PROBABILITÉS
Probabilités – Terminale S. 5. Par spécialité : Mathématique s. Sciences. Physiques Formule des probabilités totales. Soient A1 A2
Probabilités cours pour la classe de Terminale STG
16 févr. 2008 Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles. Définition : Soit E = {x1;x2;...;xr} l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire ...
Probabilités conditionnelles cours
http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TS2011/probabilitesconditionnelles/probabilitesconditionnellescoursTS.pdf
FICHE DE RÉVISION DU BAC
probabilités d'événements indépendants : toutes sections. - probabilités conditionnelles : STMG ST2S
Terminale S - Probabilités Exercices corrigés
Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l'évènement A contraire de 0
Cours de probabilités Terminale S Paul Milan
DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 juillet 2014. Cours de probabilités. Terminale S. Pour aller plus loin . . . Paul Milan. Table des matières. 1 Espace probabilisé.
Cours de probabilités et statistiques
s'appelle probabilité uniforme. La probabilité d'un événement A se calcule facilement : P(A) = ? ??A. P(?) = card(A) card(?). Attention ! Cette formule
Cours de Probabilités
Finalement. P(B1 ? B2 ? B3)=6/1000 = 3/500. Proposition 2.2.2 (Formule des probabilités totales) Soit {An; n ? N} un système complet d'évé-.
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Codification : S : Sport C : Cinéma
Synthèse de cours (Terminale S) ? Lois de probabilité
Synthèse de cours (Terminale S) Il s'agit de la relation de Pascal. ... C'est de cette formule que provient la dénomination « coefficient binomial » ...
Probabilit
´es, cours pour la classe de Terminale
STGF.Gaudon
16 f´evrier 2008
Table des mati
`eres1 Probabilit´es (rappels)2
2´Ev´enements3
3 Calculs de probabilit
´es4
4 Probabilit
´es conditionnelles5
4.1 Notion de probabilit
´e conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . .54.2 Arbre pond
´er´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64.3 Ind
´ependance d"´ev´enements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 11 Probabilit
´es (rappels)
D´efinitions :•Une exp
´erience est diteal
´eatoirelorsqu"elle a plusieurs issues aussi ap- pel´ees´
eventualit´espossibles dont on ne peut pas pr´evoir laquelle sera
r´ealis´ee.•L"ensemble de toutes les
´eventualit´es constituel"universde tous les pos- sibles.Exemple :Le lancer d"un d
´e`a six faces constitue une exp´erience al´eatoire d"issuexi pouriallant de 1`a 6 et correspondants`a la sortie de la faceidu d´e. Il y a donc 6 issues ou´eventualit´es possibles.D
´efinition :SoitE={x1;x2;...;xr}l"ensemble des issues d"une exp´erience al´eatoire, on d´efinitune loi de probabilit
´esurEen associant`a chaque issuexiun
nombrepitel que :•pour tout entieritel que0?pi?1;•p1+p2+...+pn= 1.
p iest appel´ee probabilit´e de l"issuexi.Propri´et´e :Si on r
´ep`ete une exp´erience al´eatoire dont les issues sont{x1;x2;...;xn}un nombrende fois, alors•les fr ´equences d"apparition desxiv´erifientf1+f2+...+fr= 1et0? f i?1;•sindevient grand, les fr´equences se stabilisent autour de la probabilit´epi(loi des grands nombres).Exemple :On jette un d´e 100 fois et on note la face apparue`a chaque lancer. Si le
1 appara
ˆıt 12 fois la fr´equence de sortie est12100 = 0,12. On af1+f2+...+f6= 1.Si le nombre de lancers devient grand, les fr
´equences se stabilisent autour de
16 , probabilit´e d"apparition du 1.2Exemple :
Une pi
`ece de monnaie est truqu´ee de sorte que la probabilit´e d"obtenir pile est le double de celle d"obtenir face. On appellep1la probabilit´e d"obtenir pile etp2 celle d"obtenir face. On a doncp1+p2= 1. Orp1= 2×p2donc2p2+p2= 1 d"o `u3p2= 1etp2=13 etp1= 1-13 =23 .D´efinition :Lorsque lesrissues d"une exp´erience al´eatoire ont la mˆeme probabilit´epde
se r´ealiser, on parle deloi
´equir´epartie. Alorsp=1r
.Exemple :Pour le lancer d"un d
´e non truqu´e`a six faces, chaque face ayant la mˆeme probabilit ´e d"apparaˆıtre, la loi est´equir´epartie et chaque faceia une probabilit´e p id"apparaˆıtre´egale`api=16 2´Ev´enements
D´efinition :SoitEl"univers associ´e`a une exp´erience al´eatoire.•Toute partie de l"univers est appel
´e un´
ev´enementet le nombre d"´el´ements
d"un´ev´enementAest appel´e soncardinal.
•Tout ´ev´enement form´e d"une seule´eventualit´e est appel´e´ ev´enement el´ementaire. •∅est appel´e´ ev´enement impossible. •Eest l"´ev´enementcertain.Exemple :lancer d"un d´e`a six faces :•"obtenir 1 ou 2»est un´ev´enement;•"obtenir 1»est un´ev´enement´el´ementaire;•"obtenir 7»est l"´ev´enement impossible.3
D´efinition :SoitPune loi de probabilit´e d´efinie sur un ensembleE, alors la probabilit´e
d"un ´ev´enement est la somme des probabilit´es des issues qui le r´ealise.Propri ´et´e :•P(∅) = 0;•P(E) = 1;•pour tout´ev´enementA,0?P(A)?1.Propri
´et´e (cas d"une loi´equir´epartie) :Dans le cas d"une loi ´equir´epartie, la probabilit´e d"un´ev´enementAest : P(A) =nombre d"issues favorables`a Anombre d"issues possibles dans E3 Calculs de probabilit
´es
D ´efinition :SoientAetBdeux´ev´enements.•L" ´ev´enementA∩B(lire"AinterB»ou"AetB») est l"ensemble des issues qui r ´ealisent`a la foisAetB.•Lorsqu"aucune issue ne r ´ealiseAetB, c"est`a direA∩B=∅, on dit queAetBsont incompatibles.•L"
´ev´enementA?B(lire"AunionB»ou"AouB») est l"ensemble des issues qui r ´ealisentAouB, c"est`a dire au moins l"un des deux´ev´enements.•L"´ementaireoucontrairedeAest
l"ensemble des issues qui ne r´ealisent pasA.Propri
´et´e :4
SoitPune loi de probabilit´e sur un ensembleE.•Pour tous les´ev´enementsAetB, on a :
P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B)•En particulier, siAetBsont des´ev´enements incompatibles, alorsP(A?
B) =P(A) +P(B).•Pour tout les
´ev´enementsAetB,
P(¯A) = 1-P(A)Preuve :
•Ilsuffitded´enombrerlesissues´el´ementairescomposantchacundes´ev´enements.•SiAetBsont incompatibles, on aA∩B=∅doncP(A∩B) = 0d"o`u la
formule.•On aE=A?¯AetA∩¯A=∅doncAet¯Asont incompatibles etP(E) = P(A?¯A) =P(A) +P(¯A). OrP(E) = 1donc1 =P(A) +P(¯A)d"o`uP(¯A) = 1-P(A).4 Probabilit
´es conditionnelles
4.1 Notion de probabilit
´e conditionnelle
D´efinition :Pour tout
´ev´enementAet tout´ev´enementBnon impossible, on appellepro- babilit´e conditionnelle deAsachantBet not
´eePB(A)le nombre
PB(A) =P(A∩B)P(BExemple :
Lors d"un sondage, 50% personnes des interrog
´ees d´eclarent pratiquer un
sport r ´eguli`erement et 75% des personnes interrog´ees d´eclarent aller au cin´ema r ´eguli`erement. De plus, 40% des personnes d´eclarent faire du sport et aller au5 cin ´ema r´eguli`erement. On interroge`a nouveau une de ces personnes au hasard et onconsid et"la personne interrog´ee va au cin´ema r´eguli`erement»que l"on notentSetC respectivement. On cherche `a calculer la probabilit´e que la personne pratique un sport r ´eguli`erement sachant qu"elle va r´eguli`erement au cin´ema. On aP(C) = 0,75etP(S∩C) = 0,4. DoncPC(S) =P(S∩C)P(C)=0,40,75≈0,53.Remarque : SoientAetBdeux´ev´enements non impossibles d"un univers donn´e. La connaissance de la probabilit ´e d"un´ev´enementBet de la probabilit´e condition- nelle d"un ´ev´enementsAsachantBpermet de retrouver la probabilit´eP(A∩B) de l"intersection deAetBavec la formuleP(A∩B) =PB(A)P(B).4.2 Arbre pond´er´esD
´efinition :Le sch
´ema ci-dessus est appel´earbre pond
´er´eouarbre
`a probabilit´es. Il com- porte 4chemins:A∩B,A∩¯B,¯A∩Bet¯A∩¯B. Unnoeudest un point d"o `u partent plusieurs branches.Propri´et´e :6
Dans unarbre pond
´er´eouarbre
`a probabilit´escomme ci-dessus, •La somme des probabilit ´es port´ees sur les branches issues d"un mˆeme noeud est ´egale`a 1 (par exemple,PB(A) +PB(¯A) = 1);•la probabilit ´e d"un chemin est le produit des probabilit´es port´ees par ses branches (par exemple,P(A∩B) =P(B)×PB(A));•la probabilit ´e d"un´ev´enement est la somme des probabilit´es des chemins qui le compose(par exemple,P(A) =P(A∩B) +P(A∩¯B)).Exemple :La tableau suivant montre la r
´epartition d"une population dans une usine :CadresOuvriersTotalHommes100200300
Femmes50150200
Total150350500
On rencontre un employ
´e au hasard. On noteHl"´ev´enement"l"employ´e ren- contr ´e est un homme»etCl"´ev´enement"l"employ´e rencontr´e est un cadre».On aP(H) =300500
= 0,6,PH(C) =100300 =13 etPH(¯C) =200300 =23 . On a bien P H(C)+PH(¯C) = 1. En outre,P(H∩C) =P(H)×PH(C) = 0,6×1/3= 0,2etP(C) =P(C∩H) +P(C∩¯H).4.3 Ind
´ependance d"´ev´enements
D´efinition :On dit que deux
´ev´enementsAetBsontind
´ependantslorsque
P(A∩B) =P(A)P(B)Remarque :
SiP(B)?= 0alors deux´ev´enementsAetBsont ind´ependants`a condition quePB(A) =P(A)(ouPA(B) =P(B)siP(A)?= 0), ce qui signifie que la probabilit que l"autre se r´ealise.7
Exemple :
On tire au hasard une carte d"un jeu de 32 cartes. On appelleAl"´evenement "on tire un as»,Tl"´ev´enement"on tire un tr`efle»etCl"´ev´enement"on tire un carreau». On aP(A) =432 =18 ,P(T) =832 =18 etP(C) =832 =14 D"une partA∩Test l"´ev´enement"on tire l"as de tr`efle»etP(A)P(T) =18 14 =132 qui est bien´egal`aP(A∩T)ce qui montre queAetTsont ind´ependants. D"autre part,T∩Cest l"´ev´enement"on tire un tr`efle et un carreau»dont la probabilit´e est 0 mais on aP(T)P(C) =14
14 =116 ?=P(T∩C)ce qui confirme que les ´ev´enementsTetCne sont´evidemment pas ind´ependants.8quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] formulir lampiran 13 bpn
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