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Fiche méthode : intersection dans l'espace. Intersection de deux plans. Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Propriété : L'espace est muni d'un repère & ; ⃗ ⃗
Fiche 8 : Droites et plans dans lespace
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DROITES ET PLANS DE LESPACE
2) Positions relatives de deux plans. Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles. Méthode : Tracer l'intersection de deux plans.
GÉOMETRIE DESCRIPTIVE - Cours de deuxième année
Soit (O) un point de l'espace et (P) un plan de l'espace défini par deux droites La méthode employée ici pour déterminer l'intersection de ces deux plans est ...
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Méthodes de comptage piétons dans lespace public
Tant que possible il est préférable de répéter le processus durant plusieurs jours. Figure 3 – Comptage manuel de piétons en intersection. 2. Données mesurées.
Fiche méthode : intersection dans lespace Intersection de deux
Fiche méthode : intersection dans l'espace. Intersection de deux plans. Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan. Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE. Dans un repère orthonormé le plan P a pour équation 2
Fiche 8 : Droites et plans dans lespace
III - Intersection de deux plans système de deux équations linéaires Méthode : « Déterminer et construire le barycentre de trois points »
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P. Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans.
Espaces vectoriels
On peut montrer Vect{v1v4} et Vect{v3
Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence
? deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d'intersection parallèles entre elles. ? avec les vecteurs pour montrer que deux
Fiche 8 : Droites et plans dans lespace
Si les coefficients le permettent on effectue un second regroupement : le barycentre cherché est le point d'intersection des deux droites. Exercice 1.
Espaces vectoriels
Soit un espace vectoriel sur ? et 1 2
FICHE DE RÉVISION DU BAC
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé . Intersection de plans : L'intersection de deux plans et est une droite . Soient et deux plans
Exercices de mathématiques - Exo7
Droites du plan ; droites et plans de l'espace. Fiche corrigée par Arnaud Bodin Le point A est l'intersection des droites (AB) et (AC).
1 PRODUIT SCALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.On a ainsi :
- si ou est un vecteur nul,Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 22) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .Et en particulier : .
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .On a en particulier : .
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace .
uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3
Alors : et soit .
Alors .
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .Démontrons que () est orthogonale à .
peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).Il existe donc deux réels x et y tels que .
Donc , car est orthogonal avec et .
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc est orthogonale à ().
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur est normal au plan
(ABG).On considère le repère .
Dans ce repère : ,,,,.
On a ainsi :
, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, soit et .
Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21AB 2 0 2 C 5
On a : et .
Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soitPrenons par exemple, alors et .
Le vecteur est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 23020 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation
Alors le point vérifie l'équation .
Et donc E.
Soit un vecteur . Pour tout point , on a :
E est donc l'ensemble des points tels que .
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .Exemple :
Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby czÛax+by+cz+d=0
d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c x My z .000 dAMna xby cz axbyc zd
a x My z .0AMn=n x-y+5z+1=0 1 1 5 n 1 2 1 A 3 3 1 n 7 Une équation cartésienne de P est de la forme . Le point A appartient à P donc ses coordonnées vérifient l'équation : donc .Une équation cartésienne de P est donc .
3) Positions relatives d'une droite et d'un plan
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation .Soit et .
1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants.
2) Déterminer leur point d'intersection.
1) Un vecteur normal de P est .
(AB) et P sont sécants si et ne sont pas orthogonaux. On a Comme , on conclut que (AB) et le plan P ne sont pas parallèles et donc sécants.2) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
3x-3y+z+d=0
313210d´--´ ++=
d=83x-3y+z+8=0
2x-y+3z-2=0
1 2 3 A 1 2 0 B 2 1 3 n n AB 2 0 3 AB .223350ABn=-´+´=¹ 8 avec t réel. Le point intersection de (AB) et de P vérifie donc le système suivant :On a donc
soit .D'où
Ainsi la droite (AB) et le plan P sont sécants en .4) Positions relatives de deux plans
Méthode : Déterminer l'intersection de deux plansVidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ
Dans un repère orthonormé, les plans P et P ' ont pour équations respectives et .1) Démontrer que les plans P et P' sont sécants.
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.
x=1-2t y=2 z=-3+3t x My z x=1-2t y=2 z=-3+3t2x-y+3z-2=0
2122 33 320 tt--+-+-=
5t-11=0
t= 11 5 x=1-2´ 11 5 17 5 y=2 z=-3+3´ 11 5 18 5 1718;2; 55
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