[PDF] Estructuras Algebraicas a b. · c d. = ac

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Universidad Complutense de Madrid

Departamento de Algebra

Estructuras Algebraicas

Julio Castellanos

2017
1

Chapter 1

Anillos

1.1 Primeras nociones

Denicion 1

Llamaremos anillo a un conjuntoAcon dos operaciones,(A,+,.) (+ suma, . producto),(denotaremos a.b=ab) +,.:A×A→Avericando las propiedades: (1) Asociativa suma:∀a,b,c∈A,a+ (b+c) = (a+b) +c (2) Conmutativa suma:∀a,b∈A,a+b=b+a (3) Elemento neutro existe:0∈A, tal que∀a∈A,a+ 0 =a (4) Elemento opuesto:∀a∈A, existe-a∈Atal quea+ (-a) = 0 (5) Asociativa producto:∀a,b,c∈A,a(bc) = (ab)c (6) Distributiva suma respecto del producto: ∀a,b,c∈A,a(b+c) =ab+ac,(b+c)a=ba+ca Nota. propiedades (1) ... (4) nos dicen queAes grupo conmutativo. Diremos que el anilloAesabelianooconmutativosi∀a,b∈A,ab=ba Diremos que el anilloAesunitariosi∃1∈Atal que∀a∈A,a1 = 1a=a ejemplos: -Anillo de los numeros enteros (Z,+,.) conmutativo y con 1. -Multiplos de un numeron,nZconmutativo y no unitario. -Anillo de las clases modulon, (Zn,+,.), conmutativo y con 1 = 1, Z n={ 0,

1,...,

n-1}. 2 -Enteros de Gauss (Z[i],+,.), conmutativo y con 1 -1. -DadosA,Banillos el producto cartesianoA×Bes un anillo con las operaciones (a1,b1)+(a2,b2) = (a1+a2,b1+b2), (a1,b1)(a2,b2) = (a1a2,b1b2), el cero es (0,0), y si hay unidades enAyB, la unidad es (1,1). El producto hereda propiedades deAyB, aunque no todas. -Matrices cuadradasMn(R),Mn(C), operaciones suma y producto de matrices, tiene unidad (la matriz unidad), y no es conmutativo. -Los polinomios con coecientes realesR[X],R[X,Y]. -Los numeros naturalesNno son anillo, faltan los elementos opuestos (los negativos).

Ademas en cualquier anillo se verica:

(i)a0 = 0a= 0,∀a∈A (ii) (-a)b=a(-b) =-(ab),∀a,b∈A (ii) (-a)(-b) =ab,∀a,b∈A

Denotaremosa+ (-b) comoa-b.

Denimos paraa∈Ay 0̸=n∈N,na=a+(n···+a, 0a= 0 y (-n)a= (-a)+(n···+(-a), yan=a(n···a y∀a,b∈A,∀n,m∈Zse verica,: n(a+b) =na+nb, (n+m)a=na+ma (nm)a=n(ma) y siab=ba, entonces (ab)n=anbn, y (a+b)n=∑ i=0,...,n(n i) a n-ibi,∀n∈N- {0}

EnZn, sin=mqentonces

m· q= n=

0, en este caso diremos que

my qson divisores de 0.

Denicion 2

Denimos divisores de0en un anilloAa los elementosa,b tales quea̸= 0,b̸= 0yab= 0. Denimos dominio de integridad (DI) a un anillo conmutativo con unidad, con1̸= 0y tal que no contiene divisores de cero. 3 ejemplos - Z,Qson DI. - Z

6no es DI, ya que

2· 3 = 0. -A×Bno es dominio de integridad, ya que (a,0)(0,b) = (0,0). En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa.

Proposicion 1

SeaAdominio de integridad, entonces sia̸= 0yax=ay se vericax=y. demostraci on. ax=ay⇒a(x-y) = 0, y por ser dominio de integridad ya̸= 0, entoncesx-y= 0⇒x=y. Diremos que un elementoade un anillo tieneinverso respecto del producto (o esunidad) en un anillo unitario si existea-1tal queaa-1=a-1a= 1. NotaEl conjunto de las unidades de un anilloA,UA, es un grupo respecto del producto.

Denicion 3

Denimos cuerpo como un anillo conmutativo unitario con

1̸= 0tal que todo elemento distinto de 0 tiene inverso.

ejemplos: -Los numeros racionalesQ, los numeros realesR, los numeros complejos

C, son cuerpos.

- Zno es cuerpo. - Z pconpprimo es un cuerpo conpelementos.

Corolario 1

Todo cuerpo es dominio de integridad.

demostraci on. Si los elementosa̸= 0,b̸= 0 vericanab= 0⇒1 = (ab)a-1b-1= 0 (contradicion). 4 UnsubanilloBdeA, es un subconjuntoB⊂Aque es anillo con las operaciones heredadas deA. Es decir:

B⊂A

subanillo⇔{∀a,b∈B,a+b∈B, ab∈B ab∈B ejemplos: - Zes subanillo deQ,Qes subanillo deR, yRes subanillo deC.

1.2 Ideales y homomorsmos

A partir de ahora todos los anillos considerados seran conmutativos y uni- tarios.

Denicion 4

DadosA,Banillos, una aplicacionf:A→Bes homomor- smo de anillos si∀a1,a2∈Ase tiene: f(a1+a2) =f(a1) +f(a2),f(a1a2) =f(a1)f(a2)yf(1) = 1

Sif:A→Bes homomorsmo de anillos se verica:

f(0) = 0. f(-a) =-f(a). f(na) =nf(a),∀n∈Z. Nota. Notese que hemos exigido quef(1) = 1 que no se deduce de las condiciones anteriores. De lo anterior se deduce trivialmente que la composicion de homomors- mos es homomorsmo. DenotamosHom(A,B) ={f:A→B, homomorsmo}es un anillo con la suma ((f+g)(a) =f(a) +g(a)) y producto ((f·g)(a) =f(a)·g(a)). ejemplos: -La inclusionA⊂Bes un homomorsmo de anillos. -f:Z→Zndado porf(a) = ksi∃λ∈Zcona-λn=k, es homomorsmo. -La inclusionZ[i]⊂Ces un homomorsmo de anillos. 5

Denicion 5

Dadof:A→Bhomomorsmo de anillos denimos:

Imagen def,im(f) ={b∈B:∃a∈A, tal que f(a) =b}

Nucleo def,ker(f) ={a∈A:f(a) = 0}.

ejemplos:

Dadof:Z→Zncomo antes,im(f) =Zn, yker(f) =nZ.

Nota. El nucleo es un subanillo no necesariamente unitario, en el ejemplo anterior 1/∈nZ.

El nucleo ademas tiene la siguiente propiedad:

sib∈ker(f) ya∈A⇒ab∈ker(f), (f(ab) =f(a)f(b) =f(a)0 = 0).

Denicion 6

DadoAanillo,I⊂Aes ideal si:

Ies subanillo deA

Es decir:

I⊂Aes ideal⇔{∀a,b∈I⇒a-b∈I ∀x∈A,a∈I⇒xa∈I ejemplos: -{0},Ason ideales deA, de hecho si 1∈I⇒I=A. -Multiplos den∈Z,nZson ideal. -Multiplos dep(x)∈R[x] son ideal. -{f: [0,1]→Rcontinuas:f(1/2) = 0}es ideal. -f:A→Bhomomorsmo de anillos,ker(f) es ideal.

Anillo cociente

SeaI⊂Aideal,∼la relaciona,b∈A,a∼b⇔a-b∈Ies de equivalencia. 6 DenotamosA/Ial conjunto cociente por∼y la clase dea∈Acomo a+I={a+x:x∈I}. Nota. Las propiedades de ideal proporcionan queA/Isea anillo con las operaciones: -Suma (a+I) + (b+I) = (a+b) +I. -Producto (a+I)·(b+I) = (ab) +I. A/Icon la suma es grupo abeliano (por ser + conmutativa). El producto enA/Iesta bien denido, i.e. no depende de los represen- tantes elegidos: a+I=a′+I b+I=b′+I⇔{a=a′+h, h∈I b=b′+k, k∈I⇒

I ideal

a ab=a′b′+g,g∈I El producto en el anillo cocienteA/Iverica asociativa, conmutativa y distributiva por vericarlasA. ejemplos Z nZ≡Zn,R[x] (x2+ 1)R[x]≡C

Operaciones con ideales

La union de ideales no es ideal en general: 3 + 4 = 7/∈3Z∪4Z. -Suma de ideales:I+J={h+k:h∈I,k∈J}es ideal. -Interseccion de idealesI∩Jes ideal. i∈Ii(cualquier conjunto de indices ) es ideal. -Producto de idealesI·J={h1k1+···+hrkr:hi,∈I,ki∈J}es ideal.

Ideal generado por un subconjunto

Sea∅ ̸=S⊂Asubconjunto, elideal generadoporSenAes: I(S) ={x1h1+···+xrhr:hi,∈I,xi∈A} ⇔ 7

I(S) =∩

I i⊃SI i, Iiideal de A Es decirI(S) es el menor ideal deAque contiene aS.

Se verica entonces:

I+J=I(I∪J), yI·J=I({hiki}), hi∈I,ki∈J. ejemplos: -Ideal principal: (generado por un elemento)bA≡(b) ={ab:a∈A}. -Ideal nitamente generado: Ideal generado por un numero nito de elementosS={b1,...,bn}:

Denicion 7

Llamaremos dominio de ideales principales (DIP) a un do- minio de integridad en el que todos sus ideales son principales. ejemplos: Zes DIP. SiI⊂Zideal,I= (n) donden=min{m >0 :m∈I}. Basta dividir 0< m∈I,m=cn+r⇒r=m-cn∈Iyr < n⇒r= 0, i.e. m∈(n) (analogo para-m).

Denicion 8

Llamaremos Anillo Noetheriano a un anillo en el que todos sus ideales son nitamente generados.

Proposicion 2

DadosAanillo,Aes cuerpo⇔

los unicos ideales deAson(0)y(1). demostraci on. ⇒)Acuerpo, (0)̸=I⊂Aideal, sea 0̸=b∈I⇒bb-1= 1∈I⇒I=A. ⇐) Sea 0̸=b⇒(b) =A= (1)⇒ ∃c∈Iconbc= 1.

Ideales primos y maximales

Denicion 9

SeaAanillo:

p⊂A,p̸=Aes ideal primo siab∈p⇒a∈pob∈p. M⊂A,M̸=Aes ideal maximal si∀I⊂Aideal conM I⇒I=A. 8 Es decirpes primo siI·J⊂p⇒I⊂poJ⊂p.

Mes maximal si es maximal para la inclusion.

ejemplos: -El ideal (p)Zconpprimo, es ideal primo e ideal maximal; (n)Zconn no primo, no es ni primo ni maximal. -La suma de ideales primos no es primo en general, seanI= (x2+1),J= (y2+ 1) ideales primos deR[x,y], su sumaI+J= (x2+ 1,y2+ 1) no es primo ya que (x2+ 1)-(y2+ 1) =x2-y2= (y-x)(y+x)∈I+J, pero x±y /∈I+J. Nota. Se demuestra que todo ideal esta contenido en uno maximal.

Tenemos las siguientes caracterizaciones:

Proposicion 3

DadosAanillo,p⊂Aideal,

pes primo⇔A/pes dominio de integridad. demostraci on. ⇒) Sea (a+p)(b+p) = 0 +p⇒ab∈p⇒(por serpprimo) a∈pob∈p, es decira+p= 0 +pob+p= 0 +p. ⇐) Seaab∈p⇒(a+p)(b+p) = 0 +p⇒(por serA/pDI) a+p= 0 +pob+p= 0 +pes decira∈pob∈p. Nota.

Aes dominio de integridad⇔(0) es primo.

Proposicion 4

DadosAanillo,M⊂Aideal

Mes maximal⇔A/Mes cuerpo.

demostraci on. ⇒) Seaa+M̸= 0 +M⇒a /∈M, consideramos el idealaA+M!M⇒(por serMmaximal) aA+M=A⇒ ∃m∈M,b∈Acon 1 =m+ab⇒ab-1∈M⇒ 9 ab+M= 1 +M⇒(a+M)-1=b+M, luegoA/Mes cuerpo. ⇐) SeaI)M,∃a∈I,a /∈M⇒(por serA/Mcuerpo) ∃(b+M) con (a+M)(b+M) = 1 +M⇒

1-ab∈M⊂I(y comoab∈I)⇒1∈IyI=A.

Nota.

Aes cuerpo⇔(0) es maximal.

Corolario 2

Todo ideal maximal es primo.

demostraci on.

Todo cuerpo es dominio de integridad.

-Lo contrario no es cierto , ejemplo:

Sea (x)Z[x] es ideal primo de (x)Z[x] ya que

Z[x]/(x)Z[x]≡Zque es DI , y no maximal puesZno es cuerpo. Nota. Siempre se tiene queIJ⊂I∩Jy si los idealesI,Json comaximales, es decir,I+J=AentoncesIJ=I∩J. En efecto, SiI+J=A,⇒ ∃h∈I,k∈Jcon 1 =h+k, y sib∈I∩J ⇒b=bh+bk∈IJ.

Tipos de homomorsmos

Seaf:A→Bhomomorsmo de anillos

-fesmonomorsmosi es homomorsmo inyectivo. -fesepimorsmosi es homomorsmo suprayectivo. -fesisomorsmosi es homomorsmo biyectivo. ejemplos: -Elhomomorsmo de inclusioni:A ,→BparaA⊂Bes inyectivo. -Elhomomorsmo de proyeccionparaI⊂Aideal, seap:A→A/I, p(a) =a+Ies suprayectivo. 10

Proposicion 5

f:A→Bhomomorsmo de anillos, es inyectivo⇔ker(f) ={0}. demostraci on. ⇒) Seaa∈ker(f)⇒f(a) = 0 =f(0)⇒(por serfinyectiva)a= 0. ⇐) Seaf(a) =f(b)⇒0 =f(a)-f(b) =f(a-b)⇒ a-b∈ker(f) ={0} ⇒a-b= 0⇒a=b. Nota. De lo anterior se deduce que todo homomorsmof:F→A, no nulo, conFcuerpo es inyectivo. (un cuerpo solo tiene el cero como ideal propio) -Dos anillosA,Bsonisomorfos(A≈B) si existe un isomorsmo fentre ellos y en dicho casof-1:B→Aes tambien isomorsmo.

Teoremas de isomorfa

Teorema 1

1 erteorema de isomorfa: Seaf:A→Bhomomorsmo de anillos. Entonces existe un unico isomorsmo f:A/ker(f)→im(f), tal que el diagrama siguiente A f-→B p↓↑i

A/ker(f)

f ≈im(f) es conmutativo, i.e.f=i◦ f◦p. demostraci on.

Denimos

f:A/ker(f)→im(f) como f(a+ker(f)) =f(a). fes homomorsmo inyectivo ya que si 0 = f(a+ker(f)) =f(a) ⇒a∈ker(f)⇒a+ker(f) = 0 +ker(f) fes suprayectivo ya queim( f) =im(f). fes unico, ya que si existe otrof∗vericando lo mismo que f,∀a∈A f ∗(a+ker(f)) =f(a) = f(a+kker(f)). 11

Por ultimo∀a∈A,i◦

f◦p(a) =i◦ f(a+ker(f)) =i(f(a)) =f(a). NotaEl teorema anterior nos muestra que los homomorsmos deAen cualquier anillo dependen de los posibles ideales deA. ejemplo:

El homomorsmof:Z→Zn,f(a) =

k, conk < n, ya-k=λnverica queker(f) = (n) yf:Z/ker(f)≈Zn.

Teorema 2

Teorema de la correspondencia: SeaI⊂Aideal. Entonces existe una biyeccionφ ={J⊂A ideal,J⊃I}φ↔ ={

J⊂A/I ideal}

y ademas siJ⊃I: (i)Jes primo⇔J/Ies primo. (ii)Jes maximal⇔J/Ies maximal. demostraci on. Denimos paraI⊂J⊂Aideal,φ(J) =J/Ique se comprueba facilmente que es ideal deA/I.

φes inyectiva ya que siJ/I=J′/I⇒ ∀b∈J,∃b′∈J′conb+I=b′+I

φes suprayectiva ya que dado

Jideal deA/I,J={a∈A:a+I∈

J} es ideal deA,I⊂Jyφ(J) = J. (i) SeaJ⊃Iprimo y (h+I)(k+I)∈J/I(comoI⊂J)⇒hk∈J (Jprimo)⇒h∈Jok∈J⇒h+I∈J/Iok+I∈J/I, yJ/Ies primo. (similar en sentido contrario) (ii) SeaJ⊃Imaximal, siJ/Ino es maximal enA/I,⇒ ∃H Aideal yJ/I H/I(y sip:A→A/I)⇒ J=p-1(J/I)⊂p-1(H/I) =H(Jmaximal)⇒J=H⇒J/I=H/I (contradicion) (similar en sentido contrario) 12

Teorema 3

2 oteorema de isomorfa: SeaI,Jideales deAconI⊂J.

EntoncesJ/Ies ideal deA/Iy

A/I J/I ≈A J demostraci on. Denimosf:A/I→A/J,∀a∈A,f(a+I) =a+Jque es trivialmente homomorsmo suprayectivo. festa bien denido ya que sia+I=a′+I⇒a-a′∈I⊂J⇒ a+J=a′+J. como el nucleoker(f) ={b+I:b+J= 0+J}={b+I:b∈J}=J/I, ⇒J/Ies ideal deA/I, (por el 1erteorema de isomorfa)⇒ A/I J/I ≈A J ejemplo:

En los enteros tenemos:

Z/(12)

(4)/(12)≈Z (4)

Teorema 4

3 erteorema de isomorfa: SeaB⊂A, subanillo,I⊂Aideal. EntoncesIes ideal deB+I(subanillo de A),B∩Ies ideal deB, y B+I I ≈B

B∩I

demostraci on. Se comprueba facilmente queIes ideal deB+I(subanillo de A) yB∩I es ideal deB. Denimos el homomorsmof:B→B+I/Ipor∀b∈B,f(b) =b+I. (I*Ben general)⇒la imagenim(f) = (B+I)/I. El nucleoker(f) ={b∈B:b+I= 0 +I}={b∈B:b∈I}=B∩I, 13 (por el 1 erteorema de isomorfa)⇒ B

B∩I≈B+I

I ejemplo: En los enteros tenemos que (4) + (6) = (2), (4)∩(6) = (12) y (4) + (6) (6) ≈(4) (4)∩(6)

Cuerpo de fracciones

SeaDun dominio de integridad, consideramos enD×(D\{0}) la relacion (a,b)∼(c,d)⇔ad-bc= 0 que se comprueba trivialmente que es de equivalencia, consideramos el conjunto cociente

D×(D\ {0})

y denotamos la clase de (a,b) pora/by denimos las operaciones: a b +c d =ad+bc bd ,a b ·c d =ac bd (bd̸= 0 por serDDI), que estan bien denidas. El cero es 0/b, la unidad esa/ay el inverso dea/b(a̸= 0) esb/a Con esas operacionesD×(D\ {0})/∼es un cuerpo, el cuerpo de fracciones deD,cf(D). El homomorsmoφ:D→cf(D),φ(a) =a/1 es inyectivo y permite considerarDcomo subanillo decf(D) identicandoa≡a/1. Nota. El cuerpo de fracciones deDes el mnimo cuerpo que contiene a D. ejemplo: - Qes el cuerpo de fracciones deZ. -El cuerpo de fracciones deQ[x] es {p(x)/q(x)|p(x),0̸=q(x)∈Q[x]} ≡Q(x). 14

1.3 Anillos de polinomios

Dado un anilloAvamos a construir el anillo de polinomios en una indeter- minada con coecicentes enA,A[x].

Denicion 10

DenimosA[x] ={(a0,a1,...,an,0,...) :ai∈A}, es decir el conjunto de las sucesiones de elementos deAcon todos los elementos

0salvo un numero nito. Diremos queaies el coeciente de gradoidel

polinomio.

Denimos enA[x] las siguientes operaciones:

-Suma: (a0,a1,...,an,0,...) + (b0,b1,...,bm,0,...) = -Producto: (a0,a1,...,an,0,...)(b0,b1,...,bm,0,...) = = (c0,c1,...,cn+m,0,...), conck=∑i=ki=0aibk-i con 0 = (0,0,...,0,...), 1 = (1,0,...,0,...), y -(a0,a1,...,an,0,...) = (-a0,-a1,...,-an,0,...)

Proposicion 6

A[x]es un anillo conmutativo y con unidad

demostraci on.

Se sigue de las propiedades del anilloA.

Nota. Con esta denicion es claro que dos polinomios son iguales si y solo si lo son todos los coecientes del mismo grado de ambos.

Para obtener la notacion usual, denotamos:

a≡(a,0,...,0,...), paraa∈A x≡(0,1,0,...,0,...) (llamaremos axindeterminada). Entoncesxk= (0,0,...,1(k+1,0,...),axk= (0,0,...,a(k+1,0,...) y por tanto (a0,a1,...,an,0,...) =ao+a1x+···+anxn

Y tenemos

a Llamaremos aa0termino constante y aancoeciente principal. 15

Grado de un polinomio

Sea 0̸=p(x)∈A[x],p(x) =ao+a1x+···+anxn, denimosgradode p(x),deg(p(x)) =n, sines el maximo de losiconai̸= 0. Consideraremosdeg(0) =-∞, donde-∞verica∀n∈N,-∞< n, -∞+n=-∞, y (-∞) + (-∞) = (-∞). El grado verica: Seanp(x) =ao+a1x+···+anxn, q(x) =bo+b1x+···+bmxmquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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