Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé PDF

Équations différentielles

Correction de l'exercice 1 △. 1. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants

Équations différentielles

27 févr. 2017 Équations différentielles. I Premier ordre à coefficients constants. EXERCICE 1. Résoudre l'équation différentielle proposée : 1) y′ = 3y. 2) y ...

Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé

Corrigé. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Exercice 1.1. Rappel : solution d'une équation différentielle du premier ordre. L'équation différentielle y′(x)

TD – Equations différentielles linéaires

0.3 Equation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène à coefficients constants. {{ + { + =0. Equation caractéristique du type :.

´Equations diff´erentielles dordre 1

Un exemple corrigé. On consid`ere l'équation d'inconnue y : (E) y - 2xy Exercice 12 : ´Equation différentielle du premier ordre `a coefficients non constants.

Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point

b) En projetant le PFD sur donner l'équation différentielle du mouvement de dans ℜ. L'équation du mouvement devient

MATHS Rappels Equations Différentielles Correction de la Série 2

• Exercice 3.5: Déterminer la solution de l'équation différentielle (E5) : Solution : C'est une équation différentielle du premier ordre à coefficients ...

COURS ET EXERCICES DE REGULATION

fonctionnement est décrit par une équation différentiel du premier ordre. Correction exercice 3 : Equation caractéristique : 2p. 4. +7p. 3. +9p. 2. +5p+2k+1=0.

Untitled

Exercice 2. (Equations linéaires scalaires du premier ordre). On s'intéresse ici aux équations différentielles de la forme suivante y' (t) = a(t)y(t) + f(t)

Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés

Exercice 1.2 : Asservissement de température d'un four (1er ordre) de type Exprimer l'équation différentielle liant θc(t) et θ (t). 2. Donner la ...

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.

Équations différentielles

Exercice 4 Variation de la constante Exercice 11 Équations de Bernoulli et Riccatti ... Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ...

1 Équations di érentielles linéaires du premier ordre - 1.1 Résumé

18 mai 2010 Exercice 1 (Premier ordre sans second membre : Exo 1 de la feuille 4). Déterminer les solutions maximales des équations différentielles ...

Équations différentielles linéaires

Corrigé du TD “Équations différentielles” 30: Équations d'ordre 1 à coefficients constants ... Le premier exemple ci-desous est corrigé en détail.

Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé

Corrigé. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Exercice 1.1. Rappel : solution d'une équation différentielle du premier ordre. L'équation différentielle.

´Equations diff´erentielles dordre 1

est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre. Exercice 11 : ´Equation différentielle du premier ordre `a coefficients constants.

COURS ET EXERCICES DE REGULATION

régulation les méthodes pour résoudre les équations différentielles linéaire à 2- REPONSES INDICIELLES D'UN SYSTEME DE PREMIER ORDRE : .

Équations différentielles linéaires dordre 1 Exercice 1. Déterminer

SOLUTIONS EXERCICES 7 - Équations différentielles linéaires d'ordre 1. Exercice 1. Déterminer les solutions aux problèmes homogènes suivants :.

Untitled

y'(x) + 5y(x) = 0. Exercice 2. (Equations linéaires scalaires du premier ordre). On s'intéresse ici aux équations différentielles de la forme suivante.

Exercices : cinétique macroscopique corrigés

Exercice 2 : détermination d'un ordre à l'aide de la méthode différentielle 3) Quelle est l'équation différentielle liant k [N2O5] et.

Chapitre 5 : Équations différentielles

>Chapitre 5 : Équations différentiellesWebL’objectif de ce cours est d’apprendre à résoudre une classe bien précise d’équations différentiellesc’est à dire trouver l’expression de la fonction inconnuey 1 Équations

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles

>Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentiellesWebFiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3

TD – Equations différentielles linéaires

>TD – Equations différentielles linéairesWebDu premier ordre non-homogène - Du second ordre non-homogène =+ + = 0 2 Equations différentielles à variable séparées Considérons l’équation différentielle : =Soit et deux Taille du fichier : 191KB

SOLUTIONSEXERCICES7-Équationsdi?érentielleslinéairesd’ordre1

>SOLUTIONSEXERCICES7-Équationsdi?érentielleslinéairesd’ordre1Web(c) L’équation y0= 3y+ sin(3x) + sin(2x) a comme solutions homogènes y h(x) = Ce3x et solution particulière (en utilisant les raccourcis car 3 ne dépend pas de x) de type y p(x)

1 Équations di érentielles linéaires du premier ordre

>1 Équations di érentielles linéaires du premier ordreWebExercice 2 ( Premier ordre avec second membre : Exo 4 de la feuille 4) Déteminer les solutions maximales des équations di érentielles suivantes avec la condition initiale

Exo7 - Exercices de mathématiques

>Exo7 - Exercices de mathématiquesWebOrdre 1 Exercice 1 Résoudre surRles équations différentielles suivantes: y0 +2y=x2(E1) y0 +y=2 sinx(E2) y0 y= (x+1)ex (E3) y0 +y=x ex+cosx(E4) Corection H Vidéo [0691]

Comment appelle-t-on une équation différentielle linéaire du premier ordre?

Equations différentielles linéaires du premier ordre 1. Définition On appelle équation différentielle du premier ordre à coefficients constants toute équation (E) de la forme : a. y’ + b.

Comment trouver une équation différentielle?

Trouver toutes les fonctions f: R + ? R + continues vérifiant, pour tout x > 0 , 1 2?x 0f2(t)dt = 1 x(?x 0f(t)dt)2. Dériver et trouver une (en fait, deux) équations différentielles du premier ordre vérifiées par y ( x) = ? x 0 f ( t) d t.

Qu'est-ce que l'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants?

On appelle équation différentielle du premier ordre à coefficients constants toute équation (E) de la forme : a. y’ + b. y= f(x) où aet bsont des nombres réels (a? 0), yet fsont des fonctions numériques de variable réelle x. L’équation : a .

Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année1 Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année

Corrigé

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

Exercice 1.1

Rappel : solution d"une équation différentielle du premier ordre

L"équation différentielle

y ?(x) +a(x)y(x) = 0 admet pour solutionx?→Kexp(-? a) oùKest une constante.

1.1.1On désire résoudre

y ?(x) +y(x) = 2 + 2x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène associée y ?(x) +y(x) = 0

Cette équation a pour solution générale

x?→Kexp(-x) oùKest une constante.

Rappel : Méthode de variation de la constante

On cherche à résoudre l"équation différentielle y ?(x) +a(x)y(x) =b(x) SiyHest une solution de l"équation différentielle homogène y ?(x) +a(x)y(x) = 0 alors laméthode de variation de la constanteconsiste à rechercher une so- lution particulière de l"équation différentielle avec second membre sous la forme x?→K(x)yH(x)

1généré avec LATEX2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes

sont les bienvenus àperrier@math.u-bordeaux1.fr

2Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

Afin de déterminer la solution de l"équation avec second membre, on cherche une solution de celle-ci sous la formex?→Kexp(-x), oùKest une fonction que l"on va déterminer. Il vient alors y ?(x) +y(x)=K?(x)e-x-K(x)e-x+ K(x)e-x =K ?(x)e-x y ?(x) +y(x)=2 + 2x c"est à dire queK?(x) = 2(1 +x)ex Il reste à intégrerK(on intègre par parties)

K(x)=?

2(1 +x)exdx

=[2(1 +x)ex]-? 2e xdx

K(x)=2xex+ C

oùCest une constante. Finalement, l"ensemble des solutions del"équation différen- tielle est {x?→(2x+ K)e-xK?R}.

1.1.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

y ?(x) + 4y(x) = sin(3x)e-4x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène y ?(x) + 4y(x) = 0 Celle-ci admet pour solution les fonctions de la formex?→Ke-4x, oùKest une constante. On cherche maintenant une solution de l"équation différentielle avec second membre sous la formex?→K(x)e-4x, oùKest une fonction. On a alors y ?(x) + 4y(x) = K?(x)e-4x= sin(3x)e-4x d"oùK?(x) = sin(3x) soitK(x) =-cos(3x) 3+ C Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?

K-cos(3x)

3? e -4xK?R? Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année3

Exercice 1.2

1.2.1On cherche à résoudre l"équation différentielle

2x2y?(x) +y(x) = 1

On commence par résoudre l"équation différentielle homogène

2x2y?(x) +y(x) = 0

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme x?→exp? -?du 2u2? = Kexp?12x? OùKest une constante. Cherchons à présent une solution de l"équation différentielle avec second membre, sous la forme x?→K(x)exp?1 2x?

On a alors

?y(x)=K(x)exp?1 2x? y ?(x)=K?(x)exp?1 2x? -K(x)2x2exp?12x? d"oùK?(x) =1

2x2exp?12x?

On en déduit queK(x) = exp?1

2x? Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?

K + exp?

-1 2x?? exp?12x? K?R?

1.2.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

xy ?(x) =y(x)(1-xtanx) +x2cosx Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène xy ?(x)-y(x)(1-xtanx) = 0 Cette équation différentielle a pour solution x?→exp? ??1 u-tanu? du?

4Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

En outre?

ε= 1six??

-2kπ-3π

2;-2kπ-π2?

k?N ou six??

0;π

2? ou six??

2kπ+3π

2;2kπ+5π2?

k?N

ε=-1six??

2kπ+π

2;2kπ+3π2?

k?N ou six?? 2;0? ou six?? -2kπ-5π

2;-2kπ-3π2?

k?N La fonctionx?→εxest une primitive dex?→εx, et on en déduit que l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est {x?→(εx+ K)|xcosx|K?R}.

Exercice 1.3

On cherche à résoudre l"équation différentielle (x2-1)y?+xy+ 1 = 0 Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène associée (x2-1)y?+xy= 0

On a alors

y(x) = Kexp? ?-xdx x2-1? = Kexp? -12log??x2-1??? =K?|x2-1| Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année5 oùKest une constante. Cela veut dire qu"on a y(x) =?????K ⎷x2-1si|x|>1 K ⎷1-x2si|x|<1 ou encorey(x) =K ?ε(x2-1) avec

ε= 1si|x|>1

ε=-1si|x|<1

Afin de résoudre l"équation différentielle avec second membre, on en cherche une solution sous la forme x?→K(x) ?ε(x2-1)

Il vient alors(x2-1)y?+xy= (x2-1)K?(x)

?ε(x2-1)=-1 soitK?(x) =-?

ε(x2-1)

x2-1=-ε?ε(x2-1)

On en déduit queK(x) = Arcsinxsi|x|<1

K(x) =-Argch(x)si|x|<1

Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→K + Arcsinx ⎷1-x2K?R? si|x|<1 x?→K-Argchx ⎷x2-1K?R? si|x|>1 Afin de déterminer le développement limité de la solution quivaut0en0, on ne va pas calculer le développement limité en0de la solution trouvée, mais on va utiliser la formule de Taylor y(x) =y(0) +y?(0)x+y??(0)x2

Rappel : formule de Taylor-Young

le développement limité d"une fonction de classeCnenx0s"écrit de la manière suivante y(x) =y(x0) + (x-x0)y?(x0) +...(x-x0)ny(n)(x0) n!+o((x-x0)n) Afin de déterminer les dérivées successives dey, on va utiliser le fait queyest solution d"une équation différentielle. En évaluant l"équation différentielle en0, on a -y?(0) + 1 = 0

6Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

d"oùy?(0) = 1 On dérive une fois l"équation différentielle, pour obtenir

2xy?+ (x2-1)y??+y+xy?= 0

En évaluant cette expression en0, il vient

y ??(0) =-y(0) = 0 On dérive à nouveau l"équation différentielle pour obtenir (x2-1)y(3)+ 5xy??+ 4y?= 0

On évalue cette expression en0, ce qui donne

y (3)(0) = 4 On dérive encore une fois l"équation différentielle (x2-1)y(4)+ 7xy(3)+ 9y??= 0 et en évaluant en0, on obtient y (4)(0) = 9y??(0) = 0 On dérive une dernière fois l"équation différentielle (x2-1)y(5)+ 9xy(4)+ 16y(3)= 0 et en évaluant en0, on obtient y (5)(0) = 16y(3)(0) = 64 On en déduit le développement limité suivant y(x) =x+2x33+8x515+o?x5?

Exercice 1.4

On cherche à résoudre le système différentiel ?y1 y 2?quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé

Comment appelle-t-on une équation différentielle linéaire du premier ordre?

Comment trouver une équation différentielle?

Qu'est-ce que l'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants?

Corrigé

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

Exercice 1.1

L"équation différentielle

1.1.1On désire résoudre

Cette équation a pour solution générale

Rappel : Méthode de variation de la constante

1généré avec LATEX2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes

2Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

K(x)=?

2(1 +x)exdx

K(x)=2xex+ C

1.1.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

K-cos(3x)

Exercice 1.2

1.2.1On cherche à résoudre l"équation différentielle

2x2y?(x) +y(x) = 1

2x2y?(x) +y(x) = 0

On a alors

2x2exp?12x?

On en déduit queK(x) = exp?1

K + exp?

1.2.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

4Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

En outre?

ε= 1six??

2;-2kπ-π2?

0;π

2kπ+3π

2;2kπ+5π2?

ε=-1six??

2kπ+π

2;2kπ+3π2?

2;-2kπ-3π2?

Exercice 1.3

On a alors

ε= 1si|x|>1

ε=-1si|x|<1

Il vient alors(x2-1)y?+xy= (x2-1)K?(x)

ε(x2-1)

On en déduit queK(x) = Arcsinxsi|x|<1

K(x) =-Argch(x)si|x|<1

Rappel : formule de Taylor-Young

6Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

2xy?+ (x2-1)y??+y+xy?= 0

En évaluant cette expression en0, il vient

On évalue cette expression en0, ce qui donne

Exercice 1.4