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196 est le quantile d'ordre 0

Estimation et intervalle de confiance

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Corrigé de la feuille de TD 4 : Estimation par intervalle de confiance

Exercice 1. Pour déterminer la teneur en potassium d'une solution on effectue des dosages à l'aide d'une technique expérimentale donnée.

II - Estimation dun paramètre par intervalle de confiance

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Cours de Statistiques niveau L1-L2

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MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance

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Feuille de TD 3 : Intervalles de con?ance - CNRS

Comme Xn converge presque sûrement vers 2q (LFGN) par le théorème de continuité on obtient la convergence presque sûre de qˆ n vers q De plus le TLC nous donne p n Xn 2q L! n!¥ Z ?N 0q2 Par le théorème de continuité on obtient donc p n qˆ n q L! n!¥ 1 2 Z ?N 0 q2 4 5 Soit a 2(01) construire un intervalle de con?ance

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Déterminer à partir de ces mesures un intervalle de confiance pour de niveau de confiance 95 et calculer l’intervalle observé Outils : CM Chap IV §1 "Intervalle de confiance pour l’espérance d’un n- échantillon gaussien" §§ 1 1 "Cas où la variance est connue Corrigé : Soit X le résultat d’un dosage en mg/litre

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T D no 5 Intervalles de confiance Corrigé Exercice 1 Les billes métalliques On calcule la moyenne de l’échantillon : b = 20: b Calculons la variance corrigée puis l’écart-type corrigé de l’échantillon à partir de la moyenne de l’échantillon : 10 19; 62 + 202 +

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L2 Mathématiques / DL2 Mathématiques Economie

L2 Informatique / DL2 Biologie Informatique

Statistiques

Corrigé de la feuille de TD 4 : Estimation par intervalle de confiance

Exercice 1.

Pour déterminer la teneur en potassium d"une solution, on effectue des dosages à l"aide d"une technique expérimentale donnée. On admet que le résultat d"un dosage est une variable aléatoire suivant une loi gaussienneN(;2)dont l"espéranceest la valeur que l"on cherche à déterminer, et dont l"écart-typeest de 1 mg/litre si l"on suppose que le protocole expérimental a été suivi scrupuleusement. Les résultats pour cinq dosages indépendants réalisés en suivant rigoureusement le protocole expérimental sont les suivants (en mg/litre) : 74.0, 71.6, 73.4, 74.3, 72.2. 1. Déterm inerà partir de ces mesures un in tervallede co nfiancep ourde niveau de confiance 95% et calculer l"intervalle observé. Outils :CM Chap.IV, §1 "Intervalle de confiance pour l"espérance d"unn- échantillon gaussien", §§ 1.1."Cas où la variance est connue. Corrigé :SoitXle résultat d"un dosage en mg/litre. AlorsX N(;1). SoientX1;:::;Xni.i.d. de loi deX. L"espéranceest naturellement estimée par la moyenne empirique Xn=1n n X i=1X i; estimateur sans biais et consistant. Comme moyenne denvariables aléatoires indépendantes de loiN(;1), la moyenne empirique suit la loi gaussienne. Plus précisément :

Xn N(;1n

)et doncpn(Xn) N(0;1):(1) On sait que siZ N(0;1);alors, lu dans les tables deN(0;1)

P(Z1;96) = 0;975

et donc, par symétrie de la densité deN(0;1)par rapport à l"axe des ordonnées,

P(1;96Z1;96) = 0;95:

Ce qui donne, en utilisant (1)

P(1;96pn(Xn)1;96) = 0;95:

En résolvant la double inégalité on obtient :

P(Xn1;96pn

Xn+1;96pn

) = 0;95 et donc l"intervalle de confiance pourde niveau de confiance95%est IC

95%() = [Xn1;96pn

;Xn+1;96pn Pour trouver l"intervalle de confiance observée on calcule la valeur de la moyenne empirique sur l"échantillon donnée : x=15 (74:0 + 71:6 + 73:4 + 74:3 + 72:2 + 73;1) où on a utilisén= 5. On obtient : IC

95%;obs() = [72;22346;73;97654]:

2. Quelle taille d"éc hantillonest nécessaire p oura voirau même niv eaude confiance un intervalle de longueur inférieure à0:1mg/litre? Corrigé :Notonslla longueur de l"intervalle de confiance. On a l=21;96pn

On cherchentel quel0;1;i.e.ntel que

21;96pn

0;1: D"ou n(21;96=0;1)2= 1536;64: C"est donc à partir den= 1537que la longueurlsera plus petite que0;1:

Exercice 2.

Suite de l"exercice 1 du TD 3.

Lors d"un sondage effectué en Ile de France, auprès de 550 personnes, il est apparu que 42 avaient de l"asthme. On se propose d"estimer par intervalle de confiance la probabilitépd"avoir de l"asthme en Ile de France. On noteZila variable aléatoire qui vaut 1 si lai-ème personne de l"échantillon sondé est atteinte et 0 sinon. On admet que les variablesZ1;;Znsont indépendantes et de même loi. On note Z n=1n n X i=1Z i. Calculer des intervalles de confiance pourp, basés sur l"approxi- mation gaussienne, de coefficients de sécurité asymptotiques90%,95%puis99%.

Calculer les intervalles observés.

Outils :CM Chap. IV, §3 "Intervalle de confiance pour une probabilité dans le cas d"un grand échantillon." Corrigé :Les v.a.Z1;;Znsont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètrep. On a aussi

EZi=p ; V ar(Zi) =p(1p):

L"estimation deppar intervalle de confiance c"est donc un cas particulier de l"es- timation de l"espérance d"un grand échantillon par intervalle de confiance. Par le Théorème Central Limite , on a la convergence en loi suivante : pn

Znppp(1p)L!n!1N(0;1):

La varianceV ar(Zi) =p(1p)est inconnue. En utilisant le fait queZnest un estimateur consistant dep, on obtient queZn(1Zn)est un estimateur consistant de la variance , d"où on peut déduire que pn Znpp

Zn(1Zn)L!n!1N(0;1):

Cette convergence en loi signifie précisément que8ab; P(apn Znpp

Zn(1Zn)b)!n!1P(aZb);

oùZ N(0;1): Pourngrand, et à partir den= 30on peut utiliser l"approximation : P apn Znpp

Zn(1Zn)b!

P(aZb):

Dans les tables de la loiN(0;1)on choisit la valeurttelle que

P(tZt) = 1:

C"est à dire,P(Zt) = 12

: test le quantile d"ordre12 de la loiN(0;1): On obtient, en résolvant la double inégalité par rapport àp: P Zntr

Zn(1Zn)n

pZn+tr

Zn(1Zn)n

1.= 10%; t= 1;645IC10%;obs(p) = [0;0577;0;09499]

2.= 5%; t= 1;96; IC5%;obs(p) = [0;0542;0;0985]

3.= 1%; t= 2;575; IC1%;obs(p) = [0;0472;0;1055]

Exercice 3.

En conduite, on sait que le temps de réaction (t.r.) est aléatoire et est lié à l"état

du conducteur. On suppose que pour un conducteur dans un état normal (non atteint de maladie pouvant modifier son t.r., sous l"emprise d"aucun produit de type alcool, drogue, médicaments, ...), le temps de réaction mesuré en secondes est une variable aléatoireXd"espéranceet de variance2>0. On considère un test de conduite où on met le conducteur en situation de danger imprévisible et on observe son temps de réaction. On fait passer le test àn= 307conducteurs choisis aléatoirement et dans un état normal et le temps de réaction moyen pour l"échantillon choisi estxn= 1:05s. 1. On supp osetout d "abordque Xest une v.a. de loi gaussienne de variance

2= 0:2:X N(;0;2).

(a) Donner un in tervallede confiance p ourle t.r. mo yen, de niveau de confiance

95%et calculer l"intervalle observé.

OutilsCM Chap IV, §1, §§1.1 Intervalle de confiance pour l"espérance d"une loi gaussiènne, cas ou la variance est connue. CorrigéSoitX1;:::;Xnunn-échantillon de loi deX. PuisqueX N(;0;2), on aXn N(;0;2n )et pn (Xn)p0;2 N(0;1): Dans les tables de la loiN(0;1)on choisit la valeurttelle que

P(tZt) = 1:

C"est à dire,P(Zt) = 12

: test le quantile d"ordre12 de la loi

N(0;1):Ici= 0;05ett= 1;96:On obtient,

P(1;96pn

(Xn)p0;21;96) = 0;95 et en résolvant la double inégalité par rapport à: IC

95%() = [Xn1;96r0;2n

;Xn+ 1;96r0;2n Pour calculer l"intervalle de confiance observée, on utilisexobs= 1;05et n= 307: IC

95%;obs= [0;99998;1;10003]:

(b)Je conduis par b eautemps sur une autoroute à 130km=h. La distance par- courue pendant le temps de réaction est appelée distance de réaction. Don- ner un intervalle de confiance (et l"intervalle observé) pour la distance de réaction moyenne, de niveau de confiance95%.

Corrigé :NotonsDdistance de réaction. On a

D=X130=3600; E(D) =130=3600:

A partir de l"intervalle de confiance pouron trouvera celui pourD: P

Xn1;96r0;2n

Xn+ 1;96r0;2n

et donc P

13=360(Xn1;96r0;2n

)E(D)13=360(Xn+ 1;96r0;2n Finalement l"intervalle de confiance observée pourEDest en km :[0;03611;0;03972] et en m :[36;11;39;72]: 2. On ne supp oseplus à présen tque Xsuit une loi gaussienne et que2est connu. (a) Commen tp eut-onestimer 2? Quelle sont les propriétés de cet estimateur?

Corrigé :On estime2par la variance empirique :

^2n=1n n X i=1(XiXn)2: Remarque : C"est un estimateur consistant mais biaisé de2:Pour avoir un estimateur non-biaisé, il faut normaliser parn1. Mais comme dans cette exercice par la suite on va faire tendren! 1et utiliser le TCL, cela est

équivalent. Aussi on a

^2n=1n n X i=1(XiXn)2=1n n X i=1(Xi)2(Xn)2: (b) On a estimé 2à partir de l"échantillon considéré et on trouve comme esti- mation^2n;obs=1n P n i=1(xixn)2= 0:23. Peut-on calculer des intervalles de confiance comme dans la question 1? Si oui, faites le. Outils :CM Chap IV, § 2. Intervalle de confiance pour l"espérance d"une loi quelconque. Grand échantillon. §§2.2. Cas ou la variance est inconnue. Corrigé :Par le Théorème Central Limite , on a la convergence en loi suivante :pn Xn

L!n!1N(0;1):

En utilisant le fait que^2nest un estimateur consistant de2, on peut mon- trer que pn

Xn^nL!n!1N(0;1):

On aura donc

Xn1;96r^nn

Xn+ 1;96r^nn

0;95: IC

95%;obs() = [0;99635;110365]:

On a aussi l"intervalle observé pour la moyenne de la distanceED P

13=360(Xn1;96r^nn

)ED13=360(Xn+ 1;96r^nn 0;95: IC

95%;obs(E(D)) = [35;98;39;85]:

(c) P eut-onaffirmer que les niv eauxde confiance son texactemen tde 95%? Corrigé :Non, car il s"agit des intervalles asymptotiques : par le TCL on a seulement

P(Xn1;96r^nn

Xn+ 1;96r^nn

)!n!10;95: ce qui donne0;95et non= 0;95pour les deux intervalles de confiance.

Exercice 4 Suite de l"exercice 2 du TD 3.

On suppose que le nombreXde clients téléphonant à un central téléphonique chaque jour est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre, avec >0. Pendantn= 100jours, on a compté le nombrexide clients ayant appelé le jour i. Sur ces 100 jours, le nombre moyen d"appels par jour obtenu est de 2,89. On considère que chaquexiest la réalisation d"une variable aléatoireXide loi de Poisson de paramètre, lesXiétant supposées indépendantes et identiquement distribuées. 1. Déterm inerun in tervallede confiance p ourde niveau de confiance approxi- matif1. Outil :CM Chap IV §2, §§2.2 Intervalle de confiance pour l"espérance d"une loi quelconque. Grand échantillon. Variance inconnue. Corrigé :On noteXinombre de clients téléphonant à le centrale le jouri. On aX1;:::;Xni.i.d. de loiP(): n= 100On aEXi=; V ar(Xi) =:Par le TCLpn (Xn)

L!n!1N(0;1):

Comme

Xnest un estimateur consistant de;on a aussi

pn (Xn)

XnL!n!1N(0;1):

On cherche dans les tables deN(0;1)la valeurttelle que

P(tZt) = 1

ouZ N(0;1). On a P(tpn (Xn)

Xnt)L!n!1P(tZt)

et donc pourngrand P(tpn (Xn)

Xnt)1:

D"ou

P(Xntr

Xnn Xn+tr Xnn )1: 2. Donner les in tervallesd econfiance obs ervésp ourcalculés aux niveaux de confiance approximatifs90%,95%et99%. Commenter.

Pour calculer l"IC observé on trouve :

(a)= 10%; t= 1;645IC10%;obs() = [2;61035;3;16465] (b)= 5%; t= 1;96; IC5%;obs() = [2;5568;3;2232] (c)= 1%; t= 2;575; IC1%;obs() = [2;45225;3;32775] 3. Com mentp eut-onobtenir des in tervallesde confiance de longueurs plus p etites en gardant les mêmes niveaux de confiance?

Augmenter len.

Exercice 5Pour déterminer la concentration en glucose d"un échantillon sanguin, on effectue des dosages à l"aide d"une technique expérimentale donnée. On considère que le résultat de chaque dosage est une variable aléatoire de loi gaussienne. On effectue 10 dosages indépendants, qui donnent les résultats suivants (en g/l) : 1. Calculer une estimation de la concen trationen glucose de cet éc hantillonsan- guin. CorrigéSoitXirésultat du dosagei.Xi N(m;2),X1;:::;Xni.i.d. et n= 10:On estimemparXnetxobs= 1;053:

2.Calculer un in tervallede confiance de cette concen trationde niv eaude confiance

95%.
OutilCM Chap IV § 1, §§1.2 : Intervalle de confiance pour l"espérance de la loi gaussienne,nquelconque, variance inconnue. CorrigéOn estime la variance inconnue2par l"estimateur sans biais S

2n=1n1n

X i=1(XiXn)2:

On considère la statistique

pn XnmS n: Cette statistique ne suit pas la loi gaussienne. Sa loi est appelée la loi de Student

àn1degré de libertés. On note

pn XnmS nSt(n1): On cherche dans les tables deSt(n1)la valeur dettelle que

P(tTt) = 1

oùTSt(n1):

On remplaceTparpn

XnmS net on en déduit

P(XntSpn

mXntSpn ) = 1 Comme on a utilisé une loi exacte (loi de Student àn1degré de liberté, c"est une égalité exacte, et pas une égalité approximative, puisque la loi de la statistiquepn XnmS nc"est la loiSt(n1):

Pour= 0;05etn= 10on trouvet= 2;262:On calculeP10

i=1x2i= 11;1791:

Enfin en utilisant

1n n X i=1(XiXn)2=1n n X i=1X

2i(Xn)2;

et 1n1n X i=1(XiXn)2=nn11n n X i=1(XiXn)2 on calcule s obs=p1;121;0532= 0;095:quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Statistiques

Exercice 1.

Xn N(;1n

P(Z1;96) = 0;975

P(1;96Z1;96) = 0;95:

Ce qui donne, en utilisant (1)

P(1;96pn(Xn)1;96) = 0;95:

P(Xn1;96pn

Xn+1;96pn

95%() = [Xn1;96pn

95%;obs() = [72;22346;73;97654]:

On cherchentel quel0;1;i.e.ntel que

21;96pn

Exercice 2.

Suite de l"exercice 1 du TD 3.

Calculer les intervalles observés.

EZi=p ; V ar(Zi) =p(1p):

Znppp(1p)L!n!1N(0;1):

Zn(1Zn)L!n!1N(0;1):

Zn(1Zn)b)!n!1P(aZb);

Zn(1Zn)b!

P(aZb):

P(tZt) = 1:

C"est à dire,P(Zt) = 12

Zn(1Zn)n

Zn(1Zn)n

1.= 10%; t= 1;645IC10%;obs(p) = [0;0577;0;09499]

2.= 5%; t= 1;96; IC5%;obs(p) = [0;0542;0;0985]

3.= 1%; t= 2;575; IC1%;obs(p) = [0;0472;0;1055]

Exercice 3.

2= 0:2:X N(;0;2).

95%et calculer l"intervalle observé.

P(tZt) = 1:

C"est à dire,P(Zt) = 12

N(0;1):Ici= 0;05ett= 1;96:On obtient,

P(1;96pn

95%() = [Xn1;96r0;2n

95%;obs= [0;99998;1;10003]:

Corrigé :NotonsDdistance de réaction. On a

D=X130=3600; E(D) =130=3600:

Xn1;96r0;2n

Xn+ 1;96r0;2n

13=360(Xn1;96r0;2n

Corrigé :On estime2par la variance empirique :

équivalent. Aussi on a

L!n!1N(0;1):

Xn^nL!n!1N(0;1):

On aura donc

Xn1;96r^nn

Xn+ 1;96r^nn

95%;obs() = [0;99635;110365]:

13=360(Xn1;96r^nn

95%;obs(E(D)) = [35;98;39;85]:

P(Xn1;96r^nn

Xn+ 1;96r^nn

Exercice 4 Suite de l"exercice 2 du TD 3.

L!n!1N(0;1):

Xnest un estimateur consistant de;on a aussi

XnL!n!1N(0;1):

P(tZt) = 1

Xnt)L!n!1P(tZt)

Xnt)1:

P(Xntr

Pour calculer l"IC observé on trouve :

Augmenter len.

2.Calculer un in tervallede confiance de cette concen trationde niv eaude confiance

2n=1n1n

On considère la statistique

àn1degré de libertés. On note

P(tTt) = 1

On remplaceTparpn

P(XntSpn

Pour= 0;05etn= 10on trouvet= 2;262:On calculeP10

Enfin en utilisant

2i(Xn)2;