[PDF] Baccalauréat S Nombres complexes

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?BaccalauréatS Nombres complexes? Index des exercicessur les complexes de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENISVERGÈS

NoLieu et dateQ.C.M.Algébri-queGéomé-triez?=f(z)

1Asie juin 2012××

2Métropole juin 2012×××

3Antilles-Guyane juin 2012×××

4Centres étrangers juin 2012×××

5Polynésie juin 2012××

6Amérique du Nord mai 2012×××

7Liban mai 2012×××

8Pondichéry avril 2012×××

9Nouvelle-Calédonie mars 2012××

10Amérique du Sud novembre 2011××

11Nouvelle-Calédonie novembre 2011××

12Polynésie septembre 2011×××

13Métropole septembre 2011×××

14Antilles-Guyane septembre 2011××

15Polynésie juin 2011×××

16Métropole juin 2011×××

17La Réunion juin 2011×××

18Centres étrangers juin 2011×××

19Asie juin 2011×××

20Antilles-Guyane juin 2011×××

21Liban mai 2011×××

22Amérique du Nord mai 2011××

23Amérique du Sud novembre 2010×××

24Nouvelle-Calédonie novembre 2010×××

25Polynésie septembre 2010

26Métropole septembre 2010×××

27Polynésie juin 2010××

28Métropole juin 2010×

29La Réunion juin 2010×

30Centres étrangers juin 2010×

31Asie juin 2010×

32Antilles-Guyane juin 2010×

33Amérique du Nord juin 2010××

34Nouvelle-Calédonie nov. 2009××

35Amérique du Sud nov. 2009××

36Polynésie septembre 2009××

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateQ.C.M.Algébri-queGéomé-triez?=f(z)

37Antilles-Guyane septembre 2009××

38Polynésie juin 2009××

39Métropole juin 2009××

40La Réunion juin 2009××

41Asie juin 2009×××

42Antilles-Guyane juin 2009××

43Liban juin 2009×××

44Amérique du Nord juin 2009×××

45Nouvelle-Calédonie mars 2009×××

46Amérique du Sud décembre 2008××

47Nouvelle-Calédonie novembre 2008××

48Métropole La Réunion sept. 2008×××

49Antilles-Guyane septembre 2008××

50Polynésie juin 2008×××

51Liban juin 2008××

52Centres étrangers juin 2008×××

53Métropole juin 2008××

54La Réunion juin 2008××

55Asie juin 2008×××

56Antilles-Guyane juin 2008×××

57Amérique du Nord juin 2008×××

58Pondichéry avril 2008×××

59Nlle-Calédonie décembre 2007×××

60Amérique du Sud novembre 2007××

61Métropole-La Réunion sept. 2007××

62Antilles-Guyane septembre 2007××

63Polynésie juin 2007××

64La Réunion juin 2007××

65Métropole juin 2007××

66Centres étrangers juin 2007××

67Asie juin 2007××

68Liban juin 2007××

69Nouvelle-Calédonie déc. 2006××

70Amérique du Sud novembre 2006××

71Polynésie septembre 2006××

72Métropole septembre 2006×××

73Polynésie juin 2006××

74La Réunion juin 2006×××

75Métropole juin 2006××

Exercices sur les complexes2

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateQ.C.M.Algébri-queGéomé-triez?=f(z)

76Centres étrangers juin 2006×

77Asie juin 2006××

78Antilles-Guyane juin 2006×××

79Liban mai 2006××

80Pondichéry avril 2006××

81Amérique du Sud novembre 2005××

82Nouvelle-Calédonie nov. 2005××

83Métropole septembre 2005××

84Antilles septembre 2005×××

85Polynésie septembre 2005××

86Amérique du Nord juin 2005××

87Antilles juin 2005×

88Asie juin 2005×××

89Centres étrangers juin 2005××

NoLieu et dateQ.C.M.Algébri-queGéomé-triez?=f(z)

90Métropole juin 2005×

91Liban juin 2005×

92La Réunion septembre 2004××

93Nouvelle-Calédonie nov. 2004××

94Polynésie septembre 2004××

95Antilles-Guyane septembre 2004××

96Amérique du Nord mai 2004×××

97Antilles-Guyane juin 2004××

98Asie juin 2004××

99Centres étrangers juin 2004××

100Métropole juin 2004××

101Liban juin 2004××

102Polynésie juin 2004×

103La Réunion juin 2004××

104Nouvelle-Calédonie mars 2004×

105Pondichéry avril 2004××

106Amérique du Sud nov. 2003×

107Antilles septembre 2003××

108Métropole septembre 2003×

109Amérique du Nord juin 2003××

110Antilles juin 2003×

111Asie juin 2003××

112Métropole juin 2003×

113Liban juin 2003×

Exercices sur les complexes3

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateQ.C.M.Algébri-queGéomé-triez?=f(z)

114Nouvelle-Calédonie mars 2003××

115Polynésie juin 2003×

116Pondichéry mars 2003××

117Amérique du Sud déc. 2002××

118Antilles septembre 2002×

119Métropole septembre 2002××

120Nouvelle-Calédonie nov. 2002××

121Polynésie septembre 2002×××

122Amérique du Nord juin 2002××

123Antilles juin 2002×

124Asie juin 2002××

125Centres étrangers juin 2002×

126Métropole juin 2002××

127La Réunion juin 2002×××

128Polynésie juin 2002××

129Pondichéry avril 2002××

130Antilles septembre 2001×

131Métropole septembre 2001××

132Polynésie septembre 2001×

133Amérique du Nord juin 2001××

134Antilles juin 2001××

135Asie juin 2001××

136Métropole juin 2001××

137Liban juin 2001×

138Polynésie juin 2001××

139Pondichéry avril 2001××

140Amérique du Sud nov. 2000×

141Nouvelle-Calédonie déc. 2000××

142Antilles-Guyane sept. 2000××

143Amérique du Nord juin 2000××

144Antilles juin 2000××

145Asie juin 2000×

146Métropole juin 2000×

147La Réunion juin 2000××

148Liban juin 2000××

149Polynésie juin 2000××

150Pondichéry avril 2000××

151Métropole septembre 1999×

152Nouvelle-Calédonie déc. 1999×

Exercices sur les complexes4

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

153Sportifs haut-niveau sept. 1999××

Exercices sur les complexes5

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Le plan est muni d"un repère orthonormaldirect?

O,-→u,-→v?

On noterla rotationde centre O et d"angleπ

6.

On considère le point A, d"affixezA=-?

3+i, le point A1d"affixezA1=zAoùzA

désigne le conjugué dezA.

On note enfin B image du point A

1par la rotationretzBl"affixe du point 8.

1. a.Écrire lenombre complexezAsousforme exponentielle,puisplacer

les points A et A

1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité

graphique. b.VérifierquezB=2e-2iπ complexezBsous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère.

2.On considère le vecteur unitaire-→w, tel que?-→u,-→w?

12, et la droiteΔ

passant par O et de vecteur directeur -→w. a.Démontrer que le triangleOAB est rectangle isocèle en O.

b.Tracer la droiteΔ, puis démontrer queΔest la bissectrice de l"angle?--→OA ,--→OB?

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport àla droiteΔ.

3.On note B1le symétrique de B par rapport à l"axe?

O ;-→u?

et B ?l"image de B

1par la rotationr. Démontrer que B?= A.

4.Dans cette question, toute trace de recherche ou d"initiative, même non

aboutie, sera prise en compte dans l"évaluation.

Soit C le point d"affixe?

2(1+i) et D le symétrique de C par rapport à la

droiteΔ. Construireles points C et D, puis calculer l"affixe du point D

Exercices sur les complexes6

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormédirect?

O,-→u,-→v?

On appellefl"application qui à tout pointMd"affixezdifférente de-1, fait correspondre le pointM?d"affixe1 z+1. Le but de l"exercice est de déterminer l"image parfde la droiteDd"équation x=-1 2.

1.Soient A, B et C les points d"affixes respectives

z A=-1

2,zB=-12+i etzC=-12-12i.

a.Placer les trois points A, B et C sur une figure que l"on fera surla copie en prenant 2 cm pour unité graphique. b.Calculer les affixes des points A?=f(A),B?=f(B) et C?=f(C) et pla- cer les points A", B"et C" sur la figure. c.Démontrer que les points A?, B?et C?ne sont pas alignés.

2.Soitgla transformationdu planqui, à toutpointMd"affixez, fait corres-

pondre le pointM1d"affixez+1. a.Déterminer la nature et les élémentscaractéristiques de latransfor- mationg. b.Sansdonner d"explication,placer lespointsA1, B1et C1, imagesres- pectivespargdeA, B et C et tracer ladroiteD1, imagede ladroiteD parg. c.Démontrer queD1est l"ensemble des pointsMd"affixeztelle que |z-1|=|z|.

3.Soithl"application qui, à tout pointMd"affixeznon nulle, associe le

pointM2d"affixe1 z. a.Justifier queh(A1)=A?,h(B1)=B?eth(C1)=C?. b.Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a : ?1 z-1???? =1?? |z-1|=|z|. c.En déduire que l"image parhde la droiteD1est incluse dans un cercleCdont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l"image parhde la droiteD1est le cercleCprivé de O.

4.Déterminer l"image par l"applicationfde la droiteD.

Exercices sur les complexes7

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3 Antilles-Guyane 21 juin 2012

Le plan complexe est rapportéà un repère orthonormédirect?

O,-→u,-→v?

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les pointsA,BetCdu plan complexe d"affixes respectives : a=-1+2i ;b=-2-i ;c=-3+i

1.Placer les pointsA,BetCsur le graphique.

2.Calculerb

a, en déduire la nature du triangleOAB.

3.On considère l"applicationfqui à tout pointMd"affixez?=b, associe le

pointM?d"affixez?définie par : z ?=z+1-2i z+2+i. a.Calculer l"affixec?du pointC?, imagedeCparfet placer le pointC? sur la figure. b.Déterminer l"ensembleEdes pointsMd"affixezavecz?btels que??z???=1. c.Justifier queEcontient les pointsOetC. TracerE.

4.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise

en compte dans l"évaluation. On appelleJl"image du pointApar la rotationrde centreOet d"angle 2. On appelleKl"image du pointCpar la rotationr?de centreOet d"angle 2.

On noteLle milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue deOdu triangleOJKest la hauteur is- sue deOdu triangleOAC.

Exercices sur les complexes8

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

4 Centres étrangersjuin 2012

1.Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal?O;-→u;-→v?, on

considère la transformationtd"écriture complexe z ?=-iz+5+i. Affirmation: la transformationtest la rotationde centre A d"affixe 3-2i et d"angle-π 2. connuez: z 2-z z-1=0. Affirmation: l"équation (E) admet au moins une solution.

3.Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal?O;-→u;-→v?, on

considère les points A, B et C d"affixes respectivesa= -1,b=i etc=?

3+i(1-?3).

à 60°.

Exercices sur les complexes9

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5 Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct?O;-→u;-→v?, on La figure de l"exercice est donnée en annexe. Elle peut servirà émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1.Quelle est la nature du triangleABC?

2. a.Donnerl"écriturecomplexedelarotationrdecentreBetd"angleπ

2. b.En déduire l"affixe du point A" image de A parr. c.Vérifier que l"affixesdu point S milieu de [AA"] ests=-13

2-32i.

ABC.

A et d"angleπ

2, Q le milieu de [CC"], B" l"image de B par la rotation de

centre C et d"angle

2et P le milieu de [BB"].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sontq=1

2+52i etp=

2-5i. a.Démontrer ques-q p-a=-i. b.En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"ini-

tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l"évaluation. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercices sur les complexes10

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

6 Amérique du Nord juin 2012

Le plan complexe est rapportéà un repère orthonormaldirect?

O,-→u,-→v?

z, associe le pointM?d"affixez?telle que :z?=z2.

On noteΩle point d"affixe 1.

1.Déterminer l"ensembleΓ1des pointsMdu plan tels quef(M)=M.

2.SoitAle point d"affixea=?

2-i?2.

a.Exprimerasous forme exponentielle. b.En déduire les affixes des deux antécédents deAparf.

3.Déterminer l"ensembleΓ2des pointsMd"affixeztels que l"affixez?du

pointM?soit un nombre imaginaire pur.

4.Dans cette question, on souhaite déterminer l"ensembleΓ3des pointsM

distincts deΩpour lesquels le triangleΩMM?est rectangle isocèle direct enΩ. a.À l"aide de la rotation de centreΩet d"angleπ

2, montrer queMest

un point deΓ3si et seulement siz2-iz-1+i=0 etz?=1. b.Montrer quez2-iz-1+i=(z-1)(z+1-i). c.En déduire l"ensembleΓ3.

5.SoitMun point d"affixezdifférente de 0 et de 1.

a.Exprimer?---→OM,---→OM?? en fonction d"un argument dez. b.En déduire l"ensembleΓ4des pointsMdistincts de O et deΩtels que O,MetM?soient alignés.

Exercices sur les complexes11

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

7 Liban mai 2012

O,-→u,-→v?

1. Un triangle

a.On considère les pointsA,BetCd"affixes respectivesa=2, b=3+i?

3 etc=2i?3.

Déterminer une mesure de l"angle

?ABC. b.En déduire que l"affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au tri- angleABCest 1+i? 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initialezO=0, et telle que : z n+1=1+i? 3

2zn+2, pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn. a.Montrer que les pointsA2,A3etA4ont pour affixes respectives : 3+i?

3, 2+2i?3 et 2i?3

On remarquera que :A1=1,A2=BetA4=C.

b.Comparer les longueursdes segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4]. c.établir que pour tout entier natureln, on a : z n+1-ω=1+i? 3

2(zn-ω),

oùωdésigne le nombre complexe défini à la question1. b). d.En déduire que le pointAn+1est l"image du pointAnpar une trans- formationdont on précisera les éléments caractéristiques. e.Justifier que, pour tout entier natureln, on a :An+6=An. Détermi- ner l"affixe du pointA2012.

3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"ini-

tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l"évaluation.

Exercices sur les complexes12

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril2012

Partie A Restitutionorganisée de connaissances

Soitzun nombre complexe. On rappelle que

zest le conjugué dezet que|z| est le module dez. On admet l"égalité :|z|2=z z. Montrer que, siz1etz2sont deux nombres complexes, alors|z1z2|=|z1||z2|. Partie B : Étude d"une transformation particulière Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct

O,-→u,-→v?

, on désigne par A et B les points d"affixes respectives 1 et-1. Soitfla transformation du plan qui à tout pointMd"affixez?=1, associe le pointM?d"affixez?tel que : z ?=1-z z-1

1.Soit C le point d"affixezC=-2+i.

a.Calculer l"affixezC?du point C?image de C par la transformationf, et placer les points C et C ?dans le repère donné en annexe. b.Montrer que le point C?appartient au cercleCde centre O et de rayon 1. c.Montrer que les points A, C et C?sont alignés.

2.Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l"ensembleΔ

des pointsdu planqui ont le point A pour image par la transformationf.

3.Montrer que, pour tout pointMdistinct de A, le pointM?appartient au

cercleC.

4.Montrer que, pour tout nombre complexez?=1,z?-1

z-1est réel. Que peut-on en déduire pour les points A,MetM??

5.On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construireson

image D ?par la transformationf.

Exercices sur les complexes13

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

-→u-→ v O ?D

Exercices sur les complexes14

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

9 Nouvelle-Calédoniemars 2012

Partie A :

On considère le polynômePdéfini surCpar

P(z)=z3-?

2+i? 2? z2+2?

1+i?2?

z-2i?2.

1.Montrer que le nombre complexez0=i?

2 est solution de l"équation

P(z)=0.

2. a.Déterminer les réelsaetbtels queP(z)=?z-i?

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