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Fiche 8 : Droites et plans dans lespace
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On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé . Intersection de plans : L'intersection de deux plans et est une droite . Soient et deux plans
Exercices de mathématiques - Exo7
Droites du plan ; droites et plans de l'espace. Fiche corrigée par Arnaud Bodin Le point A est l'intersection des droites (AB) et (AC).
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MATHEMATIQUESSérie SNº : 32008
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1Fiche Cours
I - Barycentres
II - Droites de l'espace
III - Intersection de deux plans, système de deux équations linéaires IV - Intersection de trois plans, système de trois équations linéairesOn considère
n points 12nA ,A ,...,A de l'espace et n nombres réels
12n a ,a ,...,a tels que 12n a a ... a 0.G et un seul tel que
1122nn
a GA a GA ... a GA 0. On dit que G est le barycentre du système de points pondérés1122nn
(A,a),(A,a),...,(A,a) et on note1122 nn
G bar (A,a),(A,a),...,(A,a) .
G est également caractérisé par la proposition suivante : pour tout point M,1122 nn12 n
a MA a MA ... a MA a a ... a MG. 12n a ,a ,...,a ont la même valeur (non nulle) le barycentre s'appelle l'isobarycentre.A et B est le milieu de [AB], celui de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle
ABC.Exemples
a) bar (A, 9),(B,2) entraîne 9MA 2MB 7MG pour tout M et en particulier 2AB 7AG (égalité obtenue
pour M = A). b)2AG 2AB 3AC entraîne G bar (A,1),(B, 2),(C,3) .2AG 2AB 3AC n'est autre que
l"égalité 2MG = MA - 2MB + 3MC avec M = A.Propriétés
de cette somme (associativité du barycentre).Exemples
a)31bar A, , B, bar A,9 , B, 223
b) bar (A,1),(B, 2),(C,3), D, 4 bar (I, 1),(J, 1) m[IJ] avec I bar (A,1),(B, 2) et J bar (C,3),(D, 4) . (AB) est l'ensemble de tous les barycentres de A et B. [AB] est l'ensemble des barycentres de A et de BA, B et C étant non alignés, le plan (ABC) est l'ensemble de tous les barycentres de A, B et C.
ABCA, B et C dont les
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