Équations différentielles PDF Correction de l'exercice 1 ?.

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des b) Le second membre est f(x)=4xex.

Équations différentielles

Correction de l'exercice 1 ?. 1. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants

Chapitre 7 : Equations différentielles linéaire dordre 2

Exercice type 4. Résoudre (E) : y'' + y' ? 2y = 9ex ? 2 avec les conditions initiales y (0) = 1 y' (0) = 0. ++++++++. Solution. +. : L'équation

Équations différentielles linéaires

Corrigé du TD “Équations différentielles”. Équations différentielles 36-2 ) Construire des équations différentielles du second ordre avec second membre.

13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND

Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants Formes classiques du second membre. •. = ?( ). ( ) x P x. P n n n avec.

Équations différentielles

Exercice 1 (Partiel de Novembre 1994) On se propose d'intégrer sur l'intervalle le Résoudre l'équation différentielle homog`ene (ou sans second membre) ...

TD 6 : Equations différentielles : corrigé

corrigé succinct : Il suffit de trouver ySSM solution générale de l'équation sans second membre. (voir exercice précédent).

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

b) Equation avec second membre. Annexe : Résolution d'une équation particulière. Résoudre une équation différentielle y' = f(xy) sur un intervalle I

Exercices corrigés -Systèmes différentiels linéaires - résolution

16 déc. 2019 Corrigé. Exercice 7. - Avec second membre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]. Enoncé. Résoudre les systèmes différentiels ...

´Equations diff´erentielles dordre 2

résolution de l'équation sans second membre associée (E0); Exercice 12 : Équation différentielle du second ordre avec un polyn ôme. – Partie A –.

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles

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Exo7 - Exercices de mathématiques

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Comment résoudre une équation différentielle ?

Question 1. Résoudre l’équation différentielle. Correction : On résout l’équation homogène. donc soit est la solution générale de l’équation homogène. ssi . L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions où . Déterminer l’ensemble des points des courbes représentatives des solutions à tangente horizontale.

Comment résoudre l'équation différentielle?

Autrement dit, f ? est dérivable en 1 si et seulement si C = D. Ainsi, les solutions de l'équation sur ] 0, + ? [ sont les fonctions qui s'écrivent x ? 1 x + C ln ( x), C ? R. On va résoudre l'équation différentielle sur I 1 =] 0, + ? [ et sur I 2 =] ? ?, 0 [, intervalles où la fonction devant y ? ne s'annule pas.

Comment calculer les solutions de l’équation homogène?

Les solutions de (E. 1) sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de l’équation homogène : y(x)= 1 2 x2 1 2 x+ 1 4 +le 2x (x 2R) où l est un paramètre réel. 2.Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1, à coef?cients constants, avec second membre.

Exo7

Équations différentielles

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Ordre 1

Exercice 1Résoudre surRles équations différentielles suivantes:

1.y0+2y=x2(E1)

2.y0+y=2sinx(E2)

3.y0y= (x+1)ex(E3)

4.y0+y=xex+cosx(E4)

H???Exercice 2 Déterminer toutes les fonctionsf:[0;1]!R, dérivables, telles que

8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)

HH???Exercice 3 1.

Résoudre l"équationdifférentielle(x2+1)y0+2xy=3x2+1surR. Tracerdescourbesintégrales. Trouver

la solution vérifianty(0) =3. 2.

Résoudre l"équation dif férentielley0sinxycosx+1=0 sur]0;p[. Tracer des courbes intégrales.

Trouver la solution vérifianty(p4

) =1.

HH???Exercice 4Variation de la constanteRésoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation

de la constante :

1.y0(2x1x

)y=1 sur]0;+¥[

2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N

3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[

HH???Exercice 5

On considère l"équation différentielle

0exey=a

Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement leurs intervalles de définition, pour 1 1.a=0

2.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))

Dans chacun des cas, construire la courbe intégrale qui passe par l"origine. HH???Exercice 6

Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies surRtout entier :

1.x2y0y=0(E1)

2.xy0+y1=0(E2)

HH???2 Second ordre

Exercice 7Résoudre

1.y003y0+2y=0

2.y00+2y0+2y=0

3.y002y0+y=0

4.y00+y=2cos2x

H???Exercice 8

On considèrey004y0+4y=d(x). Résoudre l"équation homogène, puis trouver une solution particulière

lorsqued(x) =e2x, puisd(x) =e2x. Donner la forme générale des solutions quandd(x) =12 ch(2x). HH???Exercice 9 Résoudre sur]0;p[l"équation différentielley00+y=cotanx, où cotanx=cosxsinx. HH???Exercice 10

Résoudre les équations différentielles suivantes à l"aide du changement de variable suggéré.

1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;

2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).

H???2

3 Pour aller plus loin

Exercice 11Équations de Bernoulli et Riccatti1.Équation de Bernoulli (a)

Montrer que l"équation de Bernoulli

0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1

se ramène à une équation linéaire par le changement de fonctionz(x) =1=y(x)n1. (b) T rouverles solutions de l"équation xy0+yxy3=0.

2.Équation de Riccati

(a) Montrer que si y0est une solution particulière de l"équation de Riccati y

0+a(x)y+b(x)y2=c(x)

alors la fonction définie paru(x) =y(x)y0(x)vérifie une équation de Bernoulli (avecn=2). (b) Résoudre x2(y0+y2) =xy1 en vérifiant d"abord quey0(x) =1x est une solution. HH???Exercice 12 1. Montrer que toute solution sur Rdey0+ex2y=0 tend vers 0 en+¥. 2.

Montrer que toute solution sur Rdey00+ex2y=0 est bornée. (Indication :étudier la fonction auxiliaire

u(x) =y(x)2+ex2y0(x)2.) H???Exercice 13 1.

Résoudre sur ]0;+¥[l"équation différentiellex2y00+y=0 (utiliser le changement de variablex=et).

2. T rouvertoutes les fonctions de classe C1surRvérifiant

8x6=0;f0(x) =f1x

H???3

Indication pourl"exer cice2 NUne telle fonctionfest solution d"une équation différentielley0+y=c.Indication pourl"exer cice3 N1.xest solution particulière

2. cos est solution particulière Indication pourl"exer cice4 NSolution particulière : 1.12x 2. xk+1k+1exp(x) 3. lnx1+ln2(x)Indication pourl"exer cice5 N1. C"est une équation à variables séparées.

Indication pour

l"exer cice

6 N1.une infinité de solutions

2. une solution Indication pourl"exer cice8 NPour la fin: principe de superposition.

Indication pour

l"exer cice

9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.

Indication pour

l"exer cice

11 N1.(a) Se ramener à

11nz0+a(x)z+b(x) =0.

(b)y=1plx2+2xouy=0. 2. (a)

Remplacer yparu+y0.

(b)y=1x +1xlnjxj+lxouy=1x .4

Correction del"exer cice1 N1.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.

Oncommenceparrésoudrel"équationhomogèneassociéey0+2y=0: lessolutionssontlesy(x)=le2x, l2R.

Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E1). Le second membre étant polynomial de degré

2, on cherche une solution particulière de la même forme:

0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)

() 8x2R;y00(x)+2y0(x) =x2 () 8x2R;2ax2+(2a+2b)x+b+2c=x2 Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =12 x212 x+14 convient.

Les solutions de(E1)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) =12 x212 x+14 +le2x(x2R) oùlest un paramètre réel. 2.

Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.

Les solutions de l"équation homogène associéey0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R.

Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E2). Le second membre est cette fois une fonction

trigonométrique, on cherche une solution particulière sous la forme d"une combinaison linéaire de cos et

sin: y

0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)

() 8x2R;y00(x)+y0(x) =2sinx () 8x2R;(a+b)cosx+(a+b)sinx=2sinx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =cosx+sinxconvient.

Les solutions de(E2)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de

l"équation homogène: y(x) =cosx+sinx+lex(x2R) oùlest un paramètre réel. 3.

Les solutions de l"équation homogène associée y0y=0 sont lesy(x)=lex,l2R. On remarque que le

second membre est le produit d"une fonction exponentielle par une fonction polynomiale de degréd=1:

or la fonction exponentielle du second membre est la même (ex) que celle qui apparaît dans les solutions

de l"équation homogène. On cherche donc une solution particulière sous la forme d"un produit deexpar

une fonction polynomiale de degréd+1=2: y

0(x) = (ax2+bx+c)exest solution de(E3)

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Équations différentielles Correction de l'exercice 1 ?.

Comment résoudre une équation différentielle ?

Comment résoudre l'équation différentielle?

Comment calculer les solutions de l’équation homogène?

Équations différentielles

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Ordre 1

1.y0+2y=x2(E1)

2.y0+y=2sinx(E2)

3.y0y= (x+1)ex(E3)

4.y0+y=xex+cosx(E4)

8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)

Trouver la solution vérifianty(p4

1.y0(2x1x

2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N

3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[

On considère l"équation différentielle

0exey=a

2.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))

1.x2y0y=0(E1)

2.xy0+y1=0(E2)

Exercice 7Résoudre

1.y003y0+2y=0

2.y00+2y0+2y=0

3.y002y0+y=0

4.y00+y=2cos2x

1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;

2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).

3 Pour aller plus loin

Montrer que l"équation de Bernoulli

0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1

2.Équation de Riccati

0+a(x)y+b(x)y2=c(x)

8x6=0;f0(x) =f1x

Indication pour

6 N1.une infinité de solutions

Indication pour

9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.

Indication pour

11 N1.(a) Se ramener à

11nz0+a(x)z+b(x) =0.

Remplacer yparu+y0.

2, on cherche une solution particulière de la même forme:

0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)

0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)

0(x) = (ax2+bx+c)exest solution de(E3)