[PDF] Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles





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Probabilités conditionnelles

La probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(AB)). Elle est donnée par la formule. pB(A) = p(A ? B).



.1 - Vocabulaire et propriétés .2 - Utilisation des tableaux de

= P(A) + P(B) ? P(A ? B). • Probabilités conditionnelles : PB(A) = "Probabilité de A sachant B" . C'est la probabilité que l'événement 



PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note : P. A. (B). II. Arbre pondéré. Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo. 1) Règles de calcul.



Maths-France

La probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(AB)). Elle est donnée par la formule. pB(A) = p(A ? B).



Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

P(B). Attention : Ne pas confondre indépendants et disjoints! (A (s'est réalisé) notée PB(A) = P(A





Calcul élémentaire des probabilités

16 févr. 2006 Formule de Bayes : P[A



Sans titre

P(A sachant B) = P(AnB). P(B). Cette probabilité se note P(A/B) ou PB(A). Et P(A/B) = 1 – P(A/B) : P(A/B) est le complémentaire de P(A/B). Exemple :.



Calculs de probabilités conditionelles

20 mars 2008 deuxi`eme est un Coeur est plus faible (12/51). On notera P(B



Probabilités et variables aléatoires

Soient A et B deux événements aléatoires tels que P(B) = 0. On appelle probabilité condition- nelle de A sachant B la quantité. P(A



Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on

13 mai 2009 On appelle probabilité de B conditionnée par A ou probabilité de B sachant A le réel noté PA(B)



PA Department of Revenue 2020

to complete PA-40 Schedule B Separate schedules must be completed for a taxpayer and spouse if either has income on Lines 2 through 11 of PA Schedule B (not including subtotal Line 6) Both schedules must be completed and included even if only one had amounts on those lines A joint PA-40 Schedule B may be completed only if all amounts of



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to complete PA-40 Schedule B Separate schedules must be completed for a taxpayer and spouse if either has income on Lines 2 through 11 of PA Schedule B (not including subtotal Line 6) Both schedules must be completed and included even if only one had amounts on those lines A joint PA-40 Schedule B may be completed only if all amounts of

  • Related Pennsylvania Individual Income Tax Forms

    TaxFormFinder has an additional 174 Pennsylvania income tax forms that you may need, plus all federal income tax forms.These related forms may also be needed with the Pennsylvania Form PA-40 B. View all 175 Pennsylvania Income Tax Forms

  • Form Sources

    Pennsylvania usually releases forms for the current tax year between January and April.We last updated Pennsylvania Form PA-40 B from the Department of Revenue in January 2023. Show Sources > 1. Original Form PDF is https://www.revenue.pa.gov/FormsandPublications/FormsforIndividuals/PIT/Documents/2022/2022_pa-40b.pdf 2. Pennsylvania Income Tax Form...

What is the latest version of PA-40 B?

We last updated the PA Schedule B - Dividend Income in January 2023, so this is the latest version of Form PA-40 B, fully updated for tax year 2022. You can download or print current or past-year PDFs of Form PA-40 B directly from TaxFormFinder. You can print other Pennsylvania tax forms here .

What is the purpose of PA-40 Schedule B?

Dividend Income PURPOSE OF SCHEDULE Use PA-40 Schedule B to report the amount of dividend in- come earned and reported for federal income tax purposes from: ? U.S. corporations; ? Foreign corporations; ? Mutual Funds; ? Other corporate capital investments.

How do you write income on a PA Schedule B?

Complete the oval to indicate whether the income included on the schedule is from the taxpayer, spouse or joint. If a separate PA Schedule B is prepared for a taxpayer and spouse, include only the taxpayer or spouse share of the income for each line. PA SCHEDULE B – PA-Taxable Dividend and Capital Gains Distributions Income(See the instructions.)

What does PA-40 ES stand for?

PA-40 ES (P/S/F) -- 2022 PA-40 ES Partnership, PA S Corporation and Fiduciary - Declaration of Estimated Withholding Tax for Partnerships, S Corporations and Fiduciaries

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Chapitre 3

Evenements independants etProbabilites conditionnellesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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IndependanceDenition

Deux evenementsAetBsont ditsindependantssi

P(A\B) =P(A):P(B)Attention :Ne pas confondre independants et disjoints! (A etBsont disjoints siP(A\B) = 0, cadA\B= 0 ) Exemple 1On tire au hasard, dans un jeu de 32 cartes non truque, une carte, puis sans la remettre, une autre. Soit

A: "la premiere carte tiree est un coeur"

B: "la seconde carte tiree est un coeur"

Les evenements A et B sont-ils independants?P(A) =card(A)card( =832 =14

P(B) =card(B)card(

); card(B) depend de la premiere etapeRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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SiAalors card(B) = 7 etP(B) =731

SiAalors card(B) = 8 etP(B) =831

Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

P(A\B) =14

x731 =7124

P(A\B) =14

x2431 =631

P(A\B) =34

x831 =631

P(A\B) =34

x2331 =69124

Rq :P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) = 1

P(B) =P(A\B)[(A\B)=P(A\B) +P(A\B) =

7124
+631
=14

P(A\B)6=P(A)P(B))A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Avec remise, on a

P(A\B) =14

x14

=P(A)P(B))A et B sont independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Exemple 2 :

Soit une famille de deux enfants. A="la famille a des enfants des 2 sexes", B="la famille a, au plus, une lle".

A et B sont-ils independants?

A=f(F;G);(G;F)g )P(A) =24

=12

B=f(F;G);(G;F);(G;G)g )P(B) =34

(B=f(F;F)g)

A\B=A)P(A\B) =12

6=P(A)P(B)

)A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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M^eme question avec 3 enfants.

=f(F;F;F);(F;F;G);(F;G;F);(F;G;G); (G;F;F);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)gA=f(F;F;F);(G;G;G)g )P(A) =68 =34

B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)g )

P(B) =48

=12

A\B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F)g

)P(A\B) =38 =P(A)P(B) )A et B sont independants

(ceci est uniquement vrai pourn=3)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Remarques

1Pour tout evenement A, A et

sont independants P( ) = 1)P(A\ ) =P(A) =P(A)P( )2Soient A et B deux evenements non impossibles. Si A et B sont disjoints, alors A et B ne sont pas independants.

A\B= 0)P(A\B) = 06=P(A)P(B)

car A et B ne sont pas impossibles3Si A et B sont independants alors A etB le sont aussi.

P(A) =P((A\B)[(A\B)) =P(A\B) +P(A\B))

car (A\B) et (A\B) sont disjoints =P(A)P(B) +P(A\B) carAetBsont independants )P(A\B) =P(A)P(A)P(B) =P(A)(1P(B)) =P(A)P(B) )A etB sont independants Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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GeneralisationDenition

Les evenementsA1;A2;:::;Ansontmutuellement

independantssi8p2Ntel que 2pnet pour toute collection de p evenementsAi1;Ai2;:::;Aipon a

P(Ai1\Ai2\:::\Aip) =P(Ai1)P(Ai2):::P(Aip)Remarque:il y aC2n+C3n+:::+Cnn= 2nC1nC0n= 2nn1 conditions a verier

Cas particulier :Trois evenements A, B et C sont

mutuellement independants si :P(A\B) =P(A)P(B),

P(A\C) =P(A)P(C),P(B\C) =P(B)P(C) et

P(A\B\C) =P(A)P(B)P(C)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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ProbabiliteconditionnelleDenition

Soient A et B deux evenements d'une m^eme epreuve et B un evenement non impossible (P(B)6= 0). On appelle probabilite conditionnellede A sachant (que l'evenement) B (s'est realise), noteePB(A) =P(AjB) =P(AsachantB), la probabilite

P(A\B)P(B)Remarques

1Si A et B sont independants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)2P(BjA) =P(B\A)P(A)=P(AjB)P(B)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Dans les exemples precedents:

Jeu de carte sans remise

P(BjA) =P(A\B)P(A)=7=1241=4=731

P(AjB) =P(A\B)P(B)=7=1241=4=731

Famille de 2 enfants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=1=23=4=23

P(BjA) =P(A\B)P(A)=1=21=2= 1 (AB)9 boules numerotees dans une urne ; A="le n tire est un multiple de 3"; B="le n

tire est impair"A=f3;6;9g )card(A)=3)P(A) =13B=f1;3;5;7;9g )card(B)=5)P(B) =59A\B=f3;9g )card(A\B)=2)P(A\B) =29

P(AjB) =P(A\B)P(B)=25

P(BjA) =P(A\B)P(A)=23

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Formule des probabilites totalesTheoreme

Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements non impossibles formant une partition de . Alors pour tout evenementBde

P(B) =nX

i=1P(B\Ai) =nX i=1P(BjAi)P(Ai)Corralaire

Soit A un evenement de

tel que 0P(B) =P(B\A)+P(B\A) =P(BjA)P(A)+P(BjA)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Exemple :Une compagnie d'assurance a deux categories de clients :les jeunes conducteurs qui ont une probabilite d'accident de 40% (sur 5 ans)les autres, dont la probabilite d'accident est 20% Les jeunes conducteurs representent 30% de la clientele de la compagnie. Quelle est la probabilite d'avoir un accident pour un client quelconque? Soit A l'evenement "avoir un accident"et J l'evenement "^etre un jeune conducteur". Alors

P(A) =P(AjJ)P(J) +P(AjJ)P(J)

= 0;4x0;3 + 0;2x0;7 = 0;26Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Formule de probabilite des causes.

Exemple :Un labo commercialise un test medicalle test est positif chez 95% des personnes atteintes (5%

de "faux negatifs")le test est negatif chez 99% des personnes saines (1% de "faux positifs") La maladie touche 0,5% de la population. Une personne passe le test et le resultat est positif. Quel est la probabilite qu'elle soit atteinte? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Theoreme

SoientAetBdeux evenements non impossibles. Alors

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A)Dans l'exemple, en denissant A="la personne est atteinte"et

B="le test est positif", on aP(A) = 0;005P(BjA) = 95% et

P(BjA) = 0;01. Ainsi

P(AjB) =0;95x0;0050;95x0;005 + 0;01x0;995'0;32Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Generalisation

Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements non impossibles formant une partition de . Alors pour tout evenementBnon impossible:

P(AijB) =P(Ai\B)P(B)=P(BjAi)P(Ai)P

n i=1P(BjAi)P(Ai)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Formule des probabilites composeesFormule des probabilites composees Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements telle que

P(A1\A2\:::\Am)6= 0, alors

P(A1\A2\:::\An) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)

:::P(AnjA1\A2\:::\An1)Cas particuliers : n=2 :P(A1\A2) =P(A2jA1)P(A1) (def proba cond)n=3 :P(A1\A2\A3) =P(A3jA1\A2)P(A1\A2) =P(A3jA1\A2)P(A2jA1)P(A1)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Exemples :

Soit un jeu de 32 cartes. On tire les cartes une par une et sans remise. Quelle est la probabilite de tirer le 1 eras au 3 emetirage? On noteAi="on obtient un as auimetirage". On cherche alorsE=A 1\A

2\A3. On a donc:

P(E) =P(A

1)P(A 2jA

1)P(A3jA

1\A 2) 2832
x2731 x430 =63620 '0;10Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

On a un trousseau denclefs. Une seule ouvre la porte. On essaye chaque clef (une fois) jusqu'a ouvrir la porte. Quel est la probabilite que lakemeclef ouvre la porte? On noteAi="leimeessai est un echec". On cherche alors

E=A1\A2\:::\Ak1\A

k. On a alors :

P(E) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)

:::P(Ak1jA1\:::\Ak2)P(A kjA1\:::\Ak1) n1n xn2n1xn3n2:::n(k1)n(k2)x1n(k1) 1n Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nancequotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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