Automatique - Systèmes linéaires non linéaires
http://staff.univ-batna2.dz/sites/default/files/khamari_dalila/files/yves_granjon-automatique_-_systemes_lineaires_non_lineaires_-_2e_edition_cours_et_exercices_corriges-dunod_2010.pdf
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Vibrations non linéaires
Notes de cours
Baptiste Bergeot
baptiste.bergeot@insa-cv?.frINSA Centre Val de Loire
5A GSI -optionIngénierie Mécanique et Conception
etMaster 2mentionMécanique, Génie Civil, Matériaux, StructuresVersion 1.0 (10 février 2021)
iiB. Bergeot, Vibrations non linéaires
Table des matières
1 Introduction et résultats préliminaires
31.1 Généralités sur les systèmes mécaniques non linéaires
31.2 Exemples illustratifs
51.2.1 Exemple 1 - Réponse libre du pendule pesant
51.2.2 Exemple 2 - Réponse forcée d"un oscillateur cubique (oscillateur de Duffing)
51.2.3 Exemple 3 - Oscillations auto-entretenues
102 Méthodes d"analyse
152.1 Stabilité des systèmes dynamiques
152.1.1 Théorème de stabilité asymptotique
152.1.2 Application à un système mécanique
182.1.3 Bifurcations
202.2 Méthodes perturbatives
232.2.1 Analyse dimensionelle
232.2.2 Système étudié
252.2.3 Méthode des perturbations " naïve »
262.2.4 Méthode de Lindstedt-Poincaré
312.2.5 Méthode des échelles multiples
322.2.6 Méthode de moyennage de Bogoliubov-Krylov
382.3 Exercices
423 Forçage harmonique de l"oscillateur de Duffing
433.1 Équation du modèle
433.2 Résonance primaire
443.3 Résonances secondaires
483.3.1 Forçage fort loin de la résonance primaire
483.3.2 Résonance super-harmoniqueΩ13
503.3.3 Résonance sous-harmoniqueΩ3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.4 Exercices
574 Oscillations auto-entretenues
594.1 Amortissement négatif induit par le frottement
594.1.1 Équation du modèle
594.1.2 Analyse de stabilité de la position d"équilibre triviale
604.1.3 Solution analytique approchée par la méthode des échelles multiples
604.2 Instabilité aéroélastique d"une aile d"avion
664.2.1 Équations du modèle
664.2.2 Analyse de stabilité de la position d"équilibre triviale
68iii
ivTABLE DES MATIÈRES4.2.3 Étude des cycles limites par la méthode de moyennage. . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Exercices
75A Rappels sur les oscillateurs linéaires à 1 DDL 77
A.1 Réponse libre
77A.1.1 Système conservatif
77A.1.2 Système non conservatif
79A.2 Réponse forcée harmonique
80A.3 Principe de superposition
84A.4 Exercices
86B Code Python pour le moyennage du modèle simplifié d"aile d"avion 87
C Formules trigonométriques
91Bibliographie93
B. Bergeot, Vibrations non linéaires
Table des figures
1.1 Pendule pesant.
61.2 Simulationsnumériquesde(
1.1 de1.3 Force de rappel d"un ressort linéaire (ligne noire), d"un ressort dont la non-linéarité est
raidissante (ligne rouge) et d"un ressort dont la non-linéarité est amortissante (ligne verte).
71.4 Système masse-ressort avec amortisseur visqueux et force de rappel non linéaire.
71.6 Illustration du phénomène de résonance sur-harmonique. À gauche le cas linéaire et à
de l"intégration numérique de ( 1.4 ), et en bas le spectrogramme correspondant. 81.7 Illustration du phénomène de résonance sous-harmonique. À gauche le cas linéaire et à
de l"intégration numérique de ( 1.4 ), et en bas le spectrogramme correspondant. 91.8 Modèle phénoménologique simple permettant de reproduire des vibrations induites par
le frottement. 101.9 Intégrationnumériquede(
1.9 haut : Série temporelle. En bas : représentation dans l"espace des phases. Les trajectoiressont représentées en vert et, dans l"espace des phases, le cycle limite est représenté par
une ligne noire et la condition initiales par un point bleu. 121.10 Intégration numérique de (
1.9 En bas : représentation dans l"espace des phases. À gauche conditions initiales sont àsont représentées en vert et, dans l"espace des phases, le cycle limite est représenté par
une ligne noire et la condition initiales par un point bleu. 132.1 Bifurcation de Hopf (a) super-critique et (b) sous-critique. Figures tirées de [
12 222.2 Diagrammedebifurcationd"unebifurcationPitchfork(a)super-critiqueet(b)sous-critique.
232.3 Résultat de la méthode des perturbations " naïve ». Les solutions aux ordres 0 (i.e.
Éq. (
2.69 ), solution du système linéaire associé) et 1 (i.e. Éq. ( 2.88 )) sont comparés à l"intégration numérique directe de ( 2.612.4 Résultat de la méthode de Lindstedt-Poincaré. Les solutions aux ordres 0 (i.e. Éq. (
2.97 solution du système linéaire associé) et 1 (i.e. Éq. ( 2.103 )) sont comparés à l"intégration numérique directe de ( 2.61 vviTABLE DES FIGURES2.5 Lasolutionintermédiaire(2.139)etcelleàl"ordre1(2.138)sontcomparéesàl"intégration
numérique directe de ( 2.613.1 Points fixes de (
3.163.2 Intégration numérique des systèmes (
3.6 ) et ( 3.16 Les points bleus et rouge représentent respectivement les points fixes stables et instable.Même paramètres que dans la Fig.
3.13.3 Diagramme de bifurcation théorique (vert pour la branche stable et gris pour les branches
instables) comparé à l"amplitude du régime établi " mesurée » sur les signaux issus de
l"intégration numérique de ( 3.163.4 Évolution de l"allure du diagramme de bifurcation de bifurcation quand la raideur non
3.5 Points fixes de (
3.363.6 Intégration numérique des systèmes (
3.4 ) et ( 3.36 bleus et rouge représentent respectivement les points fixes stables et instable. Même paramètres que dans la Fig. 3.53.7 Diagramme de bifurcation théorique (vert pour la branche stable et gris pour les branches
instables) comparé à l"amplitude du régime établi " mesurée » sur les signaux issus de
l"intégration numérique de ( 3.363.8 Points fixes de (
3.443.9 Diagramme de bifurcation théorique (vert pour la branche stable et gris pour les branches
instables) comparé à l"amplitude du régime établi " mesurée » sur les signaux issus de
l"intégration numérique de ( 3.44triviale (cas 1) et en noire le cas où la première simulation est initialisée près du point
fixe non triviale stable (cas 2). Même paramètres que dans la Fig. 3.84.1 Comparaisonentrel"intégrationnumériquedu(
4.4 donnée par ( 4.40 Série temporelle. En bas : représentation dans l"espace des phases. 644.2 Comparaison entre le diagramme de bifurcation théorique (en vert) et l"amplitude du
régime établi " mesurée » sur les signaux issus de l"intégration numérique de ( 4.44.3 Modèle simplifié d"une aile d"avion.
67B. Bergeot, Vibrations non linéaires
4.5 Résultat de l"intégration numérique de (
4.51 ) pourΘ =09(à droite) etΘ =11(à gauche). Les autres paramètres sont les mêmes que pour la Fig. 4.4 694.6 Comparaison des séries temporelles issues de l"intégration numérique de (
4.51 ) (en bleu) et ( 4.67 ) (en vert) pourΘ =11. Les autres paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 4.4 724.7 Diagramme de bifurcation théorique (positions d"équilibre stables en vert et instables
en orange) et numérique obtenu en augmentantΘ(croix bleus). Les paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 4.4quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] se repérer dans l'espace ms fiche
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