[PDF] Université Lyon 1 Année 2013-2014 Master Mathématiques

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Université Lyon 1 Année 2013-2014

Master Mathématiques Générales1èreannée Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Feuille 4. Intégration

Notations

-n2N -nest la mesure de Lebesgue dansRn. -Hkest la mesure de Hausdorffk-dimensionnelle. - Cas particulier :H1est la mesure de longueur. DoncZ f(x)dH1(x) =Z f d`, avec une courbe etd`l"intégrale de longueur. - Cas particulier :H2est la mesure de surface. DoncZ S f(x)dH2(x) =Z S f ds, avec

Sune surface etdsl"intégrale de surface.

- La norme euclidienne standard surRnest désignée parx7! jxj. -B(x;r)etS(x;r)sont respectivement la boule ouverte et la sphère centrées enxet de rayonrdansRn(par rapport à la norme euclidienne standard). -!n=n(B(0;1))(=volume de la boule unité). -n=Hn1(S(0;1))(=superficie de la sphère unité).

Exercice 1.(Paramétrisations concrètes)

Donner des formules pour :

1.Z x+y=1f(x;y)d`. 2. Z

C(0;1)f(x;y)d`.

3. (DansR3)Z

S(0;1)f(x;y;z)ds.

4. L"intégrale sur unk-plan dansRn.

Exercice 2.(Changements de coordonnées sphériques généralisées)

Soientx2Rn,r >0.

1. SifestHn1-intégrable ou mesurable positive surS(x;r), montrer l"identitéZ

S(x;r)f dHn1=rn1Z

S(0;1)f(x+ry)dHn1(y):

2. Sifestn-intégrable ou mesurable positive surB(x;r), montrer l"identitéZ

B(x;r)f d

n=rnZ

B(0;1)f(x+ry)dn(y):

3. Calculern(B(x;r))etHn1(S(x;r))en fonction de!netn.

4. Généralisation des propriétés 1. et 2.?

Exercice 3.(Intégrales de référence)

Déterminer pour quelles valeurs du paramètreales intégrales suivantes sont finies : 1.Z

B(0;1)1jxjadx.

2. Z R nnB(0;1)1jxjadx.

Exercice 4.(Formules de!netn)

En calculant de deux manières différentesZ

R nejxj2dx, montrer les identités suivantes : n=2n=2(n=2); !n=n=2(n=2 + 1): Donner l"expression de ces quantités selon la parité den. On rappelle que la fonctiond"Euler est donnée par (t) =Z 1 0 xt1exdx; t >0; et que(1=2) =p. Exercice 5.(Propriétés de la mesure superficielle sur la sphère) SoitAune partie borélienne deS(0;1). SoitB=B(A) =[

0t1tA.

1. Montrer queBest une partie borélienne deRnet queHn1(A) =nn(B).

2. En déduire quen=n!n.

3. SoitR2 O(n). DéterminerB(R(A)). En déduire que la mesure sur la sphèreS(0;1)est

invariante par isométries linéaires.

4. Soitf:S(0;1)!Rintégrable et impaire par rapport à l"une des coordonnées. Montrer

queZ

S(0;1)f(x)dHn1(x) = 0.

5. Calculer

Z

S(0;1)x21dHn1(x).

Exercice 6.(Mesure d"un cône)

Calculer la superficie du cône circulaire droit

C:=fx2Rn;xn+qx

21+:::+x2n1= 1;0xn1g:

Exercice 7.(Intégration par parties)

2

Soient

@Rnun ouvert lipschtzien, etf;g2C1( ). On suppose que soit est relativement compact, soit l"une des fonctionsfougest à support compact. Montrer la formule d"intégration par partiesZ f@ jg=Z jfg dHn1Z g@ jf:

Exercice 8.(Formules de Green)

Soient

un ouvert borné de classeC1etu;v2C2( ). Montrer les identités suivantes : 1.Z uv=Z u@v@ Z ru rv(première formule de Green) 2. Z (uvvu) =Z u@v@ v@u@ (deuxième formule de Green). Exercice 9.(Aire d"un domaine délimité par une courbe) Soitune courbe simple dans le plan, délimitant un domaine de classeC1. On considère, sur, l"orientation positive par rapport à . En utilisant le théorème flux- divergenceZ div~f=Z ~n~f pour un choix convenable du champ de vecteurs ~f, montrer la formule suivante aire( ) =12 Z (xdyy dx):

Exercice 10.(Formules de la moyenne)

Soitf2C1(Rn).

1. Montrer que la fonctionG:]0;+1[!Rdéfinie pour toutr >0par

G(r) =1r

n1Z

S(0;r)f(x)dHn1(x)

est de classeC1et queG0(r) =1r nZ

S(0;r)x rf(x)dHn1(x)pour toutr >0.

2. En déduire queG0(r) =1r

n1Z

B(0;r)f(x)dxpour toutr >0.

3. Établir lapremière formule de la moyenne: sif2C2(B(0;R))\C(B(0;R))est har-

monique (càd solution def= 0dans ), alors f(0) =1H n1(S(0;R))Z

S(0;R)f(x)dHn1(x):

4. Établir ladeuxième formule de la moyenne: sif2C2(B(0;R))\C(B(0;R))est har-

monique, alors f(0) =1 n(B(0;R))Z

B(0;R)f(x)dn(x):

3

5. En déduire leprincipe du maximum (minimum): si une fonction harmonique dans un

ouvert connexe admet un point de maximum (minimum), alors elle est constante.

6. En déduire l"unicité de la solution duproblème de Dirichlet: si

est un ouvert borné, alors le problème( u=fdans u=gsur@ a au plus une solutionu2C2( )\C(

Exercice 11.(Identité de Pohozaev)

Soit un ouvert de classeC1.

Notations.

Siu2C1(

)etx2@ , on note par @u@ (x) =ru(x)(x)la "dérivée normale" deuau pointx @u@ (x) =ru(x)@u@ (x)(x)le "gradient tangentiel" deuau pointx. Autrement dit : @u@ est la projection orthogonale derusur?.

Soitf2C1(R). Soitu2C2(

)telle queu=f0(u)dans

1. En multipliant l"équationu=f0(u)parx ru=nX

j=1x j@ju, obtenir l"identité de

Pohozaev

n22 Z jruj2+nZ f(u) Z xf(u)12 x@u@ 2 +12 x@u@ 2 @u@ x@u@

2.Application.Montrer que, si

est une boule, alors la seule solutionu2C2( )du problème( u=u3dans u= 0sur@ estu0.

Exercice 12.(formule de la co-aire)

Soit un ouvert. Soit': !Rune fonction de classeC1sans point critique. Montrer que pour toute fonctionf: !R"convenable" (on précisera le sens du mot) on a la formule de la co-aireZ RZ f'=tgf dHn1dt=Z fjr'jdn: Exercice 13.(le rôle de la solution fondamentale)

Soit, pourx2Rnn f0g,

n(x) =8 :12lnjxj;sin= 2

1(n2)njxjn2;sin3:

4 (nest lasolution fondamentalede.) (1) Montrer l"identitén(') =',8'2C1c(Rn). (2) Montrer que, sif2C1c(Rn)etn3, alors l"équationu=fa exactement une solutionu2C2(Rn)telle quelimjxj!1u(x) = 0.

Exercice 14.(le rôle de la fonction de Green)

Soit un ouvert borné de classeC2. On suppose que, pour tousf2C1( )et'2 C 3(@ ), il y a une solutionu2C2( )du problème(P)( u=fdans u='sur@

Soit, pourx2

,g(x;)la solution du problème (P) pourf= 0et'=n(x ). On poseG(x;y) := n(xy) +g(x;y),8x;y2 . (Gest lafonction de Greende Montrer que la solution de (P) si'= 0, c"est-à-dire de( u=fdans u= 0sur@ , est donnée par la formuleu(x) =Z

G(x;y)f(y)dy,8x2

Autrement dit : si on sait résoudre (P) pourf= 0et'quelconque, alors on sait résoudre (P) pour'= 0etfquelconque. 5quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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