[PDF] Préparation Olympique Française de Mathématiques 2017-2018

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Préparation Olympique Française de Mathématiques 2017-2018

Corrigé de l"envoi 2

Exercices du groupe B

Exercice 1.Soit?et?deux cercles se coupant enAetBdistincts. NotonsOle centre de?. SoitCun point de?, soitD?Eles intersections respectives de(AC) et de(BC)avec?.

Montrer que(OC)et(DE)sont perpendiculaires.

Solution de l"exercice 1OB

A CDE

On procède par chasse aux angles.

On présente ici une solution qui se veut très (trop) rigoureuse, il n"y avait pas besoin d"être aussi pointilleux ni de traiter tous ces cas pour recevoir la note maxi- male à cet exercice. 1 Comme on remarque que la figure change beaucoup selon que le pointCest du même côté de la droite(AB)queOou non, on a le choix entre distinguer des cas dans notre chasse aux angles en faisant attention aux problèmes d"orientation ou travailler avec des angles orientés de droites. La deuxième méthode est souvent préférable, tant qu"on n"a pas à diviser des angles par deux (le problème est que, si on regarde nos angles orientés de droites modulo 180 degrés et qu"on divise par

2, on se retrouve à regarder des angles orientés de droite modulo 90 degrés, donc

on perd de l"information).

1Ici, on va panacher les deux méthodes.

On calcule modulo 180 degrés :

(OC?DE) = (OC?CD)+(CD?DE) = (OC?CD)+(AB?BE) = (OC?CA)+(CB?AB)?

Or?(OC?CA) + (OA?OC) =?et?(CB?AB) = (OC?OA).

Donc?(OC?DE) =?modulo 180 degrés, donc(OC?DE)est un multiple de 90 degrés (donc 0 ou 90 degrés modulo 180)donc(OC)et(DE)sont parallèles ou perpendiculaires. Et là, on est embêtés pour exclure le cas parallèle. On peut s"en sortir par disjonc- tion de cas : Si A?Cet le point diamétralement opposé àAsur?sont dans cet ordre quand onlitdanslesenstrigonométrique(anti-horaire)surlecercle?,alors(OC?CA) = [OCA

Sinon, (OC?CA) =???°-[OCA

Si A?B?Cse lisent dans cet ordre sur le cercle?dans les sens trigonométrique, alors(CB?AB) =[CBA.

Sinon, (CB?AB) =???°-[CBA.

On a dans tous les cas

[COA=???°-?[OCA. Mais [COA=?[CBAsi et seulement siOetBsont du même côté de la droite (AC). En r evanche,si OetBne sont pas du même côté de la droite(AC),[COA= ???°-?[CBA. Les angles géométriques ayant des mesures entre 0 et 180 degrés. Si on traite tous les cas présentés ci-dessus, en combinant les égalités, on arrive à

montrer que les droites(OC)et(DE)sont parallèles.1. voir le poly de géométrie débutant pour plus de détails sur les angles orientés de droites

2 Exercice 2.Soit un quadrilatèreABCDconvexe.2On se donneE?Fdeux points tels queE?B?C?Fsoient alignés dans cet ordre. On suppose de plus que[BAE= [CDFetdEAF=dFDE. Montrer quedFAC=[EDB.

Solution de l"exercice 2AB

CDE F

C"est encore une chasse aux angles. Comme

dFAE=dFDEetA?Dsont du même côté de(EF), les pointsA?D?E?Fsont cocycliques.

Deplus,pourmontrerque

est égal à [CDB=[CDE-[EDB, autrement dit queA?B?C?Dsont cocycliques.

Montrons pour cela que

[DAB+[DCB=???°. On a :

DAB=[DAF+dFAB=dDEF+[CDE=???°-[ECD?

ce qui prouve la cocyclicité deA?B?C?Det donc le résultat voulu. Exercice 3.Soit[AB]le diamètre d"un demi-cercle sur lequel on prend deux pointsCetD. SoitSl"intersection de(AC)et(BD)etTle pied de la perpendi-

culaire à[AB]issue deS.2. c"est-à-dire que les droites(AB)et(CD)sont parallèles ou se coupent à l"extérieur des seg-

ments[AB]et[CD]et les droites(BC)et(DA)sont parallèles ou se coupent à l"extérieur des segments[BC]et[DA] 3

Montrer que(ST)est la bissectrice de l"angle[CTD.

Solution de l"exercice 3ABDC

S T On s"en sort par chasse aux angles. Les pointsA?D?S?Tsont cocycliques (sur le cercle de diamètre[AS]) et de même les pointsB?C?S?T. DoncdSTD=[SAD, et dSTC=dSBC. Comme[SAD=[CAD=[CBD=dSBCpar cocyclicité des points

A?B?C?D, on a biendSTC=dSTD.

On peut aussi résoudre cet exercice avec de la géométrie projective. En effet, on remarque(ST)est la bissectrice de[CTDsi et seulement si(AB)?(ST)?(TD)?(TC) sont harmoniques (grâce au lemme 2/4). SoitFl"intersection de(BD)et de(TC). Il suffit de montrer queB?S?D?Fsont harmoniques, donc il suffit de montrer que B?A?(CD)\(AB)?Tsont harmoniques. Or(CD)\(AB)est par construction sur la polaire deSdonc la polaire de(CD)\(AB)passe parS. De plus, elle est per- pendiculaire à(AB), donc c"est(ST). C"est pourquoi on a bien(CD)\(AB),T,A,

Bharmoniques, ce qui conclut.

Exercices Communs

Exercice4.SoitABCuntriangletelqueAB < AC,Hsonorthocentre,soncercle circonscrit,dla tangente àenA. On considère le cercle de centreBpassant par

A. Il coupedenDet(AC)enE.

Montrer queD?E?Hsont alignés.

Solution de l"exercice 44

A BCDE H On remarque tout d"abord que la hauteur issue deBdansABCest la médiatrice de[AE]. Soit en effetLson point d"intersection avec(AC). Par la puissance d"un DoncHAEest isocèle enH. Donc, par chasse aux angles,

HEA=[HAC=??°-[ACB=??°-[DAB=??

[ABD=[DEA?

DoncD?E?Hsont alignés.

Exercice 5.SoitABCun triangle,son cercle circonscrit. Soit!Ale cercle inscrit intérieurement à(AB),(AC)et à. On noteTAle point de tangence deavec!A.

On définit de mêmeTBetTC.

Montrer que(ATA),(BTB)et(CTC)sont concourantes.

Solution de l"exercice 55

ABC T CT AT BQuand on voit beaucoup de cercles tangents, on doit penser aux homothéties qui les échangent. En l"occurrence, on a trois homothéties positives, de centre respec- tifsTA?TB?TCet qui envoient respectivement!A?!Bet!Csur. De plus,!Aétant tangent à(AB)et(AC), on aussi une homothétie positive de centreAqui envoie!Asur le cercle!inscrit àABC. De même pourBetC. Or la composée de deux homothéties positives de centresO?etO?est une homo- thétie positive dont le centre est sur la droite(O?O?). On a donc construit trois homothéties positives qui envoient toutessur!, et leurs centres respectifs ap- partiennent à(ATA),(BTB)et(CTC). Comme il existe au plus une homothétie positive envoyant un cercle donné sur un autre cercle, ces trois homothéties sont en fait une seule et même homothétie, de centreZ. On a doncZ2(ATA),Z2(BTB)etZ2(CTC). Les droites(ATA,(BTB)et(CTCsont donc concourantes.

Exercice 6.

SoitOle centre d"un polygone régulier à 18 côtés de sommetsA??????A??. SoitB le point de[OA?]tel que\BA?O=??° etCle point de[OA?]tel que\CA?O=??°.

Montrer queBCA?A?sont cocycliques.

Solution de l"exercice 66

A ?A ?A ?A ?A ?A ?A ?A ?A ?A ??A ??A ??A ??A ??A ??A ??A ??A ??O C B aussi. On applique ensuite le théorème de l"angle inscrit : tout angle au centre qui inter- cepte un segment de longueurA?A?vaut??°, tout angle inscrit qui intercepte un tel segment vaut??°. DoncA??C?A?alignés,A??B?A??alignés. Par symétrie axiale d"axe(OA?), il vientA??C?A??alignés. Si on parvient à montrer queA??B?A??alignés, alors\CA?B=\A??A?A??=??°= \CA?B, ce qui établit la cocyclicité demandée dans cet exercice. d"axe(OA?), cela équivaut à montrer queA???B?A?sont alignés. Or, on remarque que(A??A?)est la médiatrice du segment[OA?]: en effet, le triangleOA?A?est équilatéral (commeOA?=OA?et\A?OA?=??°) doncA?est sur la médiatrice de[OA?, de même pourA??. CommeBOA?est isocèle enB,Best aussi sur la médiatrice de[OA?], ce qui établit l"alignement voulu et termine la solution. 7

Exercices du groupe A

Exercice7.SoitABCun triangle tel queAB6=AC. SoitEtel queAE=BEet(BE) perpendiculaire à(BC)et soitFtel queAF=CFet(CF)perpendiculaire à(BC). SoitDle point de(BC)tel que(AD)soit tangente au cercle circonscrit àABCen A.

Montrer que les pointsD?E?Fsont colinéaires.

Solution de l"exercice 7A

BCDEFG

O Supposons (sans restreindre la généralité) queAB < AC. SoitOle centre du cercle circonscrit àABCetGle point de la droite(AD)tel que (AB)soit parallèle à(GC).

Montrons tout d"abord que les angles

[BADet[BCAsont de même mesure , et que les angles [BOAetdCFAsont tous les deux de mesure? . Le seul point qui ne découle pas immédiatement du théorème de l"angle inscrit est l"égalité [BOA= dCFA. 8 OrDBAetDACsont semblables, donc il existe une similitudesde centreDqui envoieBsurAetAsurC. Commesconserve les rapports de longueur, elle en- voie la médiatrice de[AB]sur la médiatrice de[BC]. Elle envoie aussi la perpen- diculaire à(DA)passant parA(c"est-à-dire(AO), puisque(AD)est tangente en Aau cercle de centreOpassant parA) sur la perpendiculaire à(DC)passant parC(c"est-à-dire(CF)). DoncOest envoyé surF. Commesconserve les mesure une similitude indirecte!) , [BOA=dAFC. On en déduit queFest le centre du cercle circonscrit àAGC. En particulier,Fest sur la médiatrice de[GC]. On considère maintenant l"homothétiehde centreDqui envoieBsurC. Comme l"image de toute droite parhest une droite parallèle,(AB)est envoyée sur(GC), et(DA)est fixée doncAest envoyé surG. Commehconserve les rapports de longueurs, la médiatrice de[AB]est envoyée sur la médiatrice de[GC]. De plus, (EB)est envoyée sur(CF)grâce au parallélisme, doncEest envoyé surF. DoncD(en tant que centre de l"homothétie),EetFsont alignés.

Exercice 8.SoitABCun triangle.

Pour un pointPde(BC)donné, on noteE(P)etF(P)les deuxièmes points d"inter- section des droites(AB)et(AC)avec le cercle de diamètre[AP]. SoitT(P)l"inter- section des tangentes à ce cercle enE(P)etF(P). Montrer que quandPvarie sur(BC), le lieu géométrique deT(P)est une droite.

Solution de l"exercice 89

A BCPOE F HT

Étape 1 : une première remarque importante.

Posons tout d"abordHle pied de la hauteur issue deAdansABC. Soient deux pointsPetP0de la droite(BC). On noteE=E(P)?F=F(P)?T=T(P)?E0= E(P0)?F0=F(P0)?T0=T(P0). On introduit égalementO(respectivementO0) le centre du cercle de diamètre[AP](respectivement[AP0]). Remarquons que les cercles circonscrits àEAFet àE0AF0se coupent enAetH. En autrement dit il existe une unique similitude directesde centreHqui envoieEsur E

0etFsurF0.

D"autre part, on a

dEOF=?dEHF=???°-?dEAF=???°-[BAC, ce qui ne dépend pas deP. DoncdEOF=\E0O0F0, donc la similitude directesenvoieOsurO0. Or, le pointTest entièrement défini par la donnée deE?O?F(via des opérations de type tracer un cercle, prendre une tangente..., qui sont conservées par les si- militudes). Doncsenvoie aussiTsurT0.

À partir de là, le plus dur est fait.

Étape 2 : un jeu technique avec les similitudes pour conclure. 10 SoitP?un point de(BC). On notela similitude directe de centreHqui envoie E(P?)surT(P?). SoitPun point de(BC). On notePla similitude directe (de centre H) qui envoieE(P?)surE(P). D"après ce qui précède, elle envoie aussiT(P?)sur T(P). Comme les deux similitudes on le même centreP=P. En particulier, (E(P)) =P(E(P?)) =P(T(P?)) =T(P). Donc le lieu deT(P)est l"image par(qui est une similitude directe) du lieu de E(P)(qui est une droite). C"est donc une droite, comme voulu. Exercice 9.SoitABCun triangle,Ole centre de son cercle circonscrit. SoitPun point sur(AO)etD?E?Fles projections orthogonales dePsur(AB),(BC)et(CA). SoitXetYles intersections des cercles circonscrits àDEFet àBCP.

Montrer que

[BAX=[YAC

Solution de l"exercice 9A

BC OPD EF XY Étape 1 : Montrons que(DF)est parallèle à(BC). 11 SoitP?le point diamétralement opposé àAsur le cercle circonscrit àABC.(P?C) est perpendiculaire à(AC)donc parallèle à(PF)et(P?B)est de même parallèle à (PD).

Donc, d"après le théorème de Thalès,

ADAB =APAP ?=AFAC , d"où(DF)parallèle à(BC). Étape 2 : Montrons queHA, le pied de la hauteur issue deAappartient à(DEF).A PD EFl H AGJ K On poseG= (AHAA)\(DF),Jla projection orthogonale deP(celle deEaussi) sur(DF)etKla projection (orthogonale) dePsur(AHA). PKGJest un rectangle, etP?K?D?Fsont cocycliques sur le cercle de diamètre[PA]. DoncPKFDest un trapèze isocèle, donc(PJ)et(KG)sont symétriques par rapport

à la médiatrice de[DF].

CommeEJGHAest un rectangle et(HAG)et(EJ)sont symétriques par rapport à la médiatrice de(EF),D?HA?E?Fsont cocycliques.

Étape 3 : pour conclure.

L"étape 1 permet de montrer qu"il existe une involution de centreAqui échange BetFd"une part,CetDd"autre part.Pour conclure, il suffit de montrer que cette involution échangeXetY, c"est-à-dire qu"elle envoie le cercle circonscrit àBCP sur le cercle circonscrit àDEF. La seule difficulté est de montrer que le point sur lequel l"involution envoieP appartient au cercle circonscrit àDEF. 12 OrPest un point du cercle circonscrit àADFtel que(AP)et le cercle circonscrit à ADFsont perpendiculaires enP. Donc son imageIest un point de la droite(BC) tels que(BC)et(AI)sont perpendiculaires enI. DoncI=HA, et l"étape 2 permet de conclure. 13quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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