou bien'= 0 etO1=;.Remarque1.4.Dans l'enonce precedent, on peut remplacerZpar n'importe quel

espace discret ayant au moins deuxelements. Typiquement, on choisira souventf0;1g. Le proposition qui suit est une generalisation du resultat precedent et permet d'apprehender une premiere technique de passage du local au global par connexite. Proposition 1.5.SoientXetYdeux espaces topologiques. SiXest connexe et ':X!Yest continue localement constante, alors'est constante. Preuve.Soientx2Xety='(x). Alors'1(fyg Xest non vide et ferme dans Xcarfyg Yl'est dansYet'continue. Mais'1(fyg) est aussi ouvert puisque 'est localement constante. Par suite,'1(fyg) =Xet'est constante.3

1 Espaces topologiques connexes

Denition 1.6(Partie connexe).Une partieAd'un espace topologiqueXest dite connexelorsqu'elle l'est en tant que sous-espace topologique muni de la topologie induite. Exemple1.7.L'intervalle [0;1]Rest une partie connexe deR. On peut le voir en utilisant la propriete de la borne superieure surRdans une preuve similaire a celle de la connexite deR. Contre-exemple1.8.Qn'est pas une partie connexe deR. En eet, sir2RnQ, alorsF0:=fq2Q; qrgetF1:=fq2Q; qrgsont deux fermes (pour la topologie induite), non vides, et qui partitionnentQ. Une notion souvent utile (quoiqu'un peu moins classique) pour caracteriser les parties connexes est la notion departies separees(voir [Dol13] pour plus de details) : Denition 1.9(Parties separees).Deux partiesMetNd'un espace topologiqueX sont ditessepareeslorsque (M\N)[(M\N) =;: Proposition 1.10.SoitAune partie d'un espace topologiqueX. Il y a equivalence entre : (i)Aest connexe (ii) Si Ase partionne en deux parties separees (dansX) :A=MtN, alorsM=; ouN=;. A ce stade, on peut deja citer quelques resultats de nature topologique utilisant la notion de connexite d'une partie et qui trouveront leur inter^et dans les preuves de certains resultats des sections suivantes. Exemple1.11.Les parties connexes deRsont convexes, ce sont donc des intervalles.

La reciproque est aussi vraie.

Theoreme 1.12(Passage des douanes).SoitAune partie d'un espace topologique X. Toute partie connexeCdeXrencontrant l'interieur et l'exterieurXnAdeA rencontre@A. Preuve.[Que07] SiC\@A=;, alorsC= (C\intA)t(C\extA). Ainsi,Cse

partitionne en deux ouverts disjoints doncCne peut pas ^etre connexe.La proposition suivante, qui peut paraitre anecdotique, sera l'argument principal

de la preuve du theoreme de relevement 2.10. Proposition 1.13.Soitune relation d'equivalence sur un espace topologique connexe X. Si toutes les classes d'equivalences desont ouvertes alors il n'y a qu'une seule classe (qui estXtout entier). Preuve.Supposons que les classes sont ouvertes. Comme les classes d'equivalence partitionnent l'espace, le complementaire d'une classe est une reunion de classes d'equivalence donc est ouverte. Par connexite de l'espace, le resultat suit.4

1 Espaces topologiques connexes

1.2

Stabilit e

Onetudie dans cette section la stabilite de la notion de connexite par des operations topologiques (passage a l'adherence, reunion,...).Enoncons d'abord un des resultat fondamentaux que l'on utilisera beaucoup par la suite : Theoreme 1.14.SoientXetYdeux espaces topologiques etf:X!Yune appli- cation continue. SiXest connexe alorsf(X)est une partie connexe deY. Preuve.On utilise la proposition 1.3 : si':f(X)! f0;1gest une application continue, alors on veut montrer que'est constante. Mais puisqueXest connexe et

que'f:X! f0;1gest continue, on a directement le resultat.Une application importante de ce resultat est le theoreme des valeurs intermediaires

en analyse reelle. On conclut ce paragraphe en citant trois proprietes de stabilite to- pologique Proposition 1.15.Soient(Ai)i2Iune famille de parties connexes d'un espace topo- logiqueXtelle qu'il existei02Ipour lequelAi\Ai06=;pour touti2I. AlorsS i2IA i est connexe. Proposition 1.16.Soit(Xn)n2Nune famille d'espaces topologiques. Le produitQ n2NXn est connexe pour la topologie produit si et seulement siXnest connexe pour tout n2N. Proposition 1.17.L'adherence d'une partie connexe est une partie connexe. Notons que l'intersection de deux parties connexes n'est pas forcement connexe. Par exemple, l'intersection d'un cercle et d'une droite dansR2est parfois egale a la reunion de deux points disjoints : l'intersection n'est pas connexe elle est est constituee de deuxcomposantes connexes. 1.3

Comp osantesconnexes

Lorsque l'espace topologiqueXconsidere (ou une de ses parties) n'est pas a priori connexe, il est toujours possible de se ramener a des espaces connexes en considerant lescomposantes connexesdeX. Denition 1.18(Composante connexe).La composante connexe d'un pointx2X est le plus grand connexe contenantx:

C(x) :=[

x2CCconnexeC (Notons queC(x) est bien connexe en vertu de la proposition 1.15). La proposition suivante montre l'inter^et d'etudier l'espace "composante par com- posante". 5

1 Espaces topologiques connexes

Proposition 1.19.Les composantes des elements d'un espace topologique sont fermees et disjointes deux a deux. En particulier, elles partitionnent l'espace. On peut naturellement se demander s'il existe une maniere la plus generale pos- sible pour determiner les composantes connexes d'un espace topologique. Une reponse est donnee par les deux propositions suivantes (voir [Dol13] p.119).

Proposition 1.20.SiX=F

j2JO jou(Oj)j2Jest une famille d'ouverts connexes disjoints deux a deux, alors lesOjsont les composantes connexes deX.

Proposition 1.21.SiX=F

j2JF jou(Fj)j2Jest une familleniede fermes connexes disjoints deux a deux, alors lesFjsont les composantes connexes deX. Exercice1.22.Le graphe de l'hyperbole d'equationxy= 1 dansR2a deux com- posantes connexes. Pour le voir, il sut de l'ecrire comme reunion disjointe de deux fermes (les deux branches de l'hyperbole) chacun pouvant^etre parametre contin^ument par un reel variant dans un intervalle ouvert (donc connexe). En anticipant un tout petit peu sur le paragraphe suivant, cela montre que ces fermes sont connexes par arcs donc connexes et le resultat suit par la proposition precedente. En fait, la theorie des formes quadratiques abordee brievement dans la derniere section permet de repondre plus generalement a la question :combien l'ensembleq1(f1g)a-t-il de composantes connexes lorsqueqest une forme quadratique surRd? Contre-exemple1.23.L'hypothese de nitude dans la proposition precedente est essentielle comme le montre le contre-exemple suivant :R=F x2Rfxg. Par ailleurs, on a le : Theoreme 1.24(Sierpinski).Un espace metrique compact connexe ne peut pas ^etre partitionne en une famille innie denombrable de fermes disjoints deux a deux.[Dol13] Dans le cadre de ce texte, le theoreme precedent fait gure de curiosite topolo- gique. Ca n'est pas le cas des deux resultats suivants. Le theoreme qui suit est im- portant lorsqu'il s'agit de classier des espaces en termes de connexite. En particulier on justie qu'il n'y a pas lieu dans ce cas de distinguer deux espaces homeomorphes. Proposition 1.25.Un homeomorphismeh:X!Yentre deux espaces topologiques echange les composantes connexes deXet deY. Le theoreme suivant, d'apparence simple et intuitif, est en fait assez profond et dicile a montrer. On consultera [Que07] chapitre 6 ou [GT96] pour une preuve dans le cas general. Le cas d'une courbeC1est un peu plus simple (voir [GT98]).

Theoreme 1.26(Jordan).Soit

une courbeC0fermee simple d'imageJR2. AlorsJca deux composantes connexes : une composante bornee noteeC0et une composante non bornee noteeC1veriant@C0=@C1=J. Exercice1.27.A part les resultats concernant la bornitude des composantes connexes, le theoreme de Jordan reste vrai lorsqu'on se place sur la sphereS2: il sut d'envoyer la sphere sur la plan par projection stereographique relativement a un p^ole n'appar- tenant pas au trace de la courbe. Par contre, le resultat est faux sur un ruban de

Mobius.

6

1 Espaces topologiques connexes

1.4

Connexit epar a rcs

La connexite par arcs est une notion plus faible de connexite mais generalement plus maniable (car plus analytique). Dans les faits, les deux notions concident sou- vent, comme le montrera la proposition 1.35 Denition 1.28(Connexite par arcs).Un espace topologiqueXest ditconnexe par arcslorsque pour tout (a;b)2X2, il existe une application : [0;1]!Xcontinue telle que (0) =aet (1) =b.

Exemple1.29.La sphereSnest connexe par arcs.

Remarque1.30.A l'instar de ce qui a ete fait dans les sections precedentes, il est possible de denir les notions departies connexes par arcset decomposante connexe par arcs. Proposition 1.31.Les implications suivantes rendent compte des dierents niveaux de classication des espaces topologiques : convexe)etoile)connexe par arcs)connexe: Contre-exemple1.32.L'adherence de(x;sin(1=x)); x >0dansR2est connexe mais pas connexe par arcs Exemple1.33.Les parties connexes par arcs deRsont les intervalles Pourd2, enlever un nombre ni de points aRdne change pas son caractere connexe par arcs (ca n'est pas le cas en dimension 1). En fait, on peut en enlever beaucoup plus, comme le montre la proposition suivante. Proposition 1.34.SiDR2est un ensemble denombrable, alorsR2nDest connexe par arcs. Preuve.Soientx;y2R2nDet la mediatrice du segment [x;y]. On montre qu'il existem2 tel que le chemin m([0;1]) := [x;m][[m;y] soit trace dansR2nD.

Pour le voir, il sut de remarquer que l'ensemble

fm2; m([0;1])\D6=;g est au plus denombrable (donc distinct de tout entier) carDest denombrable et m(]0;1[)\ m0(]0;1[) =;sim6=m0.Pour conclure ce paragraphe, on montre quesouvent, il y a equivalence entre connexite et connexite par arcs. Notons que la preuve (qui utilise la proposition 1.13) montre un peu mieux que la connexite par arcs : laconnexite par lignes polyg^onales. Proposition 1.35.Un ouvert connexe d'un espace vectoriel norme est connexe par arcs. Preuve.On considere la relation d'equivalence sur l'ouvert :xysi et seulement s'il existe une ligne polyg^onale joignantxety. Les classes d'equivalences sont ouvertes car autour de tout point de l'ouvert, on peut inclure une boule ouverte dans l'espace de depart ouverte et chacun de ses points est relie au centre par un segment. On applique la proposition 1.137

2 Prolongement par connexit

e 2

Prolongemen tpar connexit e

Cette section plus analytique est dediee a quelques exemples ou la notion de connexite intervient dans le passage du local au global. 2.1

T roisth eoremesd'analyse r eelle

Voici trois applications de la notion de connexite en analyse reelle. Les preuves partielles insistent sur l'argument de connexite. Theoreme 2.1(Darboux).Sif:R!Rest derivable surRet siIest un intervalle ouvert non vide deR, alorsf0(I)est un intervalle deR. Preuve.[FGN07] On se place sur le connexeT=f(x;y)2I2; y < xget on regarde les taux d'accroissement : (x;y) =f(x)f(y)xy: L'application:T!Rest continue et son image est connexe : c'est un intervalle.

On obtient le resultat en ecrivant :

(T)f0(I)(T):quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
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