[PDF] 1 Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

View - Download 1 Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Previous PDF

Next PDF

1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : détermination graphique e équation courbe (asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales

Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée,

asymptotes horizontales

Exercice 4 :

Exercice 5 :

On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative dfonction . Déterminer graphiquement ,

, puis une équation de chacune des asymptotes à .

Limites et comportement asymptotique

Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

0

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

2

1) Ci-dessous est tracée en vert .

Rappel :

Soient

Continuité en un point : :

-à-dire et en particulier

Continuité sur un intervalle :

Graphiquement, on lit :

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

3

Remarque Notation :

et 2)

Rappel : Asymptotes à une courbe

Asymptote horizontale :

Soit asymptote horizontale asymptote horizontale

Asymptote verticale :

Si asymptote verticale

Asymptote oblique :

Soit asymptote oblique

Graphiquement, on lit :

Donc la droite - est asymptote verticale à .

désigne la limite à gauche de en désigne la limite à droite de en

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

4

Par ailleurs,

Donc la droite - est asymptote verticale à

Enfin,

Donc la droite est asymptote horizontale à en et en . 0 0 tend vers - par valeurs inférieures tend vers - par valeurs supérieures

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

5

Déterminer les limites suivantes et .

Remarque préalable : Le verbe " déduire » signifie " partir de propositions prises pour prémisses

1) Déterminons

, par quotient, On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessous en bleu).

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

0

Si -, alors :

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

6

Remarque :

Cette étude de limite aurait également permis la courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessus en bleu). Autre remarque : La courbe représentative de la fonction - admet également une asymptote horizontale (représentée ci-dessous en rose) - en et en . En effet, 0

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

7

2) Déterminons

Et , par quotient,

Donc la courbe représentative de la fonction

admet une asymptote verticale . Remarque : On aurait asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction en montrant que :

Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote horizontale

en et en . En effet, on a :

Rappel : Soient , , et .

La limite en définie par :

- est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré 0

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

8

3) Déterminons

, par quotient, Et

Donc, par somme,

On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale Remarque : On pouvait également montrer en étudiant

Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote oblique

- au voisinage de et de . En effet,

4) Déterminons

Donc , la courbe représentative de la fonction - , admet une asymptote horizontale - au voisinage de .

Remarques :

- est une asymptote horizontale à en .

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

9

5) Déterminons

Il résulte de cette étude de limite que la courbe représentative de la fonction - asymptote horizontale -.

Remarque :

6) Déterminons

Donc la courbe représentative de la fonction -

-- pas horizontale.

Remarque : La courbe représentative de cette fonction admet en revanche deux asymptotes verticales

respective - et --.

Asymptote verticale

Asymptote verticale

Asymptote oblique

Courbe représentative de

la fonction

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

10

Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes puis en déduire si la courbe représentative de la

fonction admet une asymptote. Rappel : Limite d fonction composée de deux fonctions

Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que .

La fonction définie sur telle que (ou ) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction . , et désignent chacun soit un réel, soit , soit . Si Et si Alors

1) Déterminons

est la composée, définie sur , de la fonction suivie de la fonction . Et

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

11 , par composition, Et , par composition, Donc, par différence, on aboutit à une forme indéterminée de la forme ; en effet : . Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée, afin de mettre en évidence la forme factorisée de ((. est dite " » de . Or, d , par somme,

Donc, par quotient,

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

12 On en déduit que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale - au voisinage de .

2) Déterminons -(

, par composition, Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -( (- admet une asymptote horizontale au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la courbe représentative de la fonction -( (- admet une - au voisinage de .

3) Déterminons

, par composition, , par composition, Donc on aboutit à une forme indéterminée :

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

13 n --. Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée. Et , par somme, Donc Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -- dmet pas asymptote horizontale au voisinage de .

Rappel : Formes indéterminées

Les cas de formes indéterminées (

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

14

Soit -

1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes

éventuelles.

2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote

oblique.

3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes.

Soit -

1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition.

On a : , , et

Etude en :

, par composition,

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

15 , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de

Etude en :

, par composition, , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale.

PROF: ATMANI NAJIBhttp:// abcmaths.e-monsite.com

16

Etude en :

, par composition, , par quotient,

Donc, par somme,

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

[PDF] Intégrales dépendant d 'un paramètre - Math France

[PDF] Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables

[PDF] Dérivées partielles - Exo7 - Emathfr

[PDF] FICHE-56-Comment-deriver-les-fonctions-de-base-97-2003

[PDF] Calculs de dérivées Table des mati`eres 1 Fonction polynôme

[PDF] opérations sur les fonctions dérivées applications de la - LogEdu

[PDF] LA DÉRIVÉE

[PDF] Les intégrales

[PDF] contruction amateur d un vaurien - AS Vaurien France

[PDF] ecole nationale vete ecole nationale veterinaire de - VetAgro Sup

[PDF] Médecins Spécialistes

[PDF] Dermite du siège chez le sujet âgé

[PDF] Le Sud-Soudan, le 193e État du monde - 1jour1actucom

[PDF] des stages étudiants - cachemediaeducationgouvfr