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M1 TTS - UFR STEP - Université Paris 7 Cours d"Optique et Physique des Ondes

Partie 2 : Les ondes progressives

Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations

affectant un système possédant un grand nombre de degré de liberté. Dans le chapitre précédent, nous

avons étudié le comportement vibratoire d"une chaîne d"oscillateurs mécaniques constituée d"un nombre

finiNde masses. Un tel systèmeferméoscillait librement selonNmodes de vibrations stationnaires.

LorsqueNdevient infini, les vibrations ne restent plus confinées dans une région fermée de l"espace, mais

vont plutôt sepropagerdepuis le point où elles ont pris naissance suite à une perturbation initiale. C"est

ce phénomène que nous allons ici étudier.

1 L"équation d"onde

1.1 Mise en évidence de l"équation d"onde

Pour mettre en évidence la structure mathématique du phénomène ondulatoire, nous allons étudier

le système constitué d"une chaîne infinie d"oscillateurs identiques composés de massesmet de ressorts

de raideursKmontés en série (Figure 1). Nous supposerons dans un premier temps que les masses nen-1nn+1K

a mFigure1 peuvent se mouvoir que dans la direction longitudinale. Nous supposerons également pour commencer

que les longueurs d"ondes des vibration sont "grandes" par rapport à l"espacement moyen entre les masses.

En notantala longueur naturelle de chaque ressort à l"équilibre, etXnl"écart de la masse numéronpar

rapport à sa position d"équilibre, on peut établir l"équation du mouvement de la masse numéron:

m

Xn=K(XnXn1) +K(Xn+1Xn)(1)

On constate que l"équation du mouvement pour la massenimplique la position de la massenà travers

la fonctionXnet sa dérivée secondeXn. Cependant, cette équation différentielle contient aussi une

dépendance par rapport aux positions des masse voisines à travers les fonctionsXn1etXn+1. Les

équations différentielles régissant l"évolution des massesn1,n,n+ 1, ... sont donccouplées. On a

déjà rencontré cette situation au cours de l"étude de la chaîne d"oscillateurs àNdegrés de liberté. On

a montré que le découplage de ces équations nécessite de calculer l"inversed"une matrice de dimensions

NN. Ici, puisqueN! 1, il n"est pas possible de procéder de la même manière. Il est donc impossible

de découpler ces équations. Adoptons à présent les notation indiquées sur la Figure 2 :Xn1(t)!X(xa;t);Xn(t)!X(x;t); X n+1(t)!X(x+a;t). La fonctionXest désormais une fonction continue dépendant des deux variables

xett, et nous l"échantillonnonsaux positionsxaetx+aet à l"instantt. On prendra donc garde à rem-

placer les dérivées simples par rapport au tempstpar des dérivées partielles. L"équation du mouvement

devient alors : m @2X(x;t)@t

2=K[X(x;t)X(xa;t)] +K[X(x+a;t)X(x;t)](2)Raphaël Grandin - IPGP - grandin@ipgp.fr Version du21 août 2017

Partie 2: ONDES PROGRESSIVESX(x-a,t)X(x,t)X(x+a,t) xx+ax-aFigure2

On a supposé queaest "petit", ce qui permet d"effectuer les développements limités suivants :

8>< :X(xa;t)DL'X(x;t)a@X@x +a22 2X@x 2

X(x+a;t)'00+00+00(3)

Grâce à ces développements limités, on est maintenant capable de relier les positions des masses voisines

à travers une unique fonctionX:

m @2X@t 2=K a@X@x a22 2X@x 2 +K a@X@x +a22 2X@x 2 =K a2@2X@x 2(4) Cette équation peut être réécrite sous la forme :@ 2X@x 21c
2@ 2X@t

2= 0avecc=rKa

2m(5)

Cette équation aux dérivées partielles est l"équation d"ondeouéquation de d"Alembert. Cette équation

relie la dérivée seconde par rapport au temps (t) et la dérivée seconde par rapport à la variable d"espace

(x). Le fait que la fonctionX(position d"une masse située enxau cours du tempst) vérifie cette équation

signifie queXpossède unestructured"onde. En d"autres termes, la perturbationXse propagera dans

l"espace au cours du temps, et variera en fonction du temps en tout point fixe de l"espace. Il en va de

même pour la force, la vitesse, l"accélération : toutes ces fonctions, qui sont reliées àXou à ses dérivées,

ont une structure d"onde. Le paramètrecest homogène à une vitesse : c"est lacéléritéde l"onde. En

rappellant que!o=pK=mest lapulsation proprede l"oscillateur élémentaire, on trouve quec=a!o.

1.2 Solution générale de l"équation d"onde

1.2.1 Onde progressive à une dimension

Afin de résoudre l"équation d"onde, on procède au changement de variable suivant : (x;t)!(;)avec=tx=c =t+x=c()8 >:t=+2 x=c2 (6)

Suite à ce changement de variable, il est possible d"exprimer la fonctionXpar rapport aux variables

et. Les dérivées partielles deXpar rapport àxettdoivent maintenant être calculées par rapport aux

nouvelles variableset:

8>>>>>>>><

>>>>>>>:@X@t =@X@ :=1 z}|{@@t +@X@ :=1 z}|{@@t =@X@ +@X@ @X@x =@X@ :@@x |{z} =1=c+ @X@ :@@x |{z} =1=c= 1c @X@ @X@ =)8 >>:@@t @@x =1c (7)Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 2

Partie 2: ONDES PROGRESSIVES

En appliquant une seconde fois lesopérateurs dérivée partielleidentifiés ci-dessus, on obtient :

8>>>< 2X@t 2=@@t @X@t =@2X@

2+ 2@2X@@

+@2X@ 2 2X@x 2=@@x @X@x =1c 2 @2X@

22@2X@@

+@2X@ 2 (8)

En injectant ces dérivées partielles dans l"équation d"onde (équation 5), on aboutit finalement à la

condition suivante :@2X@@ @X@ = 0(9)

Cette condition signifie que, pour que la fonctionXsoit solution de l"équation d"onde, il est nécessaire

que la fonction@X=@ne dépende pas de la variable(bien qu"à l"origine, suite à notre changement

de variable, la fonctionXet ses dérivées partielles par rapport àoupouvaient/devaienta priori

dépendre des deux variables naturelleset). Par conséquent, la fonction@X=@dépenduniquement de. On peut donc l"écrire sous la forme : @X@ ()(10) où est une fonction de. Il est maintenant possible d"intégrer@X=@par rapport à la variable pour trouver l"expression de la fonctionX. Lors de ce calcul, il ne faut pas oublier d"ajouter une

constante d"intégration appropriée. Cette "constante" d"intégration est ici, en fait, n"importe quel nombre

ou fonction ne dépendant pas de la variable d"intégration(on doit pouvoir, en différentiant l"expression

intégrée, retomber sur l"expression initiale) :

X(;) =f() +g()avecg() =Z

()(11) Les variablesetsont maintenantséparées. On peut donc écrire, en rappellant le changement de variable introduit plus haut :X(x;t) =f txc |{z} onde progressive+g t+xc |{z} onde régressive(12)

La première fonctionfcorrespond à la propagation d"une onde progressant dans le sens desxcroissants.

On peut le vérifier en cherchant le lieu des valeurs constantes def, c"est à dire les couples(x;t)tels que

tx=cest constant : lorsquetaugmente, il faut quexaugmente également pour conservertx=c=cste.

La perturbation va donc se déplacer vers lesxcroissants. Au contraire, la seconde fonctiongest identifiée

à une onde régressive se propageant vers lesxdécroissants. La solution générale de l"équation d"onde à

une dimension est donc la somme d"une onde se propageant dans une direction, et d"une autre onde se propageant dans la direction opposée.

1.2.2 Onde progressive à trois dimensions

À trois dimensions, la coordonnéexdéfinissant la position à laquelle on étudie le phenomène on-

dulatoire est remplacée par un vecteur~rdéfinissant la position dans l"espace par rapport à l"origine.

Par exemple, en coordonnées cartésiennes,~r= (x;y;z). Mais l"onde tridimensionnelle peut se propager

dans une direction différente du vecteur position courante. On doit donc introduire un second vecteur~

indiquant la direction et le sens de propagation de l"onde. La solution de l"équation d"onde prend alors

la forme :A(~r;t) =A(x;y;z;t) =F(ct~:~r) +G(ct+~:~r)(13) Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 3

Partie 2: ONDES PROGRESSIVES

1.2.3 Onde sphérique

Un cas particulier d"onde se propageant dans les trois dimensions de l"espace est l"onde sphérique.

Soit une fonctionsdu tempstet de l"espace(x;y;z)solution de l"équation d"onde. L"équation d"onde

s"écrit alors : r 2s1c 2@ 2s@t

2= 0(14)

oùr2correspond à l"opérateurlaplacien, etrcorrespond à l"opérateurnabla. Puisquesne dépend que

de la variabler, son laplacien s"écrit, en coordonnées sphériques : r

2s=@2s@r

2+2r @s@r (15) On va ici procéder au changement de variable suivant : u=rs=)8 >>>>>>:@u@r =s+r@s@r 2u@r

2= 2@s@r

+r@2s@r 2 2u@t

2=r@2s@t

2=) r2s=1r

2u@r 2 =)@2s@t 2=1r 2u@t 2(16) On peut donc réécrire l"équation d"onde avec la fonctionu: 2u@r 21c
2@ 2u@t

2= 0(17)

Le fait que l"opérateur différentielr2soit remplacé par une dérivée partielle@2=@r2traduit le passage

d"un problème tridimensionnel à un problème unidimensionnel. On retrouve ici l"équation d"onde à une

dimension, dontuest solution. La fonctionuest donc de la forme donnée par l"équation 12 : u(r;t) =f trc +g t+rc =)s(r;t) =1r f trc +1r g t+rc (18) La fonctionssubit une atténuation géométrique en1=r.

1.3 Structure de l"onde progressive

Sur unesurface d"onde(ou unfront d"onde),f(tx=c)garde la même valeur en tout point, àtfixé

(idem pourg). La géométrie des surfaces d"onde dépend de la géométrie de la source et de sa distance :

- source ponctuelle : surface d"onde sphérique - source linéique : surface d"onde cylindrique - source planaire : onde plane

Le vecteur unitaire~est le vecteur normal à la surface d"onde. À suffisamment grande distance de la

source, quelle que soit la géométrie de la source, les surfaces d"onde peuvent généralement être considérés

comme localement planes. On parle alors deplan d"onde.

Quoi qu"il en soit, il ne faut pas confondre la géométrie des plans d"onde (perpendiculaire au vecteur

~) et la direction du mouvement des particules~ulors de leurs ondulations (ou de toute autre variable

vérifiant l"équation d"onde). Ici, nous avons considéré~u~X, c"est à dire que le mouvement des particules

s"effectue dans la direction(Ox). Il s"agit d"un modelongitudinalde mouvement (Figure 3). Les ondes

acoustiques ou les ondes sismiques de compression (ondesP) partagent cette caractéristique. Mais nous

aurions également pu étudier les vibrationstransverses, pour lesquelles~u~You~u~Z. Les vibrations

d"une corde dans une guitare ou un piano, ou les ondes de cisaillement en sismologie (ondesS) font partie

de cette catégorie.Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 4

Partie 2: ONDES PROGRESSIVESX(x,t)

X x,t x O Y x,t Y x,t x Z x,t x x xy O y zz Z x,t

Modes transversesMode longitudinalPlan d'onde

Vue axonométrique Vue dans le plan d'ondeFigure3

2 Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)

2.1 Définition

Dans la suite, nous allons nous focaliser sur l"étude d"un type d"onde particulier satisfaisant l"équation

d"onde. Il s"agit desondes planes progressives harmoniques(OPPH). Leur caractère particulier tient à

la forme de la fonctionf:f txc =Acos[p(x;t)] =Acos(!tkx+o)(19)

Il s"agit d"une fonctionharmonique, c"est à diresinusoïdale. C"est bien une fonction des deux variables

x(espace) ett(temps). Dans l"équation ci-dessus, le termep(x;t) =!tkx+oreprésente laphase

de l"OPPH au point(x;t)considéré. Quant à la constanteo, celle-ci désigne laphase à l"origine, c"est

à dire la valeur de la fonctionpà l"instant initialt= 0et à la position d"originex= 0:o=p(0;0)1.

Les deux constantes!etksont respectivement lapulsationde l"onde et la norme du vecteur d"onde~k=k~.

Une OPPH est associée à une pulsation!unique. Or, cette pulsation est reliée à la fréquencefde

l"onde par la relation :f=!=2. En éléctromagnétisme, la fréquence d"une onde électromagnétique dans

le domaine visible détermine directement lacouleurde la lumière associée à cette onde. Les OPPH sont

donc également souvent dénomméesondes monochromatiques. L"OPPH définie ci-dessus comporte deux composantes depériodicité: - périodicité temporelle : à x fixé,T=2! =1f - périodicité spatiale : à t fixé,=2k =1 oùfest lafréquenceetest larépétence. r d rM

Ofront

d'onde xy z u z u x u yFigure4Implicitement, en ne retenant que la normek=jj~kjj dans l"équation 19, on a supposé que les OPPH ici considé- rées se propagent dans la direction(Ox). Le vecteur~ksera dans ce cas parallèle à l"axe(Ox). Cependant, dans le cas général, pour une OPPH se propageant dans une direction quelconque de l"espace, il convient de considérerfsous la forme : s(M;t) =Acos(!t~k:~r+o)(20)

où~r=!OMest le vecteur position au pointM. Les vecteursket!OMne pointent pas nécessairement dans

la même direction. On a défini le front d"onde comme l"ensemple des valeurs dextelles ques(M;t) =1. Mais on peut avoirp=opour d"autres couples(x;t)!Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 5

Partie 2: ONDES PROGRESSIVES

Acosp=cste àtfixé. En différenciantpàtfixé, on peut montrer que cette condition implique :

p=cste)(dp)t= 0 =~k:d~rsur une surface d"onde. Par conséquent, pourd~rappartenant au front d"onde, ~kest perpendiculaire àd~r. On en déduit que~kest donc perpendiculaire au front d"onde

(Figure 4). Pour l"OPPH se propageant selon(Ox), cela signifie que les plans d"ondes sont parallèles

au plan(Oyz)(Figure 3). On a alors~k=kx:~ux(où~uxest un vecteur unitaire dirigé selon(Ox)),!OM=~r=x:~ux+y:~uy+z:~uzet~k:~r=kx:x.

On définit lavitesse de phasecomme la vitessevà laquelle se déplace un plan d"onde défini par

p=cste. Cette vitesse peut être trouvée en différenciantp. p (x)v d t

à t+dt

à tFigure5Pour l"OPPH se propageant dans la direction(Ox), cela donne : dp=@p@t dt+@p@x dx=!dtkdx= 0 =)v =dxdt =!k (21) où l"on rappelle que la conditiondp= 0provient de la définition de la surface d"onde, i.e.p= cste. La longueur d"ondecorrespond à la distance séparant deux plans d"onde successifs, correspondants àpetp+ 2(Figure 5). On a donc :=vT.

On notera enfin que la "constante"

~kdevra être considérée dans le cas général comme une fonction de la pulsation!:~k=~k(!). La relation permettant d"exprimer~ken fonction de!est appelée larelation de dispersion.

2.2 Représentation complexe des OPPH

La représentation complexe de l"OPPH de pulsation!se propageant dans la direction~ks"écrit : s(~r;t) =Acos(!t~k:~r+o) =Re Aexp i(!t~k:~r+o) =Re Aexp i(!t~k:~r) avecA=Aeio: amplitude complexe =Re(s(~r;t))avecs(~r;t) =Aexp i(!t~k:~r)(22)

On se restreint ici au cas de l"OPPH se propageant dans la direction(Ox). Les propriétés de dérivation

de la fonction exponentielle impliquent : @s@t =i!set @s@x =ikxs=iks(23)

Puisquesest solution de l"équation d"onde :

2s@x 21c
2@ 2s@t 2= 0) k 2!2c 2 s= 0(24)

Une solution non triviale (s6= 0) existe si :

k=!c )v =!jkj=c(25) On remarque que lavitesse de phasevne dépend pas ici de la pulsation!. Les OPPH se propagent

alors à la même vitesse, quelle que soit la fréquence de l"onde. La propagation est ditenon dispersive.

2.3 Superposition des deux OPPH

Lorsqu"on superpose deux OPPH de même pulsation, un phénomène d"interférencese produit. L"onde

résultant de l"addition de deux OPPH de même pulsation!, de même amplitudeAoet de vecteurs d"ondeCours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 6

Partie 2: ONDES PROGRESSIVES

k1;2proches s"exprime2:

A=A1+A2

=Aocos(~k1:~r!t+1) +Aocos(~k2:~r!t+2) = 2Aocos12 (~k1~k2):~r+2 |{z} modulation d"amplitude:cos12 (~k1+~k2):~r!t+1+22 |{z} ondeavec=12(26)

La structure de l"onde résultante est celle d"une onde de pulsation!, de vecteur d"onde1=2(~k1+~k2), et

dont l"amplitude estmoduléepar une fonction spatiale de structure sinusoïdale. L"onde progresse donc

dans l"espace selon la direction moyenne des deux ondes incidentes, mais son amplitude est en tout point

"bornée" par un facteur ne dépendant que de la coordonnée spatiale. En d"autres termes, même si l"ondeFigure

d'interférencesVolume d'interférences Ecran

Fentes

Source

1 er zéro 2

ème

zéroFigure6résultante se propage dans le temps et l"espace, l"onde peut être localement "éteinte" par le terme de modulation d"amplitude. Cela implique que la fi- gure d"interférence induite sera immobile, même si l"amplitude réelle de l"onde résul- tante en un point donné (i.e. à~rfixé) os- cille tout de même en fonction du temps.

En effet, pour des ondes lumineuses, l"oeil

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