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LABORATOIRE DE PHYSIQUE

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LES MESURES EN PHYSIQUE ET LEURS ERREURS

I. Caractère d'une mesure

Par mesure on entend soit le dénombrement d'un ensemble d'objets ou d'évènements (par ex. comptage de processus de désintégration radioactive) soit la comparaison d'une grandeur à mesurer avec une unité de même espèce (par ex. comparaison d'une distance avec l'unité de longueur). Le résultat d'un dénombrement est déterminé de façon univoque par un nombre sans dimension, par contre le résultat d'une mesure par comparaison, c'est-à-dire le nombre mesuré, dépend du choix de l'unité. Il est donc tout aussi important d'indiquer l'unité choisie que le nombre obtenu. Il est essentiellement impossible de déterminer la vraie valeur d'une grandeur physique (par ex. détermination de la masse d'un corps par pesée). Cet état de choses s'explique par le fait que : 1) Les instruments de mesure indispensables, de même que les organes des sens dont on ne peut se passer, ne possèdent pas une sensibilité infinie. La limite de sensibilité se trouve imposée en dernière analyse par la structure atomique de la matière et les phénomènes de fluctuation statistique qui y sont liés (par ex. mouvement brownien). Un résultat de mesure aura par conséquent plus ou moins de chances de s'approcher de la vraie valeur de la grandeur à mesurer, suivant la finesse de l'instrument de mesure et l'habileté de l'expérimentateur. 2) Toute observation d'un système physique introduit une interaction entre l'observateur et l'objet observé. Cette propriété d'ordre fondamental a été mise en évidence dans le deuxième quart du XXème siècle. Notons cependant que le plus souvent les instruments de mesure sont trop grossiers pour qu'elle puisse entrer en ligne de compte. D'autre part, la vraie valeur d'une grandeur essentiellement aléatoire ne présente généralement pas d'intérêt en elle-même; c'est la loi de distribution de cette valeur qui est prévisible théoriquement. Par exemple, la durée de vie réelle d'un noyau radioactif particulier n'est pas intéressante; c'est la vie moyenne d'un ensemble de tels noyaux qui est une caractéristique importante du noyau.

II. Les erreurs affectant une mesure

On distingue deux sortes d'erreurs dont toute mesure peut être affectée: l'erreur systématique ou l'erreur accidentelle.

Les erreurs systématiques

se produisent par exemple lorsqu'on emploie des unités mal étalonnées (échelle fausse, poids, chronomètre mal ajustés) ou lorsqu'on néglige certains facteurs qui ont une influence sur la marche de l'expérience (par ex. le fait de négliger la poussée d'air lors d'une pesée ou l'influence du champ magnétique terrestre dans une mesure magnétique, etc.). Dans la plupart des cas, les erreurs systématiques, pour autant qu'on connaisse leur cause, peuvent être prises en considération par une correction correspondante apportée au résultat de la mesure. Pour les mesures effectuées dans le cadre de travaux pratiques de physique, elles n'ont en général qu'une signification de second plan. -2-

Les erreurs accidentelles

par contre ne peuvent en principe pas être évitées. Leur cause se trouve dans l'expérimentateur lui-même. La sûreté avec laquelle la main manie un instrument (par ex. arrêt d'un chronographe), l'exactitude avec laquelle l'oeil observe (par ex. la position d'une aiguille sur une échelle) ou l'acuité différentielle de l'oreille observe (par ex. détermination d'un minimum d'intensité sonore) sont limitées. C'est la tâche de tout observateur d'être conscient des erreurs accidentelles de mesure, de les maintenir aussi faibles que possible et d'estimer ou calculer leur influence sur le résultat obtenu.

III. Eléments du calcul des erreurs

1. Erreur sur la mesure répétée d'une qrandeur déterminée

Si l'on essaie par une mesure d'obtenir la vraie valeur x o d'une grandeur physique déterminée, on s'aperçoit que des mesures de cette grandeur répétées successivement conduisent à des résultats particuliers différents.

Soient x

l ,x

2,...xi,...xn,

les résultats de n mesures effectuées dans des conditions identiques.

Leur moyenne arithmétique

x =x i∑ n (1) s'approchera d'autant plus de la vraie valeur x o de la grandeur considérée que le nombre n des mesures successives effectuées est plus grand. Cependant, il est absolument exclu de décider si x est plus grand ou plus petit que la vraie valeur x o puisque toute mesure ultérieure peut déplacer la valeur moyenne x vers des valeurs plus grandes ou plus petites, si bien que x pourra se trouver une fois au- dessus, une fois au-dessous de x o On peut se demander si la valeur moyenne de x introduite ci-dessus est bien le nombre qui, à l'intérieur du domaine de dispersion des mesures particulières, représente le mieux, c'est-à-dire avec la plus grande probabilité, la vraie valeur x o Un grand nombre d'expériences réalisées dans de nombreux domaines (physique, biologie, démographie, etc.) ainsi que des modèles mathématiques simples conduisent à postuler la loi normale des erreurs (distribution de Gauss). Notons que cette distribution n'est pas toujours valable comme le montre l'exemple des phénomènes de désintégration (distribution de Poisson). La distribution de Gauss (appelée aussi distribution normale) est caractérisée par deux paramètres : sa valeur moyenne x o et sa variance σ 2 . On la désigne souvent par N(x o,σ) où σ = σ 2 ≡ déviation standard -3- La figure ci-dessous esquisse deux distributions normales de même x o mais de σ différents, σ1 2 N(x o ,σ)≡ 1 2 e -1 2(x-x o 2 h max = 1 2 ; Δ=σ2n2 f(x)dx =1; f( x )dx x o-σx o =0.683 f(x)dx x o-2σx o +2σ =0.954;f(x)dx x o-3σx o +3σ =0.997 La surface hachurée représente la probabilité que la grandeur x ait une valeur comprise entre x et

Δx. Ainsi parmi N mesures de la même

grandeur x, on peut s'attendre

à en observer

n(x) = N f(x)dx xx +Δx qui seront comprises entre x et x+Δx. En particulier le 68,3% de ces mesures sera compris entre x o-σ et xo+ σ Si on effectue une série de N mesures de x et si ces mesures sont régies par la distribution N(x o,σ 1 ) puis qu'on dessine la distribution, on obtiendra une image approchée de la distribution parente

N(xo,σ

1 Le but des mesures de ce type est d'obtenir une estimation aussi précise que possible de xo la vraie valeur cherchée. On se rend compte, en examinant la figure que cette estimation sera d'autant plus précise que la distribution parente N(x o,σ) est étroite, i.e. que σ est petit. La méthode de mesure, les appareils utilisés ainsi que l'habileté de l'expérimentateur contribuent chacun à la grandeu r de Par exemple : pour mesurer une température, il est plus précis d'utiliser un bon thermomètre que de mesurer la vitesse moyenne des molécules du milieu étudié; un chronomètre électronique est plus précis qu' un chronomètre mécanique pour déterminer un temps de passage d'une boule en un point d'un plan incliné, un faisceau lumineux associé à une cellule photoélectrique sera plus précis que l'oeil et la main de l'expérimentateur (vous pouvez vous en convaincre en faisant l'expérience du PLAN INCLINE!) Comment, à partir des N mesures de x estimer la vraie valeur x o et la variance σ 2 (x) dont nous aurons besoin tout à l'heure? On montre en statistique que les meilleurs estimateurs de ces deux paramètres sont les suivants : estimateur de x o≡ x o ≡x =x i i =1N N (1) -4- estimateur de la variance de x 2 (x) = (x i -x ) 2 i =1N N-1 (2)

On remarquera que ˆ σ

2 (x) est presque (facteur (N-1) au lieu de N) la moyenne arithmétique des écarts quadratiques d'où le nom donné parfois 2 (x) "d'erreur quadratique moyenne". Il reste à estimer la précision avec laquelle on a déterminé x o La théorie statistique dit encore que la variance de x peut être estimée par : 2 (x ) = 1 N 2 (x) = (x i -x ) 2 i =1N

N(N-1)

(3)

REMARQUE: si on veut diminuer

x ) d'un facteur 2, il faut quadrupler le nombre de mesures (ou alors améliorer la méthode et/ou les appareils, sans parler de l'expérimentateur!)

Ces estimateurs

x , 2 (x) et ˆ σ 2 (x ) sont indépendants du type de la distribution parente, Celle-ci ne doit donc pas être nécessairement gaussienne pour que les formules (1), (2) et (3) soient applicables. Par convention en physique, le résultat de la mesure est donné sous la forme x ± ˆ σ 2 (x) x ± (x i -x ) 2 i =1N

N(N-1)

(4) N.B. Dans ce qui suit ainsi que dans la vie courante (du physicien), on utilise les notations σ 2 au lieu de 2 et σ au lieu de

ˆ σ par souci de

simplification des notations. A côté de l'erreur absolue d'un résultat de mesure, il est souvent commode d'indiquer l'erreur relative 2 (x)/x. L'erreur absolue a toujours la même dimension (même unité) que le résultat de la mesure lui-même. L'erreur relative n'a pas de dimension et peut se donner en % ou en o/oo.

Remarque

: Dans le cas ou il n'est pas possible de répéter un nombre suffisant de fois la mesure, on se contentera d'estimer l'erreur affectant la grandeur mesurée x et on notera cette estimation d'erreur par Δx

2. Erreur affectant une mesure indirecte; loi de propagation

des erreurs Les mesures effectuées en physique sont le plus souvent indirectes, c'est-à-dire que le résultat final d'une expérience ne consiste pas dans la mesure répétée d'une seule, mais de plusieurs grandeurs qui, liées par une loi physique, conduisent au résultat cherché. Par ex. la période d'oscillation du pendule simple est donnée par la loi : -5-

T = 2π

g En mesurant la longueur du pendule et sa période T (donc ici deux mesures), on obtient de façon simple l'accélération de la pesa nteur g : g = 4 2 T 2 Il s'agit de savoir de quelle façon les erreurs de mesure sur et sur T se répercutent sur la grandeur à déterminer g (propagation des erreurs). Nous désignerons par R le résultat découlant de la combinaison de n grandeurs mesurées xn. R est donc une fonction de ces n variables :

R = R(x

1 , x 2 , ..., xn) dont les arguments x l , x 2 ,...,xn sont affectés respectivement des erreurs quadratiques moyennes σ 1 2 n Il est possible de montrer que l'erreur quadratique moyenne σ R du résultat

R est donnée par :

R R x 1 2 12 R x 2 2 22
R x n 2 n2 1 2 (5) Si les valeurs des arguments sont obtenues comme le résultat d'une moyenne x 1 x 2 x n les erreurs affectant ces grandeurs seront données par x 1 ), σ(x 2 ) σ(x n ) et l'erreur sur la valeur moyenne R sera donnée par R ) = ∂R x 1 2 2 (x 1 R x 2 2 2 (x 2 R x n 2 2 (x n 1 2 (5')

L'erreur σ(

R ) ainsi calculée est telle que la vraie valeur Ro de la grandeur calculée a 68,3% de chances de se trouver dans l'intervalle

R -σ(R

R +σ(R

)), où

R = R(

x 1 x 2,... x n ). Pour compléter notre exemple précédent, la propagation des erreurs conduit à : 2 = 4 2 T 2 2 2 + 4 2 T 3 2 T2

Remarque

: Il est souvent utile et suffisant d'évaluer une borne supérieure de l'erreur affectant la grandeur R = R(x 1 , x 2 ,...x n ) en développant R en série de Taylor au premier ordre au voisinage du point (x l , x 2 ,...xn)

ΔR∂

R x 1 Δx 1 R x 2 Δx 2 R x n Δx n (6)

Ainsi l'estimation

de l'erreur maximum sur R, ΔR, s'obtient très facilement en fonction des erreurs estimées entachant les n grandeurs xi. Il s'agit de noter que sauf pour un certain nombre d'expériences bien déterminées, on ne connaît pas l'écart quadratique moyen (xi) sur chaque grandeur x i, mais seulement leur estimation xi. Il peut par conséquent être utile (et plus rapide!)d'utiliser la formule approximative (6). ~quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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