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Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master
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Synthèse sur la résolution des équations différentielles du 2nd ordre Résolution de l'équation différentielle sans second membre (E') : ax'' (t) + b ...
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Equations Differentielles´ - École Polytechnique
>Equations Differentielles´ - École PolytechniqueWeb6 CHAPITRE 1 INTRODUCTION 2 4 6 8 10 x 2 4 6 8 10 y 50 100 150 200 x 50 100 150 200 y 100 200 300 x 100 200 300 400 500 y FIG 1 3 – Portraits de Phase du Modele de
Résolution d’équations différentielles
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Chapitre 10 Équations Différentielles Linéaires
Équation différentielleType d'équation
Comment résoudre une équation différentielle ?
Résoudre une équation différentielle du 1er ordre sur I consiste à chercher toutes les fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, qui vérifient une relation algébrique mettant en jeu la fonction, sa dérivée et/ou la variable. L'inconnue, qui est ici une fonction, est traditionnellement notée y.
Quelle est la résolution d'une équation différentielle?
? La solution générale : ? La résolution de cette équation différentielle est de la forme : 22 0 ( cos() 0sin 2Z O Z T T Ae[t M e [ttavec Elle est représentée dans la figure 31.5 comme suit: Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté PAGE 236
Comment calculer une équation différentielle linéaire ?
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.
Chapitre 5 : Équations différentielles
Table des matières
1 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants 2
1.1 Équations homogènesy′(t)-ay(t)=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Équations non homogènesy′(t)-ay(t)=g(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Recherche de solutions particulières poury′(t)-ay(t)=g(t). . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.3.2 Méthode générale : variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.4 Équations avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 8
2.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82.2 Équations homogènes du 2nd ordrey′′(t)+ay′(t)+by(t)=0,a;b?R. . . . . . . . . . . . .8
2.3 Équations non homogènes du 2nd ordrey′′(t)+ay′(t)+by(t)=g(t),a;b?R. . . . . . . .9
A Exercices11
A.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11A.2 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11A.3 Modélisation et équations différentielles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12De nombreux problèmes d"origine physique, économique ou biologique conduisent à chercher une
fonctionydépendant d"une variabletsachant qu"il existe une relation entrey,tet éventuellementd"autres dérivées successives dey(y′′;:::). Une telle relation est appelée équation différentielle :
y2(t)-(y′(t))2=1
ty(t)y′(t)=y2(t)-t2 y ′′(t)+2y′(t)+2y(t)=te-tsin(t):Exemple: La cinétique chimique :Il s"agit de trouver l"évolution dans le temps de concentrations,
de quantités de matière (nombres de moles) ou encore de pressions partielles. Les réactions d"ordre 1
mènent par exemple à l"équation différentielle suivante : y ′(t)=-ky(t); oùkune constante donnée etyreprésente la concentration d"un composé chimique.L"objectif de ce cours est d"apprendre à résoudre une classe bien précise d"équations différentielles,
c"est à dire trouver l"expression de la fonction inconnuey. 11 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients
constantsSoientI?Run intervalle,a?Run réel etg?I→Rune fonction continue donnée. On s"intéresse à la
résolution d"équations différentielles linéaires du 1er ordre qui sont des équations de la forme :
y ′(t)-ay(t)=g(t)t?I;(1)où l"inconnue du problème est une fonction dérivable notéey?I→Rqui dépend de la variablet.
?On dit que cette équation est une équation différentielle car elle fait intervenir des dérivées de
l"inconnue du problèmey.?On dit qu"elle est du1er ordrecar la dérivée d"ordre le plus élevé qu"elle fait intervenir est la
dérivéepremièrede l"inconnue du problèmey.?On dit qu"elle est à coefficients constants car nous ne considèrerons que des coefficients constants
devant les membresy;y′de l"équation. ?On dit qu"elle est linéaire car l"équation homogène associée donnée par y ′(t)-ay(t)=0t?I;(2) possède la propriété de linéarité suivante : PropriétéSoienty1ety2deux solutions de (2), alors pour tous;?R, la fonction combinaison linéaire dey1ety2donnée par y 1+y2est encore solution de (2). En particulier, la fonction identiquement nulley≡0est toujours solution
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