[PDF] TD Espérance Conditionnelle - Corrigé

View - Download TD Espérance Conditionnelle - Corrigé

Previous PDF

Next PDF

Université de Bordeaux Mathématiques

Préparation à l"agrégation Année 2019/2020TD Espérance Conditionnelle - Corrigé

Exercice 1.

Dans cet exercice, les v.a.XetYsont discrètes. Par conséquent, on pouvait appliquer directement la

formule vue en cours pour le calcul de l"espérance conditionnelle, par exemple

E»XjY=1¼=Õ

n>1E»X1fY=1g¼P¹Y=1º=Õ n>1nP¹X=n;Y=1ºP¹Y=1º=Õ n>1nP¹X=njY=1º: Vous pouvez utiliser directement l"une de ces trois expressions, selon ce qui vous arrange.

1.Xsuit une loi géométrique de paramètre16

. DoncE»X¼=6.

Ensuite, sachantY=1,Xest le premier indice après2où l"on obtient un5. Par conséquent, la loi

conditionnelle deX1sachantY=1est la loi géométrique de paramètre16 . Donc

E»XjY=1¼=1+E»X1jY=1¼=1+6=7:

2.Pour la dernière, il fallait poser le calcul :

E»XjY=2¼=Õ

k>1kP¹X=kjY=2º: Pour faire les calculs, notonsLnle résultat dun-ième lancer.

D"abord,

P¹Y=2º=P¹L1,6;L2=6º=56

16 =536

Ensuite,

P¹X=1;Y=2º=P¹L1=5;L2=6º=16

16 =136 d"oùP¹X=1jY=2º=15

(Remarque : on aurait pu aussi dire que sachantY=2, le résultat du premier lancer n"est pas un6, donc

la probabilité d"obtenir un5au premier lancer est de15 Bien sûr,P¹X=2;Y=2º=0car on ne peut pas obtenir à la fois5et6au deuxième lancer.

En?n, pourk>3,

16 56
k316 d"où

P¹X=kjY=2º=215

56
k3 =215 65
56
k2 =425 56
k2 =144125 16 56
k1

Ainsi, en reconnaissant l"espérance de la loi géométrique (à deux termes près ôtés de la somme), on

obtient

E»XjY=2¼=15

+144125
k>3k16 56
k1 15 +144125

¹616

518

º=15

+144125
509
=335 (Remarque : il y avait plusieurs manières de mener le calcul.) 1

3.D"après le cours, on a

Ce qui précède nous a permis de calculer le premier terme. Par contre, le deuxième terme nécessiterait

un autre calcul analogue.

Exercice 2.

Exercice 3.

Exercice 4.

Exercice 5.

Exercice 6.

Exercice 7.

D"abord, remarquons que la donnée de l"énoncé caractérise la loi de¹X;Yºcar elle implique que pour

toute fonction mesurable positivef:N!R+!R,

E»f¹X;Yº¼=Õ

n2N¹ 1 0

1.Pour calculer cette probabilité conditionnelle, on a déjà besoin de la loi deX. En faisantt! 1dans la

donnée de l"énoncé, on a pour toutn2N,

P¹X=nº=bann!¹

1 0 yne¹a+bºydy bann!¹ 1 0 za+b nezdza+b bann!¹a+bºn+1¹ 1 0 znezdz: Par intégration par parties successives on montre que ¯1

0znezdz=n!. Par suite

8n2N;P¹X=nº=ban¹a+bºn+1:

On a donc pour toutn2Nett>0,

t 0 yne¹a+bºydy:

Autrement dit, sachantX=n,Yadmet pour densité conditionnelley7!¹a+bºn+1n!yne¹a+bºy1y>0. Par suite,

pour toute fonctionψmesurable positive, R

ψ¹yºyXe¹a+bºydy:

En fait, ceci signi?e que la loi conditionnelle deYsachantXest une loi GammaG¹X+1;a+bº.

2.Comme1X+1estσ¹Xº-mesurable, on a par dé?nition de l"espérance conditionnelle

E YX+1 =E

E»YjX¼1X+1

2

D"autre part, en utilisant l"espérance des lois Gamma rencontrée dans un TD précédent, on a

E»YjX¼=X+1a+b

d"où EYX+1 =EX+1a+b1X+1 =1a+b:

3.Pour conditionner par rapport àY, on a d"abord besoin de calculer la loi marginale deY. Pour toute

fonctionφmesurable positive,

E»1X=nφ¹Yº¼=b¹

R En sommant surn, on obtient par convergence monotone

E»φ¹Yº¼=b¹

R

φ¹yºeaye¹a+bºydy=b¹

R ebydy:

Autrement ditY E¹bº. Dans l"expression au dessus, on peut donc mettre en facteur la densité deYpour

obtenir oùψn¹yº=¹ayºnn!eayPar conséquent

Autrement dit, la loi conditionnelle deXsachantYest la loiP¹aYº. En utilisant l"espérance de la loi de

Poisson, on en déduit

E»XjY¼=aY:

Exercice 8.

3quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] esperance conditionnelle exercices corrigés pdf

[PDF] espérance conditionnelle par rapport à une tribu

[PDF] espérance conditionnelle par rapport à une variable

[PDF] espérance conditionnelle pdf

[PDF] espérance conditionnelle vecteur gaussien

[PDF] espérance d un mouvement brownien géométrique

[PDF] espérance d une matrice

[PDF] espérance d une somme de variables aléatoires

[PDF] espérance d utilité et utilité espérée

[PDF] espérance d'une fonction de densité

[PDF] espérance d'une somme de variables aléatoires

[PDF] espérance du maximum de deux variables aléatoires

[PDF] espérance et variance formule

[PDF] espérance excel

[PDF] espérance loi binomiale