[PDF] Sommaire Figures 1. Intégrales doubles





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Chapitre 3 Intégrale double

Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c



Chapitre17 : Intégrale double

4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre17 : Intégrale double II Définition de l'intégrale double d'une fonction continue et bornée.



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

plan`etes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est — entre autre — nécessaire pour Théoreme 9.2.1 (Intégrale double et volume sous le graphe).



Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

3.2 – Intégrales doubles. Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan. ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables. ‚ Intégrale double.



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert En un mot on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées.



Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

La pile au dessus de (x y) ? ? est de hauteur f(x



Résumé sur les intégrales doubles

On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et on note : . 2. Calcul des intégrales doubles :.



Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert En un mot on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées.



L2 - cursus prépa Fiche de cours : Intégrales doubles (08/04/15

8 avr. 2015 La valeur commune de ces deux intégrales est appelée intégrale double de f sur le pavé P = [a; b] × [c; d] et est notée.



Chapitre 3 Intégrale double - unicefr

Chapitre 3 Intégrale double Nous allons supposer le plan usuelR2muni d’un repère orthonormé (Oij) 3 1Aperçu de la dé?nition formelle de l’intégrale double Soit R=[ab]×[cd] (a



Bases de la Géotechnique Module MXG4 IUT Génie Civil et

l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 2) Deuxième Décomposition • D un domaine borné de IR2 de frontière ?D intersectée au plus en deux points par toute droite d’équation y=cte



Chapitre17 : Intégrale double

CHAPITRE 17 INTÉGRALE DOUBLE V CHANGEMENT DE VARIABLE (ADMIS) (Ne pas chercher à savoir ce que signifie « compact deR2 » savoir seulement que les domaines définis dans les hypothèses de Fubini – tels que définis au paragraphe précédent – sont des compacts quarrables



CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques

encadrement de l'intégrale de la fonction carré sur [1 ; 2] En augmentant le nombre de sous-intervalles la précision du calcul s'améliore car l'encadrement formé de rectangles inférieurs et supérieurs se resserre autour de la courbe



INTÉGRALES DOUBLES

INTÉGRALES DOUBLES § 1 — Intégrales doubles à variables séparables 1 § 2 — Intégrales doubles par intégrations successives 2 § 3 — Intégrales doubles par passage en coordonnées polaires 3 § 4 — Exercices de synthèse 4 § 1



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L’intégrale de Riemann Vidéo — partie 2 Propriétés Vidéo — partie 3 Primitive Vidéo — partie 4 Intégration par parties - Changement de variable Vidéo — partie 5 Intégration des fractions rationnelles Fiche d’exercices ? Calculs d’intégrales Motivation Nous allons introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple

Comment calculer la double intégrale?

Ce nombre Iest fourni par des abaques établis pour des géométries données de chargement, ce qui permet de s’affranchir du calcul de la double intégrale. 5.5.2 Charge uniforme circulaire Dans l’axe d’une charge circulaire uniforme de rayon R, à la profondeur z(Fig. 5.4-b), on a : I= 1 1 1 + (R=z)2 3=2

Qu'est-ce que les doubles intégrales ?

L'introduction de doubles intégrales. La base et la diffusion des diagrammes d'Euler – un graphiques concis et visuels qui montrent les ensembles de relations, quelle que soit leur origine. Par exemple, ils permettent de montrer que l'ensemble infini de nombres naturels est inclus dans l'ensemble infini des nombres rationnels , et ainsi de suite.

Quels sont les applications d'une intégrale double ?

Une intégrale double est une intégrale qui s'applique à une fonction de 2 variables. Comment calculer une intégrale double ? Le calcul d'intégrale double, est équivalent à un calcul de deux intégrales consécutives, de la plus intérieure à la plus extérieure.

Quelle est la propriété des intégrales doubles?

Propriétés des intégrales doubles : ? L’intégrale double sur un domaine D est linéaire : ? Si D et D’ sont deux domaines tels que , alors ? Si en tout point de D, avec f non identiquement nulle, alors

Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Descrition hiérarchisée de. . . . . . . .1

1.2. Intégrale double . . . . . . . . . . . . . .2

1.3. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . .3

1.4. Un cas particulier . . . . . . . . . . . . .3

1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Changement de variables . . . . . . . . .4

1.7. Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .52. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée de. . . . . . .6

2.2. Changement de variables . . . . . . . . .6

2.3. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . .6

2.4. Coordonnées sphériques . . . . . . . . .8

3. Calculs divers9

3.1. Aire ou volume de. . . . . . . . . . . .9

3.2. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.3. Centre d"inertie . . . . . . . . . . . . . . .10

3.4. Moments d"inertie . . . . . . . . . . . . .10

3.5. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .12Figures

1 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . .3

3 Coordonnées Polaires . . . . . . . . . . .5

4 Intégrale double en polaires . . . . . . . .55 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . .7

6 Coordonnées Cylindriques . . . . . . . . .8

7 Intégrale triple en cylindriques . . . . . .9

8 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . .10

9 Intégrale triple en sphériques . . . . . . .11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée deR2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée deR2:

l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure 1, page suivante.

On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2

variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]

y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

xΔ a b x u(x)v(x)

OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné deR2Définition :fcontinue sur, un fermé borné deR2, si on dispose d"une description hiérarchisée

de, on appelle intégrale double defsur: I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x)

u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées

Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124

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Intégrales doubles et triples12 - 31.3. Théorème de Fubini : inversion des bornes

Théorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0

BBBB@Z

(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure 2, ci-dessous. y xΔ cd y

(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est diérent, mais le résultat est le

même.

1.4. Un cas particulier

On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c

(y)dyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 4Intégrales doubles et triplesAinsi, dans ce cas :

'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

1.5. Propriétés

a/ Linéarité

Théorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérarchisée de

.etdeux réels. Alors :" f(x;y)+g(x;y)dxdy=" f(x;y) dxdy+" g(x;y) dxdy b/ Positivité

Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de. Alors :" f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domaines

Théorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :"

1[2f(x;y) dxdy="

1f(x;y) dxdy+"

2f(x;y) dxdy

Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :" D f(x;y) dxdy6" f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts deR2.

D etdeux fermés bornés deR2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.

On note :

(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.

Alors :"

f(x;y) dxdy=" D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

@x@u @x@v @y@u @y@v

Notons qu"on fait un changement de variable :

pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées.

Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 51.7. Changement de variables en coordonnées polaires

Théorème :On pose8

>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy=" g(;)dd=" f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure 3, ci-dessous. yquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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