LA DÉRIVÉE
Dérivée des fonctions usuelles . Définition. La dérivée d'une ... Graphiquement la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente.
FONCTION DERIVÉE
appelée fonction dérivée de f et se note f '. Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f. Ensemble de définition de f. Dérivée f '.
LA DÉRIVÉE SECONDE
Définition intuitive : Une fonction f est dite convexe sur un intervalle si pour toute paire de points sur le graphe de
Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
dans la définition de la fonction. Ainsi Bf. Bx se réfère (pour cette fonction f) toujours à la dérivée partielle suivant la première variable.
La dérivée dune fonction
3 mars 2022 lorsque cette limite existe dans R. définition 3.1.3 taux de variation instantané. (seconde forme). Le taux ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
– une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est une fonction rationnelle. En effet
SUR LA PREMIERE DERIVEE
classe des fonctions bornées et par 'BG la classe des dérivées bornées. Wtii DK)D <&Mt f'avix) Par une définition plus faible de la dérivée.
NOMBRE DERIVÉ
tend vers 0. Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a. Définition : On dit que la fonction f
RELATION ENTRE LA DÉRIVÉE DE GATEAU ET LA DÉRIVÉE
7 avr. 2021 La seule motivation qu'on donne à cette définition est que la dérivée classique d'une fonction f : R ? R est une application linéaire. On ne l' ...
Sommaire - HEC Montréal
en présence d'une fonction qui peut être décomposée en plusieurs parties que chacune de ces parties est elle?même une fonction et que ces parties ne sont pas reliées par une addition une soustraction un produit ou une division c'est qu'il s'agit habituellement d'une fonction composée
DÉRIVATION - maths et tiques
Dérivée d’une fonction Exo7 Vidéo ç partie 1 Définition Vidéo ç partie 2 Calculs Vidéo ç partie 3 Extremum local théorème de Rolle Vidéo ç partie 4 Théorème des accroissements finis Exercices Fonctions dérivables Motivation Nous souhaitons calculer p 101 ou du moins en trouver une valeur approchée Comme 101 est proche
Introduire la dérivée en 1re S - École normale supérieure
du concept de nombre dérivé d’une fonction en point mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps); zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à l’écran de la calculatrice Nombre dérivé d’une fonction en un point: définition comme limite de h
DÉRIVATION - maths et tiques
a) Étudier les limites de 0 à l'infini b) Calculer la dérivée de la fonction 0 c) Dresser le tableau de variations de la fonction 0 d) Tracer la courbe représentative de la fonction 0 Correction a) Limite en ??: Comme limite d’une fonction composée : lim ?#1# #!=lim 2?)12=+? En effet lorsque ??? on a : W=? $ 2
Tableaux des dérivées
%20primitives
La fonction dérivée - Lycée d'Adultes
3 1 Fonction dérivée Définition 2 : Soit une fonction f dé?nie sur un intervalle I Si la fonction f admet un nombre dérivé en tout point de I on dit que la fonction f est dérivable sur I La fonction notée f? dé?nie sur I qui a tout x associe son nombre dérivé est appelée fonction dérivée de f
Comment calculer la dérivée d’une fonction composée ?
Comme !=3>0, les branches de la parabole représentant la fonction dérivée sont tournées vers le haut (position « ! La dérivée est donc d’abord positive, puis négative, puis positive. c) On dresse le tableau de variations : % 0 0 0(?4)=(?4)’+ 9 2 (?4)!?12×(?4)+5=61 0(1)=1’+ 9 2 ×1!?12×1+5=? 3 2 Partie 2 : Dérivée d’une fonction composée
Comment calculer la dérivée de F ?
Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f0, qui à tout a de I associe f0(a), le nombre dérivé de f en a. Exemple : Soit f dé?nie sur R par f(x)=x2. Pour tout a , lim h!0 f(a+h) f(a) h = lim h!0 (a+h)2a2 h = lim h!0 a2+2ah+h2a2 h = lim h!0
Comment calculer la dérivation ?
Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION Etant donné f est une fonction dé?nie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim h!0 f(a+h) f(a) h existe et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f0(a).
Comment dériver une fonction ?
La première chose à faire avant de dériver une fonction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) a?n de déter- miner quelles sont les formes à utiliser.
CLASSIQUE
PIERRE-OLIVIER PARISÉ
Résumé.Nous présentons la définition de la dérivée au sens de Gateau d"une fonction d"une
variable réelle et nous montrons un lien intéressant avec la dérivée classique. Précisément,
nous montrons que la dérivée de Gateau en un pointxest linéaire si, et seulement si, la dérivée au sens classique existe en ce point. D"un point de vue pédagogique, ce point de vue permet de mieux motiver l"introduction de la dérivée de fonctions de plusieurs variablescomme une application linéaire. Ce dernier fait est parfois très surprenant pour un étudiant.
Introduction
La définition classique de la dérivée qui est enseignée dans les cours d"Analyse est, à ma
connaissance, la suivante. Définition 1.Une fonctionf:R→Restdérivableau pointx?Rsi la limite suivante existe (1)limh→0f(x+h)-f(x)h Dans ce cas, on posef?(x)comme étant la limite(1)etf?(x)est la dérivée defau pointx. Lorsqu"on apprend la définition de la dérivée d"une fonctionf:Rn→Rm, la remarquepopulaire qui suit la définition est que la dérivéeDf(x)est une application linéaire (matrice)
deRndansRm. La seule motivation qu"on donne à cette définition est que la dérivée classique
d"une fonctionf:R→Rest une application linéaire. On ne l"avait juste pas remarqué...À ma défense, la définition 1 ne nourrit pas l"intuition nous menant à penser que la dérivée
f ?(x)est une application linéaire. Dans ce court texte, je me propose de vous présenter une avenue pour mieux comprendre pourquoi on exige que la dérivée de fonctions de plusieurs variables soit une applicationlinéaire (matrice). Ce point de vue est basé sur la définition de la dérivée " directionnelle ».
Définition 2.Une fonctionf:R→Restdifférentiableau pointx?Rsi pour tout v?R, la limite suivante existe : (2)limh→0+f(x+vh)-f(x)h Dans ce cas, on posedf(x,v)comme étant la limite(2). Notons que, d"après cette définition, nous avons toujours quedf(x,0) = 0quelque soit x?Ret la fonctionf:R→R. Le but de cette note est de montrer la relation suivante entre la dérivée classique et la différentiabilité au sens de Gateau. Théorème 1.Une fonctionf:R→Rest dérivable au sens classique enx?Rsi, et seulement si,df(x,v)existe pour toutv?Ret l"applicationv?→df(x,v)est linéaire. Dans ce cas, nous avonsdf(x,v) =f?(x)vpour toutv?R.Date: 7 avril 2021. 12 PIERRE-OLIVIER PARISÉ
Lorsque l"applicationv?→df(x,v)est linéaire, c"est-à-dire quedf(x,αv+βw) =αdf(x,v)+
βdf(x,w), alorsfest ditedifférentiable au sens de GateauouGateau différentiableau pointx. Le théorème précédent mentionne simplement que la dérivabilité au sens de
Gateau est équivalente à la dérivée classique! Mais, en ragardant au travers des lunettes
de la dérivée au sens de Gateau, cela nous permet d"entrevoir pourquoi on souhaite quela dérivée d"une fonction de plusieurs variables soit une application linéaire : lorsque cette
définition est restreinte au cas des fonctionsf:R→R, elle est simplement équivalente àla définition de la dérivée classique! Donc, tout ce qu"on souhaite faire, c"est de généraliser
correctement la dérivée d"une fonctionf:R→Raux fonctions de plusieurs variables.Cependant, la dérivée de Gateau n"est pas exactement équivalente à la dérivée habituelle
dans le contexte des fonctions de plusieurs variables (appelée la dérivée au sens de Fréchet).
La bonne définition est celle attribuée à Hadamard, mais qui est équivalente à celle de Gateau
lorsqu"on se restreint aux applications linéaires. Ainsi, notre traitement montre quand même d"où provient l"idée de voir la dérivée comme une application linéaire.1.Dérivées à gauche et à droite
Pour démontrer le théorème principal, nous avons besoin d"introduire les notions de déri-
vées à gauche et à droite. Définition 3.Soitf:R→Rune fonction réelle et soitx?R. (1) la dérivée à droite defau pointxest la limite suivante, si elle existe : lim h→0+f(x+h)-f(x)hDans ce cas, on notef?d(x)cette limite.
(2) la dérivée à gauche defau pointxest la limite suivante, si elle existe : lim h→0-f(x+h)-f(x)hDans ce cas, on notef?g(x)cette limite.
La dérivée à gauche et à droite ont en fait un lien intime avec la dérivée d"une fonction.
Théorème 2.Soitf:R→Rune fonction à valeur réelle et soitx?R. La fonctionfest dérivable au pointxsi, et seulement si,f?d(x)etf?g(x)existent etf?d(x) =f?g(x). Démonstration.Il s"agit d"une propriété bien connue des limites : une limite existe si, et seulement si, la limite à droite et la limite à gauche existent. La démonstration du théorème est basée sur quelques lemmes. Lemme 1.Soitf:R→Rune fonction à valeur réelle et soitx?R. Les énoncés suivants sont équivalents : (1)f?d(x)existe. (2)df(x,v0)existe pour un certain nombrev0>0. (3)df(x,v)existe pour tout nombrev >0. Si l"un des énoncés est satisfait, alorsdf(x,v) =f?d(x)vpour toutv≥0. Démonstration.(1)?(2). Supposons quef?d(x)existe. Alors, nous avons lim h→0+f(x+h)-f(x)h existe. De la définition, on obtient quedf(x,1)existe. Donc, il suffit de prendrev0= 1. RELATION ENTRE LA DÉRIVÉE DE GATEAU ET LA DÉRIVÉE CLASSIQUE 3 (2)?(3). Supposons quedf(x,v0)existe pour un certainv0>0. Par définition, ceci indique que lim h→0+f(x+v0h)-f(x)h existe. On souhaite montrer que, pour tourv >0,df(x,v)existe, c"est-à-dire lim h→0+f(x+vh)-f(x)h existe. Soitv >0arbitraire. Posonsu:=vh/v0. Ainsi, nous avonsh→0+si, et seulement si, u→0+. De plus,v0u=vh. Par conséquent, on obtient f(x+vh)-f(x)h =vv0f(x+v0u)-f(x)u
Par conséquent, la limite lorsqueh→0+du membre de gauche existe si, et seulement si, la limite lorsqueu→0+du membre de droite existe. Comme la limite de droite existe, il s"en suite que la limite de gauch aussi et donc quedf(x,v)existe. (3)?(1). Supposons quedf(x,v)existe pour toutv >0. En prenantv= 1, on trouve que df(x,1) = limh→0+f(x+h)-f(x)h Ceci montre que la limite définissantf?d(x)existe. Enfin, supposons que l"un des énoncé soit satisfait. Ainsi,df(x,v)existe pour toutv >0 etf?d(x)existe. D"après une remarque en introduction, on sait quedf(x,0) = 0et donc df(x,0) =f?d(x).0. Soitv >0. En posantu=vhdans la définition def?d(x), on obtient f ?d(x) = limu→0+f(x+u)-f(x)u = limh→→0+f(x+vh)-f(x)vh =1v df(x,v)où la dernière égalité provient de la définition dedf(x,v). Par conséquent, on obtient
df(x,v) =f?d(x)v. Avec le casv= 0, on obtient bien l"expression désirée. Biensûr, nous avons aussi le lemme similaire pourf?g(x). Lemme 2.Soitf:R→Rune fonction d"une variable réelle et soitx?R. Les énoncés suivants sont équivalents : (1)f?g(x)existe. (2)df(x,v0)existe pour un certain nombrev0<0. (3)df(x,v)existe pour tout nombrev <0. Démonstration.La preuve est très similaire à celle du lemme 2. Nous sommes maintenant prêt à démontrer le théorème principal. Démonstration du théorème 1.Supposons quefsoit dérivable enx. Dans ce cas,f?(x)existe.D"après le théorème 2,f?d(x)etf?g(x)existent et sont égales. D"après les lemmes 2 et 1, nous
avons quedf(x,v)existe pour toutv?Ret df(x,v) =? ??f ?d(x)vsiv >0 f ?g(x)vsiv <00siv= 0.
Par conséquent, Commef?d(x) =f?g(x) =f?(x), nous avons en fait quedf(x,v) =f?(x)v pour toutv?R. La fonctionv?→f?(x)vest linéaire (c"est une droite). Ceci démontre l"implication direct.4 PIERRE-OLIVIER PARISÉ
Supposons maintenant que l"applicationv?→df(x,v)est linéaire. Par conséquent, pour toutα,β?Ret toutv,w?R, nous avons df(x,αv+βw) =αdf(x,v) +αdf(x,w). En prenantα=β= 1etv= 1etw=-1dans la précédente identité, nous obtenons df(x,0) =df(x,1) +df(x,-1). D"après une remarque faite en introduction, nous avonsdf(x,0) = 0. En utilisant les lemmes2 et 1 à nouveau, nous avons quedf(x,v) =f?d(x)vlorsquev >0etdf(x,v) =f?g(x)vlorsque
v <0oùf?d(x)etf?g(x)existent. Ainsi, on obtient finalement0 =f?d(x)-f?g(x)
ce qui fournitf?d(x) =f?g(x). D"après le théorème 2, la dérivéef?(x)existe.2.Exemple instructif
Soitf(x) :=|x|où| · |est la fonction valeur absolue définie par |x|:=? ??xsix >0 -xsix <00six= 0.
Lorsquex >0, un petit calcul de limite fournit
df(x,v) =v(v?R). Lorsquex <0, un autre petit calcul de limite fournit df(x,v) =-v(v?R). Donc, pour chaquex?= 0, la fonctionv?→df(x,v)est linéaire (elle est soitvlorsquex >0, soit-vlorsquex <0). D"après le théorème 1, la fonctionfest dérivable enx?= 0avec f ?(x) =? ?1six >0 -1six <0. Mais, enx= 0, il y a un problème. En effet, siv >0, nous avons df(0,v) = limh→0+hvh =v.Siv <0, alors
df(0,v) = limh→0+-hvh =-v.Dans ce cas, nous obtenons
df(0,v) =? ??vsiv >0 -vsiv <00siv= 0.
La fonctiondf(0,v)n"est pas linéaire. En effet, siv= 1etw=-1, on obtient df(0,0) = 0maisdf(0,1) +df(0,-1) = 2. Donc, d"après le théorème 1, la fonctionfn"est pas dérivable enx= 0! RELATION ENTRE LA DÉRIVÉE DE GATEAU ET LA DÉRIVÉE CLASSIQUE 5Morale
Bref, nous savons maintenant que la dérivabilité d"une fonction d"une variable réelle en unpointx?Rest équivalente à la linéarité d"une certaine application (la fonctionv?→df(x,v)).
La morale de l"histoire est donc : un bon point de vue permet de voir pourquoi une certainedéfinition a été introduite. J"espère que je vous aurez éclairé sur le fait que la dérivée d"une
fonction de plusieurs variables est vue comme une application linéaire (matrice)!Université Laval
Email address:pierre-olivier.parise.1@ulaval.ca
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