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6 mars 2018 C'est une équation différentielle d'ordre 1 mais elle n'est pas linéaire. Nous ne savons pas la ... 3 Et avec Python ?

Résolution numérique déquations différentielles

En effet de la sorte

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FiPy: Partial differential equations with Python. Computing in Science & Engineering 11(3). Page 21. P. Bacchin Univ. Toulouse.

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Résolution numérique dune équation différentielle

Résolution numérique d'une équation différentielle. Exercice 1. On commence par importer les différents modules et fonctions dont nous auront besoin :.

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Chapitre 5 : Équations différentielles

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Équations di?érentielles et phénomènes de transport

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Comment résoudre les équations différentielles linéaires ?

Utilisation du module scipy pour résoudre les équations différentielles linéaires. Pour cela on utilise la fonction solve_ivp du module scipy. solve_ivp (fun, t_span, y0, method='RK45', t_eval=None, dense_output=False, events=None, vectorized=False, args=None) Fonction qui définit notre système. L'appel est de la forme fun (t, y).

C'est quoi une équation différentielle ?

Pour se détendre C'est quoi une équation différentielle ? Relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. Exemple : f ' ( x )=3? f ( x )?5 f ( x) : fonction inconnue, f ' ( x ): sa dérivée.

Comment Python peut-il être utilisé pour résoudre des équations?

Équations différentielles et phénomènes de transport

Pierron Théo

ENS Ker Lann

Table des matières

1 Introduction générale aux EDP1

1.1 Définition et classification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemples de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Cas hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Cas parabolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Cas elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Résolution des EDO - quelques rappels7

2.1 Existence et unicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Variantes de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Dépendance par rapport aux données. . . . . . . . . . . . . . 9

3 Résolution numérique des EDO13

4 Résolution des équations de transport19

4.1 Cas régulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Présentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.2 Méthode des caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.3 Dimension supérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.4 Autre calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Solutions peu régulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Résolution numérique des équations de transport31

5.1 Parenthèse culturelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Petit florilège41

i iiTABLE DES MATIÈRES Chapitre 1Introduction générale aux EDP1.1 Définition et classificationDéfinition 1.1 Un équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation du typey?(t) =f(t,y(t)) oùt?Ravecy(t)?Rn.

Théorème 1.1

Sifest gentille, il y a toujours une unique solutionyà???y ?(t) =f(t,y(t)) y(0) =y0 De plus, la solutiony(t)dépend continûment dey0.

Définition 1.2

Les EDP sont des équations d"inconnueu(t,x)?Rnavec t?Retx?Rdqui s"écrit sous la forme d"une relation pas forcément linéaire entre toutes les dérivées partielles deupar rapport à toutes les variables.

Remarque 1.1 Les EDO sont des EDP avecd= 0.

Théorème 1.2

Il n"y a aucun théorème général comme Cauchy-Lipschitz pour les EDP. Par conséquent, pour chaque équation, on doit étudier :

L"existence de solutions

L"unicité

La stabilité par rapport aux paramètres

Les approximations numériques

Les propriétés qualitatives

Il existe une classification de certaines EDP :

- les équations hyperboliques : ∂2u ∂t2=c2∂2u∂x2(équation des ondes) - les équations paraboliques : ∂u ∂t(x,t) = Δx(t,x) =n? i=1∂

2u∂x2i(x,t) (équa-

tion de la chaleur) 1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE AUX EDP

- les équations elliptiques :±ΔxV(x) =ρ(x) (Vpotentiel,ρdensité de masse connue) - les autres :i∂ψ

1.2 Exemples de résolution

1.2.1 Cas hyperbolique

1. ∂u ∂t+c∂u∂x(t,x) = 0 avecu(0,x) =u0(x) connue. Méthode des caracté- ristiques : on change de variables viav(t,x) =u(t,x+ct). ∂v ∂t(t,x) =∂u∂t(t,x+ct) +c∂u∂x(t,x+ct) = 0

On a donc

∂v ∂t(t,x) = 0 etv(0,x) =u(0,x) =u0(x). Doncv(t,x) est indépendant detdoncv(t,x) =u0(x) pour tout (t,x).

On trouve alorsu(t,x) =v(t,x-ct) =u0(x-ct).

On aimerait prolonger ce résultat pouruseulementC0ouLp, on va devoir parler de solution faible. On remarque aussi queua la même régularité queu0. Il n"y a pas d"effet de régularisation. On conserve même la normep. 2. ∂2u ∂t2-c2∂2u∂x2=Oavecu(0,x) =u0(x) et∂u∂t(0,x) =u1(x). On a envie de passer par des matrices mais la forme habituellene marche pas! Try again.

On va poserU=?U

1 U 2? ∂u ∂x∂u ∂t? ∂U ∂t=? ∂2u ∂t∂x∂2u ∂t2? ∂2u ∂x∂tc2∂2u ∂x2? ∂U2 ∂xc2∂U1 ∂x? =?0 1 c 20?

A∂U∂x

On se retrouve donc avec

∂U ∂t=A∂U∂xavecU(0,x) =? ∂u0∂x(x) u 1(x)? =U0(x).

En posantv=cU1+U2etw=cU1-U2, on a

∂v ∂w ∂t=-c∂w∂x

1.2. EXEMPLES DE RÉSOLUTION

Donc v(t,x) =v(0,x+ct) =cU1(0,x+ct) +U2(0,x+ct) =c∂u0 ∂x(x+ct) +u1(x+ct) et w(t,x) =c∂u0 ∂x(x+ct)-u1(x+ct)

Ainsi,

u(t,x) =1 2c? x+ct x-ctu1(y)dy+u0(x+ct) +u0(x-ct)2 On retrouve, comme dans le cas précédent : la propagation à vitesse finie. On n"a pas non plus de (dé)régularisation. On peut aussi avoir des solutions faibles dans le cas oùu0ouu1ne sont pas dérivables. Il y a aussi réversibilité en temps de l"équation. Remarque 1.2 On a transformé l"équation de départ en un système du pre- mier ordre de la forme : ∂U ∂t+A∂U∂x= 0 On peut se poser la question de résoudre un système de cette forme selon la diagonalisabilité deA:

1. SiA?Δn(R). On écritA=PDP-1avecD= diag(λ1,...,λn). On

change d"inconnue viaV=P-1U.

Le système devient

∂V ∂t+D∂V∂x= 0 avecV(0,x) =P-1U0= (V1,0,...,Vn,0). On a doncnéquations de transport découplées associées aux vitessesλ1,...,λn. U(t,x)ressemble donc à une somme de signaux qui se déplacent à vi- tessesλ1,...,λn.

2. SiA?Δn(C)\Δn(R). On voit que ça marche beaucoup moins bien,

par exemple avec : ∂u ∂t+i∂u∂x= 0 On écrirait bienu(t,x) =u0(x-it), ce qui ne veut pas dire grand chose.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE AUX EDP

Plus mathématiquement, on a

∂t? |u(t,x)|2dx? = 2??∂u∂t(t,x)u(t,x)dx? =-2?? i?∂u ∂x(t,x)u(t,x)dx? IPP = 2?? i? u(t,x)∂ u ∂x(t,x)dx? =-2?? i?∂u ∂x(t,x)u(t,x)dx? On a tourné en rond. Or, quand on fait pareil avec unc?Rà la place dei, on n"a pas de-à la dernière ligne, on prouve que la norme2de uest constante au cours du temps. On peut alors se demander ce qui se passe au niveau de la normeL2 dans l"équation aveci. On introduit pour cela?u(t,ξ) =? R e-ixξu(t,x)dx.

On a alors

?∂u ∂x(t,ξ) =iξ?u(t,ξ). En chapeautant l"équation de départ, on a :∂?u ∂t(t,ξ)-ξ?u(t,ξ) = 0

C"est une EDO donc on trouve

?u(t,ξ) =?u(0,ξ)etξ. On a??u(t,ξ)?2L2(dξ=C?u(t,x)?2L2(dx)(Cune constante avec desπtrès certainement).

Or??u(t,ξ)?2L2=?

R |?u(0,ξ)|2e2tξdξ. Gros problème de convergence pour ξ→+∞. La normeL2n"est plus conservée (sauf hypothèse ultra- contraignante)!

3. Dans le cas d"un bloc de Jordan de dimension non nulle, on aura une

croissance polynômiale de la normeL2, donc on arrive au même point.

On aboutit à la définition suivante :

Définition 1.3

Le système

∂U ∂t+A∂U∂x= 0 est dit hyperbolique lorsqueA?Δn(R).

1.2.2 Cas parabolique

On s"intéresse à l"équation

∂u ∂t= Δxuavecu(0,x) =u0(x).

1.2. EXEMPLES DE RÉSOLUTION

On réutilise le transformée de Fourier :?u(t,ξ) =? R de-i?x,ξ?u(t,x)dx. ?u ∂t(t,ξ) =? R de-i?x,ξ?∂u∂y(t,x)dx=? R de-i?x,ξ?Δxu(t,x)dx d? k=1-ξ2k? R de-i?x,ξ?u(t,x)dx =-?ξ?22?u(t,ξ) C"est une EDO entparamétrée parξdonc?u(t,ξ) = e-t?ξ?22?u0(t,ξ).

On trouve :

u(t,x) =1 (4πt)d2? R du0(y)e-|x-y|2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] Équations di?érentielles et phénomènes de transport

Comment résoudre les équations différentielles linéaires ?

C'est quoi une équation différentielle ?

Comment Python peut-il être utilisé pour résoudre des équations?

Pierron Théo

ENS Ker Lann

Table des matières

1 Introduction générale aux EDP1

1.1 Définition et classification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemples de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Cas hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Cas parabolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Cas elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Résolution des EDO - quelques rappels7

2.1 Existence et unicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Variantes de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Dépendance par rapport aux données. . . . . . . . . . . . . . 9

3 Résolution numérique des EDO13

4 Résolution des équations de transport19

4.1 Cas régulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Présentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.2 Méthode des caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.3 Dimension supérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.4 Autre calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Solutions peu régulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Résolution numérique des équations de transport31

5.1 Parenthèse culturelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Petit florilège41

Théorème 1.1

Définition 1.2

Remarque 1.1 Les EDO sont des EDP avecd= 0.

Théorème 1.2

L"existence de solutions

L"unicité

La stabilité par rapport aux paramètres

Les approximations numériques

Les propriétés qualitatives

Il existe une classification de certaines EDP :

2u∂x2i(x,t) (équa-

CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE AUX EDP

1.2 Exemples de résolution

1.2.1 Cas hyperbolique

On a donc

On trouve alorsu(t,x) =v(t,x-ct) =u0(x-ct).

On va poserU=?U

A∂U∂x

On se retrouve donc avec

En posantv=cU1+U2etw=cU1-U2, on a

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1.2. EXEMPLES DE RÉSOLUTION

Ainsi,

1. SiA?Δn(R). On écritA=PDP-1avecD= diag(λ1,...,λn). On

Le système devient

2. SiA?Δn(C)\Δn(R). On voit que ça marche beaucoup moins bien,

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE AUX EDP

Plus mathématiquement, on a

On a alors

C"est une EDO donc on trouve

Or??u(t,ξ)?2L2=?

3. Dans le cas d"un bloc de Jordan de dimension non nulle, on aura une

On aboutit à la définition suivante :

Définition 1.3

Le système

1.2.2 Cas parabolique

On s"intéresse à l"équation

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1.2. EXEMPLES DE RÉSOLUTION

On trouve :

L"existence de solutions

L"unicité

La stabilité par rapport aux paramètres

Les approximations numériques

Les propriétés qualitatives