[PDF] France métropolitaine/Réunion. Septembre 2015. Enseignement de

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France métropolitaine/Réunion. Septembre 2015. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Question 1D"après la formule des probabilités totales fournit p(B) =p(A)×pA(B) +p? A?×pA(B) =0,6×0,2+ (1-0,6)×0,3=0,12+0,12=0,24.

La bonne réponse est laréponse c.

Question 2La probabilité demandée estP(T?60)avec

P(T?60) =1-P(T?60) =1-?

60
0 =e-60λ=e-60ln2/30=e-2ln2=?eln2?-2=2-2 1

4=0,25.

La bonne réponse est laréponse b.

Question 3P(X?135) =P(X?μ+σ). On sait queP(μ-σ?X?μ+σ) =0,683arrondi au millième et donc,

pour des raisons de symétrie

P(X?135) =1-P(X?μ+σ)

2=0,159arrondi au millième.

La bonne réponse est laréponse a.

Question 4L"intervalle doit être centré en0,5ce qui élimine les réponses a, b et d. La bonne réponse est laréponse

c. Question 5Un intervalle de confiance au niveau de confiance95% est? f-1 ⎷n,f+1⎷n? oùfest la fréquence de

personnes de plus de60ans observée dans l"échantillon etnest l"effectif de l"échantillon. L"amplitude de cet intervalle

de confiance est2 ⎷n. 2 ⎷n?0,05?2⎷n?5100?⎷ n

2?1005?⎷n?40?n?1600.

La bonne réponse est laréponse c.

http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. EXERCICE 2Partie A1)Soitnun entier naturel. D"après la relation deChasles I n+1=? n+1 0 f(x)dx=? n 0 f(x)dx+? n+1 n f(x)dx=In+? n+1 n f(x)dx, et donc I n+1-In=? n+1 n f(x)dx.

Puisque la fonctionfest continue et positive sur[0,+∞[et donc sur[n,n+1], par positivité de l"intégrale,?

n+1 n f(x)dx?

0ou encoreIn+1-In?0.

On a montré que pour tout entier natureln,In+1-In?0ou encoreIn+1?Inet donc la suite(In)n?Nest croissante.

2) a)Soitnun entier naturel. Pour tout réelxde[0,n],ex-x?ex2> 0puis1ex-x?2expar décroissance de la

fonctiont?→1

tsur]0,+∞[. En multipliant les deux membres de la dernière inégalité pat le réel positifx, on obtient

x

ex-x?2xexou encoref(x)?2xe-x. Ainsi, pour tout réelxde[0,n],f(x)?2xe-x. Par croissance de l"intégrale, on

en déduit que I n=? n 0 f(x)dx?? n 0

2xe-xdx.

b)La fonctionHest dérivable sur[0,+∞[en tant que produit de fonctions dérivables sur[0,+∞[et pour tout réel

positifx, H ?(x) = (-1)×e-x+ (-x-1)×?-e-x?= -e-x+ (x+1)e-x= (-1+x+1)e-x=xe-x. c)Ainsi, la fonction2Hest une primitive de la fonctionx?→2xexsur[0,+∞[.

Soitnun entier naturel.

n 0

2xe-xdx= [2H(x)]n0=2(-n-1)e-x-2(0-1)e0=2-2(n+1)e-n.

D"après la question 2)a),

I n?2-2(n+1)e-n?2, car(n+1)e-x?0.

3)La suite(In)n?Nest croissante d"après la question 1) et est majorée par2d"après la question 2)c). On en déduit

que la suite(In)n?Nest convergente.

Partie B

1) Valeurs successives deA

iAx

100,25

20,0600,5

30,1690,75

40,3061

2)La dernière valeur deAaffichée par l"algorithme est la somme des aires des rectangles ci-dessous

http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

00.10.20.30.40.50.6

-0.1 -0.20.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 C

3)L"algortihtme fournit une valeur approchée de?

1 0 f(x)dxobtenue par la méthode des rectangles avec un pas de1K.

QuandKdevient très grand, l"alorithme affiche une très bonne valeurapprochée de cette intégrale ou encore une très

bonne valeur approchée de l"aire ci-dessous :

00.10.20.30.40.50.6

-0.1 -0.20.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 C http ://www.maths-france.fr 3c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

EXERCICE 3.Partie A1)Puisque15=3×5et26=2×13, les entiers15et26n"ont pas de facteur premier commun et sont donc premiers

entre eux. D"après le théorème deBézout, il existe un couple d"entiers relatifs(u,v)tel que15u-26v=1. Puisque

7×15-4×26=105-104=1, le couple(u0,v0) = (7,4)est un tel couple.

2)On a15u0-26v0=1. En multipliant les deux membres de cette égalité parm, on obtient15u0m-26v0m=m.

Donc le couple(7m,4m)est un couple d"entiers relatifs solution de l"équation(E).

3)Soit(x,k)un couple d"entiers relatifs.

15x-26k=m?15x-26k=15x0-26k0?15x-15x0=26k-26k0?15(x-x0) =26(k-k0).

4)Soit(x,k)un couple d"entiers relatifs solution de l"équation(E). D"après la question précédente,15(x-x0) =

26(k-k0). En particulier, l"entier26divise l"entier15(x-x0). Puisque les entiers15et26sont premiers entre eux,

le théorème deGaussmontre que nécessairement l"entier26divise l"entierx-x0. Par suite, il existe un entier relatif

qtel quex-x0=26qou encorex=7m+26q. De même, il existe un entier relatifq?tel quek-k0=15q?ou encorek=4m+15q?. Soient alorsqetq?deux entiers relatifs puisx=7m+26qetk=4m+15q?.

15x-26k=m?15(7m+26q) -26(4m+15q?) =m?15(7m) -26(4m) +15×26(q-q?) =m

?15×26(q-q?) =0?q=q?. Les solutions de l"équation(E)sont exactement les couples(x,k)d"entiers relatifs tels que ?x=26q+7m k=15q+4moùq?Z.

Partie B

1)•la lettre M correspond àx=12.15×12+7=187=7×26+5avec0?5?25. Donc,y=5.5correspond à la

lettre F et donc M est codée par F.

•la lettre A correspond àx=0.15×0+7=7=0×26+7avec0?7?25. Donc,y=7.7correspond à la lettre H

et donc A est codée par H.

•la lettre T correspond àx=19.15×19+7=292=11×26+6avec0?6?25. Donc,y=6.6correspond à la

lettre G et donc T est codée par G.

•la lettre H correspond àx=7.15×7+7=112=4×26+8avec0?8?25. Donc,y=8.8correspond à la lettre

I et donc H est codée par I.

•la lettre S correspond àx=18.15×18+7=277=10×26+17avec0?17?25. Donc,y=17.17correspond à

la lettre R et donc S est codée par R.

Le mot MATHS est codé par le mot FHGIR.

2) a)Par construction15x+7≡y[26]. Donc, il existe un entier relatifketl que15x+7=y+26kou encore

15x-26k=y-7.

b)D"après la partie A, il existe un entier relatifqtel quex=26q+7(y-7). On en déduit quex≡7(y-7) [26]ou

encore quex≡7y-49[26]ou encore quex≡7y-49+2×26[26]ou enfin quex≡7y+3[26].

c)Pour décoder une lettre, on lui associe le nombreyfourni par le tableau. On calcule ensuite le reste de la division

euclidienne de7y+3par26. Ce reste estxet correspond à la lettre décodée.

3)•la lettre W correspond ày=22.7×22+3=157=6×26+1avec0?1?25. Donc,x=1.1correspond à la

lettre B et donc W est décodée par B.

•la lettre H correspond ày=7.7×7+3=52=2×26+0avec0?0?25. Donc,x=0.0correspond à la lettre A

et donc H est décodée par A.

•la lettre L correspond ày=11.7×11+3=80=3×26+2avec0?2?25. Donc,x=2.2correspond à la lettre

C et donc L est décodée par C.

Le mot WHL est décodé par le mot BAC.

http ://www.maths-france.fr 4c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

4)Soientxetx?deux entiers compris au sens large entre0et25puisyety?les entiers respectivement associés par

le système de codage. Il s"agit de vérifier quex?=x??y?=y?ou encore quey=y??x=x?. ?26divise7(x-x?) ?26divisex-x?(d"après le théorème deGausset puisque PGCD(7,26) =1).

Donc,x-x?est un mutiple de26ou encore il existe un entier relatifktel quex-x?=26k. Mais d"autre part,

0?x?25et0?x??25. On en déduit que-25?x-x??25ou encore que-25?26k?25ou encore que

-25

26?k?2526ou enfin quek=0. Mais alorsx=x?.

On a montré que deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes. http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

EXERCICE 4.1)NotonsxKl"abscisse du pointK. Par définition du pointK, on af(xK) =0ou encoreF?(xK) =0. Ainsi, en le

point deCFde même abscisse queK,CFa une tangente parallèle à l"axe des abscisses. Ceci ne se produit que dans la

Situation 2.

Les graphes exacts sont donc les graphes de la situation 2.

2) a)En analysant le nombre de carreaux contenu dans le domaine ci-dessous, l"aire est approximativement égale à 2

fois l"aire d"un carreau ou encore2×0,25unité d"aire ou enfin0,5unité d"aire.

0.51.01.5

-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

00.51.01.5

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

CfC F K L DΔ b)Déterminons d"abord l"abscisse du pointK. Soitxun réel strictement positif. f(x) =0?1 x(1+ln(x)) =0?1+ln(x) =0?ln(x) = -1?x=e-1.

Le pointKa pour abscisse1

e. D"autre part, la fonctionfest continue et positive sur?1e,1? . Donc, l"aire cherchée, exprimée en unité d"aire est A=? 1 1 ef(x)dx=? 1 1e?

1x+1xln(x)?

dx=? ln(x) +12(ln(x))2? 1 1 e ln(1) +1

2(ln(1))2?

ln(1/e) +12(ln(1/e))2? -1+12? 1

2=0,5.

L"aire cherchée est égale à0,5unité d"aire. http ://www.maths-france.fr 6 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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