[PDF] Représentation paramétrique de droites de plans Applications





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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de repère. ( ; ⃗ ⃗). Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – 



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Déterminer une équation cartésienne du plan (P) passant par le point C(1 -1





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Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes

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Géométrie dans l’espace

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Exercices corrigés PROF: ATMANI NAJIB

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Déterminer des équations vectorielle paramétriques et

>Déterminer des équations vectorielle paramétriques et WebDéterminer des équations vectorielle paramétriques et cartésienne d'un plan Exemple 1 On considère le plan ABC comprenant les points A: (-3 2 0) B: (1 1 1) et C: (0 4

Comment définir une équation paramétrique ?

Une équation paramétrique de la droite (d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur (-1 ; 2 ; 1) est avec t ? . 2. Représentation paramétrique d'un plan a. Généralités La donnée de deux vecteurs et non colinéaires et d'un point A permet de définir entièrement un plan.

Comment convertir les équations d'un plan en forme paramétrique ?

calculatrice pour convertir les équations d'un plan en forme paramétrique, cartésienne canonique et cartésienne avec le vecteur normal. Entrez l'une des trois équations d'un plan. Mathepower calcule les autres deux. Choisissez comment le plan doit être donné.

Comment calculer l’équation du plan?

D’après l’équation de P, on peut prendre comme vecteur normal~n(2;?1;3). On a alors pour un point M de (Q): ??? AM ·~n=0 2(x?3)?(y+1)+3(z?0) 2x?y+3z?6?1 =0 2x?y+3z?7 =0 Conclusion : une équation du plan (Q)est : 2x?3y?z?7 =0.

Représentation paramétrique

de droites, de plans

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

2

1.1 Définition

2

1.2 Intersection de deux droites

2

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

4

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

5

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

5

3 Positions relatives de deux plans

5

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.

En passant aux coordonnées, on obtient :

8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+bt

z=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite

Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2R

Le réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM

vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.

P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur

directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.

P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme

vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 316

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau

1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.

Si !uet!vsont colinéaires :

Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

2

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2R

Étudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0

@2 4 31
A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

:6t+ 8 =1

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

:t=32 t=112 t=79

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31
A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A

Les vecteurs

!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2

On a donc :

8>< :1 + 2t=s+ 6

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

:s= 2t7

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

:s= 2t7

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3

RÉFÉRENCES

Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il

fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.

Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x

valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0

@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéaires

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02R

Le système obtenu est appelé

représen tationparamétrique du plan P.

On peut utiliser cette représentation paramétrique pour étudier les positions relatives d"une droite et d"un plan

(voir tableau 2 ) ou de deux plans (voir tableau 3

Remarque :Il existe un moyen plus simple d"étudier ces positions relatives. il sera vu dans le chapitre

" Orthogonalité, produit scalaire » et fait intervenir les équations de plans.

Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]

Références

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