Feuille dexercices : Les transformées de Laplace et Fourier PDF

TD 5 Transformation de Laplace

14 oct. 2016 Exercice 9 : On considère l'équation différentielle (1) y'' + 2y' + ... Solution : Ce sont des équations différentielles linéaires à coefficients ...

Transformée de Laplace Exercices Simples

3)Équations différentielles. Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les équations suivantes : a) x (t)+3x (t)+2x(t) = 0 avec : x(0) = 1 et x (0)

Transformées de Laplace des fonctions et des distributions

exercices). ⋄ Exemple. Soit `a résoudre l'équation différentielle y′′(t) + y(t) =

COURS ET EXERCICES DE REGULATION

Les connaissances dépassant le niveau serons exposées notamment des équations différentielles à la transformée de. LAPLACE. Ce polycopié se divise en deux

Contrôle des Systèmes Linéaires

équations différentielles avec ou sans second membre alors que la résolution d'équation Transformée de Laplace et équations différentielles. 1. Exercice : ...

T.D. Série n 6: Transformée de Laplace

fonctions usuelles et d'utiliser la transformée de Laplace pour résoudre certaines équations Exercice 2 (Résolution d'équations différentielles linéaires). 1.

Transformées de Laplace des fonctions et des distributions

exercices). ⋄ Exemple. Soit `a résoudre l'équation différentielle y′′(t) + y(t) =

Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés

On considère un système régi par l'équation différentielle : Calculer la réponse de ce système à une rampe d'entrée e(t) = t. Exercice 1.2 : Asservissement de

Transformation de Laplace

équations différentielles linéaires avec conditions initiales (problème de Cauchy). Exercice 8 : Utiliser la transformation de Laplace pour résoudre le ...

Exercices supplémentaires corrigés

avec y(0) = 0 y (0) = 2 . Exercice 2. Résoudre le système (b) La transformée de Laplace de l'équation différentielle est : s2Y − 2 ...

Transformée de Laplace Exercices Simples

3)Équations différentielles. Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les équations suivantes : a) x (t)+3x (t)+2x(t) = 0 avec : x(0) = 1 et.

TD 5 Transformation de Laplace

14 oct 2016 notamment les équations et les systèmes différentiels linéaires ... Exercice 1 : Calculs explicites de transformées de Laplace.

Feuille dexercices : Les transformées de Laplace et Fourier

2 avec yp0q “ 0 et y1p0q “ 1. Exercice 4 (L'oscillator harmonique avec frottement). On consid`ere l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique

Transformées de Laplace des fonctions et des distributions

les équations différentielles deviennent des équations algébriques Exercice 1.7.2 On rappelle que la transformée de Laplace de la fonction : t ??.

TD Transformée de Laplace

avec ?2 = ?2 + ?2. 2. Page 3. Exercice 2. Transformées inverses. Donner l'expression de la fonction

TD 1 Transformation de Laplace

Exercice 1. On consid`ere les fonctions suivantes définies sur R+. Pour chacune de ces fonctions on vous demande de déterminer la transformée de Laplace et

Contrôle des Systèmes Linéaires

qui à une équation différentielle en la variable t fait correspondre un polynôme en une variable p

TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES 2ème

Déterminez la transformée de Laplace des deux équations et en déduire la solution dans le Exercice 3 : Résolution d'une équation différentielle.

COURS ET EXERCICES DE REGULATION

Les connaissances dépassant le niveau serons exposées notamment des équations différentielles à la transformée de. LAPLACE. Ce polycopié se divise en deux

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.

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Comment résoudre une équation différentielle ?

11 1 ppp11 21 pp1 On applique alors la transformée de Laplace inverse. L -1(Y(p)) = L -1( 21 pp1 y(x) = 2 L -1( 1 p?1 ) ? L -1( 1 p On obtient alors la solution de l’équation différentielle. y= 2.ex? 1 b. Exercices En utilisant la transformée de Laplace et la transformée inverse, résoudre les équations différentielles suivantes.

Comment calculer l'équation différentielle ?

On considère l'équation différentielle y ? + y = etU(t), y(0) = 1. Soit y une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace F. Exprimer, en fonction de F, la transformée de Laplace de y ? . Démontrer que F satisfait l'équation F(p) = p (p ? 1)(p + 1).

Comment calculer la transformée de Laplace inverse ?

Calculer la transformée de Laplace inverse des fonctions suivantes : Soit (E) l’équation différentielle : y’ + y = e t U (t) avec y (0) = 1. Soit f une fonction solution de (E) de transformée de Laplace F (p). Calculer F (p) et en déduire f. Soit (E) l’équation différentielle : y’ ‘ -3y’ + 2y = e 3t U (t) avec y (0) = 1 et y' (0) = 0.

Universite de Paris 6

Series de fonctions et integrales a parametre (2M261) Janvier{Mai 2018.Feuille d'exercices : Les transformees de Laplace et Fourier Convention :Dans la suite, pour un reeldonne, on noteEleC-espace des fonctions pour toutt¥0.

La transformee de Laplace

Exercice 1.Pour chacune des fonctionsr0;8r ÑCsuivantes, trouver sa transformee de Laplace. (On ne fera pas attention au domaine de denition de la transformee pour l'instant.)

1.fptq et, ouest un nombre complexe.

2. (i)uptq cospbtq, oubest reel.

(ii)vptq sinpbtq, oubest reel.

3. (i)ptq tcospbtq, oubest reel. (ii) ptq tsinpbtq, oubest reel.

4. (i)ptq eatcospbtq, ouaetbsont reels.

(ii)ptq eatsinpbtq, ouaetbsont reels.

5. (i)ptq ta, ouaest un reel strictement positif. (Indication : Utiliser la fonction .)

(ii)ptq tn, ounest un entier strictement positif. (iii)ptq epttapoura¡0 etpPR. Exercice 2.Soientpetqdes polyn^omes complexes. On suppose que degp degqet que les racines deqsont distinctes. On ecritq ps1qpsnq.

1. Montrer que si

ppsqqpsqA1s1:::Ansn; est la decomposition en elements simples, alors A kppkqq 1pkq:

2. Montrer que

LA1e1t:::Anentppsqqpsq:

En deduire une fonction dont la transformee de Laplace est s3s 41.
1

1 Applications de la transformee de Laplace aux equations dierentielles

Exercice 3.Trouver une solutions des equations dierentielles ordinaires suivantes a l'aide de la transformation de Laplace.

1.y23y12y0 avecyp0q 2 ety1p0q 3.

2.y1ycosptq, avecyp0q 1.

3.y24ysint, avecyp0q 1 ety1p0q 0.

4.y2y1t2, avecyp0q 0 ety1p0q 1.

Exercice 4(L'oscillator harmonique avec frottement).On considere l'equation dierentielle d'un oscillateur harmonique avec frottement et vitesse initialev00 : mx

22cx1ptq kxptq 0;

xp0q 0; x

1p0q v0:(Os)

(Icim¡0 est la masse,k¡0 est une constante de raideur, etc¥0 est une constante de frottement.)

Dans la suite on supposem1 et on ecrit c2k.

1. On admet l'existence d'une solutionxde (Os) telle quex;x1PE. Determiner la transformee

de Laplace dex.

2. Determiner une solution de (Os) dans le cas ¡0. [Indication : On fera appel au fait que

Ltetupsq psq1pourPC.]

3. Determiner une solution de (Os) dans le cas 0.

4. Dans le cas 0 etc¡0, quel est la limite de la solutionxque vous avez obtenu quand

tÑ 8? Exercice 5.Trouver une solution de l'equation dierentielle xy

2 p2xqy1y0

par la methode d'Euler-Laplace.

La transformee de Fourier

Exercice 6.Soit

ptq et2{2. On souhaite calculer sa transformee de Fourierp :RÑC.

1. Montrer que

p est derivable et quep

1pxq xp

pxq.

2. Montrer que

p pxq Cex2{2pour une constanteC.

3. Montrer queC?2a partir de³8

8et2dt?et conclure.

Exercice 7.Soit

ptq #

0;sit 0;

e tsit¥0.

1. Calculer la transformee de Fourier ^de.

2. Montrer que

p0q p0q2 limRÑ812» R

R^ptqdt:

3. Vrai ou faux :

³8

8^pxqdxconverge?

Exercice 8.Calculer la transformee de Fourier defptq e|t|. Obtenir, a l'aide du Theoreme d'inversion, une formule pour la transformee detÞÑ11t2. Exercice 9(L'espace de Schwartz).Soit'une fonction deS(l'espace de Schwartz).

1. Montrer que la fonctiontÞÑt'ptqest aussi dansS.

2. Montrer que'1est aussi dansS.

3. Montrer que

³8

8|'ptq|dtconverge.

4. Trouver PSzt0upaire, ainsi quePSzt0uimpaire.

3quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] Feuille dexercices : Les transformées de Laplace et Fourier

Comment résoudre une équation différentielle ?

Comment calculer l'équation différentielle ?

Comment calculer la transformée de Laplace inverse ?

Universite de Paris 6

La transformee de Laplace

1.fptq et, ouest un nombre complexe.

2. (i)uptq cospbtq, oubest reel.

3. (i)ptq tcospbtq, oubest reel. (ii) ptq tsinpbtq, oubest reel.

4. (i)ptq eatcospbtq, ouaetbsont reels.

5. (i)ptq ta, ouaest un reel strictement positif. (Indication : Utiliser la fonction .)

1. Montrer que si

2. Montrer que

LA1e1t:::Anentppsqqpsq:

1 Applications de la transformee de Laplace aux equations dierentielles

1.y23y12y0 avecyp0q 2 ety1p0q 3.

2.y1ycosptq, avecyp0q 1.

3.y24ysint, avecyp0q 1 ety1p0q 0.

4.y2y1t2, avecyp0q 0 ety1p0q 1.

22cx1ptq kxptq 0;

1p0q v0:(Os)

Dans la suite on supposem1 et on ecrit c2k.

1. On admet l'existence d'une solutionxde (Os) telle quex;x1PE. Determiner la transformee

2. Determiner une solution de (Os) dans le cas ¡0. [Indication : On fera appel au fait que

Ltetupsq psq1pourPC.]

3. Determiner une solution de (Os) dans le cas 0.

4. Dans le cas 0 etc¡0, quel est la limite de la solutionxque vous avez obtenu quand

2 p2xqy1y0

La transformee de Fourier

Exercice 6.Soit

1. Montrer que

1pxq xp

2. Montrer que

3. Montrer queC?2a partir de³8

8et2dt?et conclure.

Exercice 7.Soit

0;sit 0;

1. Calculer la transformee de Fourier ^de.

2. Montrer que

R^ptqdt:

3. Vrai ou faux :

8^pxqdxconverge?

1. Montrer que la fonctiontÞÑt'ptqest aussi dansS.

2. Montrer que'1est aussi dansS.

3. Montrer que

8|'ptq|dtconverge.

4. Trouver PSzt0upaire, ainsi quePSzt0uimpaire.