[PDF] Comportement asymptotique des solutions dun syst`eme

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Comportement asymptotique des solutions d'un

syst `eme conservatif associ´e`a une´equation non lin

´eaire singuli`ere de Schr¨odinger

Mohammed Aassila

Abstract

We study the asymptotic behaviour ast!1of solutions of the following type of equationsu 00 +uuh(u)=0,whereis a nonnegative real and his a nondecreasing function.

1 Introduction

L'origine de notre travail est l'etude du comportement local des solutionsude l'equationn-dimensionnelle, stationnaire, nonlineairedeSchrodinger (1:1) uV(x)ug(u)=0 au voisinage d'une singulariteisolee du potentielV,getant une fonction croissante avaleursreelles. Dans plusieurs situations physiques,V(x) est un potentiel coulombien: (1:2)V(x)= k X i=1 z i jxa i j comme dans la theorie de Thomas- Fermi- Von Weizsacker ([2, 3]). Received by the editors November1996 { In revised form May 1997.

Communicated by J. Mawhin.

1991Mathematics Subject Classication :35B, 35J.

Key words and phrases :asymptotic behaviour, elliptic equations, semigroups.

Bull. Belg. Math. Soc. 5(1998), 675{686

676Mohammed Aassila

Cependant, mathematiquement, il est plus interessant d' etudier le cas ouV(x) est de la forme1 jxaj 2 au voisinage de la singulariteisoleea. Dans ce cas l'inte- raction entre le laplacien, le potentiel et la nonlineariteesttres forte. L'equation modele qui nous interesse (dite equation d' Emden-Fowler) est (1:3) uc jxj 2 uu q =0 ouq>1;c>0;x2R n f0g: Pour etudier les proprietes limites de la solutionude (1.3), on fait le changement classique en coordonnees polaires u(r;)=r 2 q1 v(t;);t=lnr; 2S n1 on obtient alors (1:4)v 00 S v n2q+1 q1 v 0 2 q1(2qq1n)c vv q = 0 dansRS n1 ou S est l'operateur de Laplace-Beltrami surS n1 Il sut alors d'etudier le comportement asymptotique quandt!1de la solu- tionvde (1.4).

Quandq6=

n+2 n2 ,ceprobleme a ete intensivement etudie, on pourra consulter Guerch-Veron [7] pour un survol des resultats disponibles. Pour la valeur particuliere q= n+2 n2 ,l'equation (1.4) devient (1:5)v 00 S v+ 0 n2 2 2 c 1 A vv n+2 n2 =0: Pourc= 0, Caarelli-Gidas-Spruck [5] ont obtenu les asymptotiques des solutions de (1.5) en utilisant une technique de symetrie en mesure. Lorsquec6=0,d'apres nos connaissances, le seul resultat existant est celui de Licois [8] dont on parlera au paragraphe 3. Dans ce travail, et dans un souci de generalite, on considerera les deux problemes suivants (P1) 8< u 00 +uu=h(u)dans R condition au bord du type Dirichlet ou Neumann, et (P2) 8< u 00 +u+u=h(u)dans R condition au bord du type Dirichlet ou Neumann, ou , dans toute la suiteest un reel positif et un ouvert borneregulier deR n de frontiere . Dans la section 2, on etudiera les asymptotiques des solutions de (P1) avec respectivement des conditions au bord du type Neumann puis Dirichlet. La section

3, contiendra une etude similaire pour les solutions de (P2).

Les resultats que nous exposons dans ce travail font suite a ceux obtenus par

Veron [11], Baras-Veron [1] et Gmira-Veron [6].

Comportement asymptotique des solutions d'un systeme conservatif677

2 Comportement asymptotique des solutions de (P1)

2.1 Condition au bord du type Neumann

Considerons le probleme

(P1) N 8>>< u 00 +uu=h(u)dans R @u =0 sur R u(0) =u 0 2L 1 ou est un ouvert borneregulier deR n ;n3;un reel positif strictement, eth une fonction avaleursreelles continue croissante et telle queh(0) = 0. Veron a demontre l'existence et l'unicite d'une fonctionusolution de (P1) N lorsqueu 0 (x)2L 1 ), plus precisement il a montre qu'il existe une unique fonction u2C(R ;L 2 ))\L 1 (R ;L 1 ))\C 1 (R ;L 1 veriant (P1) N et telle que: pour tout 0s1 p1;uetu 00 2W 1;p loc(R ;L 1 pour toutt>0u(t;:)etu 0 (t;:)2L 1

Posons u=1

j j Z u(t;x)dx, la moyenne deusur , le resultat principal de ce sous-paragraphe est

Theoreme 2.1

Siudesigne la solution de(P1)

N etusa moyenne sur , alors il existek>0 tel que ku(t;:)u(t)k C 2 ke p2t

Demonstration

la fonction uverie l'equation u 00 u=h(u) par suite on a (uu) 00 +(uu)(uu)=h(u)h(u):

En multipliant par (uu)etenintegrant sur

on obtient Z (uu) 00 (uu) Z jr(uu)j 2 Z (uu) 2 Z (h(u)h(u))(uu)dx: or Z (h(u)h(u))(uu)= Z h(u)(uu)= Z (h(u)h(u))(uu)0

678Mohammed Aassila

carhest croissante, d'ou Z (uu) 00 (uu) Z jr(uu)j 2 Z (uu) 2 0:

En posantf(t)=1

2 Z (uu) 2 dxon a alors f 00 (t) Z (u 0 u 0 2 (t) Z jr(uu)j 2 (t)2f(t)0; d'ou f 00 (t)2f(t)0; c'est adire f(t)e p2t f(0):

Considerons les cylindres

(t;t+1)et (t1;t+2)alorsd'apres [10] on a : kuuk W 2;2 (t;t+1)) c 1 kuuk L 2 (t1;t+2)) +c 2 kh(u)h(u)+(uu)k L 2 (t1;t+2)) donckuuk W 2;2 (t;t+1)) decro^t exponentiellement lorsquet!1. OrW 2;2 (t;t+1))L q (t;t+1))pour 1 q 1 2 1 n , on peut donc, si besoin est, iterer le procede et montrer que : pour toutq>2;kuk W 2;q (t;t+1)) decro^t exponentiellement vers 0. Par les injections de Sobolev et la theorie de Schauder, on arrive au resultat du theoreme.

2.2 Condition au bord du type Dirichlet

On considere maintenant le probleme (P1) avec condition de Dirichlet au bord, a savoir (P1) D 8>>< u 00 +uu=h(u)dans R u=0 sur R u(0) =u 0 (x)dans ou estunouvertborneregulier deR n ethcontinue monotone verianth(0) = 0.

D'apres [10], on a8u

0 2L pquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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