La proportionnalité : grandeurs proportionnelles
sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. Exemple 1 : Les quantités utilisées
Exemple de grandeurs proportionnelles : Le salaire (si on est payé à
proportionnel à la durée du travail. Exemples de grandeurs non proportionnelles : Le “poids” d'un individu donné n'est pas proportionnel à sa taille.
Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de lune s
valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. 2) Exemples : proportionnel / non proportionnel.
Exemple dune situation de non-proportionnalité
Exemple d'une situation de non-proportionnalité On utilise la définition : « deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'il existe un nombre tel que.
Grandeurs proportionnelles: Tableau de proportionnalité : Exemple
Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. 5 e. Première approche. Grandeurs proportionnelles: Définition :.
Notions mathématiques et didactiques pour lenseignant
L'efficacité nous dicte d'inscrire l'apprentissage de la proportionnalité dans la continuité des Exemples de situation de non-proportionnalité :.
CM2 DEVOIRS DES 11 ET 12 JUIN 2020 La proportionnalité (1
12 juin 2020 exemple adulte
MATHÉMATIQUES Résoudre des problèmes de proportionnalité au
en utilisant un langage mathématique adapté par exemple celui des nombres problèmes de coûts ou de remises relevant ou non de la proportionnalité ...
LA PROPORTIONNALITE
La proportionnalité est un modèle mathématique qui permet d'éclairer et de traiter des problèmes d'études scientifiques ou non (sciences géographie…).
Lapprentissage du raisonnement proportionnel de 10 à 16 ans. Le
Quatre autres problèmes utilisent les mêmes données numériques mais en mettant en scène des grandeurs non proportionnelles. Par exemple : Les âges.
Exemple d’une situation de non-proportionnalité
Exemple d’une situation de non-proportionnalité Extrait de Démontrer et évaluer au collège É ROUDNEFF et R MERCKHOFFER CDRP de l’aadémie de Versailles 2008 Raisonnons par l’a surde Soit la longueur du ôté d’un arré L’aire de ce carré est alors égale à
La multiprésentation comme une aide dans la résolution de
repère alors le tableau formé par les coordonnées de ces points est un tableau de proportionnalité Exemples 1) graphique illustrant une situation de proportionnalité ; 2) graphique illustrant une ligne brisée qui passe par zéro ? non proportionnalité 3) graphique illustrant une droite
Les problèmes de proportionnalité 200 problèmes corrigés
tableaux de p l é non proportionnalité S itua n proportionnalité et de non proportionnalité Organisation de do n é es au tab le u Cas simples Utiliser des rapports internes entre les nombres pour compléter un tableau Mise en avant des propriétés de linéarité pour résoudre les problèmes Problèmes de proportionnalité recherche
Situation de proportionnalité ou non - Le petit roi
de proportionnalité il faut calculer le coefficient de proportionnalité Voici l’énoncé : A 8 ans Paul mesure 1 20 m ; à 10 ans il mesure 140 m et à 15 ans il mesure 170 m Est-ce une situation de proportionnalité ou non ? Coche la bonne réponse : o Oui il y a proportionnalité o Non il n’y a pas de proportionnalité X X X
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Exemples de situation de non-proportionnalité : • Hecto a 9 ans et sa petite sœu a 3 ans Hecto dit à sa sœu : « Je seai toujous t ois fois plus vieux que toi » A-t-il raison ? Grandeurs liées mais pas de relation de proportionnalité ; dans un an Hector aura 10 ans et sa sœu en aua 4 O 10 n’est pas le triple de 4
Comment apprend-on la proportionnalité à l’école élémentaire ?
l’école élémentaire, la proportionnalité est introduite dès le CM1 à partir de la notion de situation de proportionnalité dans le champ multiplicatif. Les problèmes sont alors au service de l’acquisition de la notion. On apprend par la résolution de problèmes.
Quand utilise-t-on la proportionnalité?
La proportionnalité est abordée dès la classe de 6ème. En classe de 4ème, on utilise la proportionnalité pour résoudre des problèmes, pour les pourcentages ainsi que pour des exercices de vitesse.
Quels sont les trois éléments du modèle de la proportionnalité?
Bien entendu, ces projections faussent un peu le. À travers sa forme particulière, fragmentée en trois éléments que sont l'adéquation, la nécessité et la proportionnalité stricto sensu, le modèle de la proportionnalité est largement perçu et encensé comme l'instrument central du constitutionnalisme contemporain au service des droits fondamentaux.
Est-ce que la proportionnalité est une difficulté ?
Il semble donc que la notion de proportionnalité soit une difficulté. 54 % des élèves de la classe ont réussi la résolution, 46 % n’ont pas réussi la résolution.
Au cycle 3
La proportionnalité est un modèle mathématique qui différents contextes de la vie de tous les jours (monnaie, différents domaines A ce titre, son étude est précieuse et sa maîtrise au sortirArnaud Simard. Grand N n°90-2012
Mathématisation
Calcul
Interprétation
Vérification
LEMA PISA 2003
Situation
mathématiqueSolution
mathématiqueSolution réelleSituation réelle ou
évoquée
Interprétation
Situationréelle
" Quelle est la masse de farine nécessaire pour faire 10 crêpes ?»Solutionréelle
" Pour faire 10 crêpes, il faut 200 g de farine.»Mathématisation
CalculVérification
Situationmathématique
15 300
25 500
10 ?Solutionmathématique
500 -300 =200
Dans le livre de recettes de cuisine de Corentin, on donne la recettepour faire 15 crêpes ou 25 crêpes:Pour 15crêpes
300 g defarine
375 cl delait
3 cuillères à soupe
Pour 25crêpes
500 g defarine
5125 cl delait
5 cuillères à soupe
Mais Corentin veut faire 10 crêpesseulement.
Quelle est la quantité nécessaires pour faire 10crêpes? une grandeur une autre grandeurContrôle
pragmatiqueSituationréelle
" Théo a 5 ans. Il mesure 110 cm. Quelle sera sa taille à 10 ans ?»Situationmathématique
5 110 10 ?Solutionmathématique
2 X 110 =220Interprétation
Mathématisation
CalculVérification
Solutionréelle
" Il fera 220 cm.»Définition en termes
algébriquesMaths Monde cycle 4
Définition en termes de
grandeurs (mesurables) Deux suites de nombres qui se correspondent un à un sont proportionnelles lorsque les rapports de deux nombres correspondants sont égaux. Il existe une fonction linéaire f(x) = a ×x qui décrit la liaison entre les suites de nombres considérées.Mathématiques Eurêka CM1
Sachant que 4 stylos valent 2 euros,
combien valent 8 stylos?Sachant que 4 stylos valent 2 euros,
combien valent 14 stylos?Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros,
combien valent 8 stylos?Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros,
combien valent 14 stylos? ĺUtilisation du coefficient de proportionnalité ĺUtilisation des propriétés de linéarité1-Sachant que 4stylos valent 2 euros,
combien valent 8stylos ?3-Sachant que 4stylosvalent ,
combien valent 8stylos ?2-Sachant que 4stylos valent 2euros,
combien valent 14 stylos ?4-Sachant que 4 stylos valent 2,42euros,
combien valent 14 stylos ?ńPas de procédure efficace simple ńUtilisation du coefficient de proportionnalité ńUtilisation des propriétés de linéarité ńUtilisation des propriétés de linéaritéRapport interne simple
Rapport externe simple
Rapport interne complexe
Rapport externe simple
Rapport interne simple
Rapport externe complexe
Rapport interne complexe
Rapport externe complexe
Le rapportinterneest le
même grandeur, dans la même unité.Le rapportexterneest le
rapport dans un couple de données se correspondantcoefficient de proportionnalité.Sachant que 4stylos valent 2 euros,
combien valent 8stylos ?Sachant que 4stylos valent 2euros,
combien valent 14 stylos ?Un rapport interne simple
Procédure basée
sur les relations de linéarité: propriété additive et multiplicativeProcédure basée
sur le coefficient de proportionnalitéUn rapport externe simple
Approche arithmétique : Théorie des proportionsApproche algébrique : Fonctions linéaires
Le taxi roule à vitesse constante. S'il lui faut 3 minutes pour faire 2,46 km alors il lui faudra 15 minutes pour faire 12,30 km. Si 3 cm sur la carte représentent 2,46 km dans la réalité alors 15 cm sur la carte représentent 12,30 km dans la réalité.Nombre de bonbons3151
Prix à payer2,4612,300,82
×0,82
Les points sont alignés sur
une droite qui passe parNombre de bonbons1315
0,82 2,46 12,30Théorie des proportionsLinéarité
Rapport commun
Règle de trois
Produit en croix
Propriété additive
Propriété multiplicative
Rapport ExterneRapport Interne
1970Deux grandeurs (ou suite de nombres) sont dites
"proportionnelles» multipliant par un même nombre non nul. Les relations internes et externes entre les grandeurs, les nombres en jeu ont une influence sur les raisonnements et les procéduresNombre de
crayons3691,202,403,60
Lien avec le calcul mental :
7 ×12 =
7 ×10 = 70
7 ×2 = 14
12 = 10 + 2 donc par linéarité additive 7 ×12 = 70 + 14 = 84
Nombre de
crayons3691,202,403,60
×2×1,5
×1,5×2
Lien avec le calcul mental :
Nombre de
crayons361215Prix du lot en
4,5091822,50
×2 2Nombre de
crayons10113 303?Temps (heures)9108
Consommation
(litres)36?×4Biscuits1610
1,207,20?
Biscuits610
7,20?×1,2
1,2 est un prix
une grandeur quotientUne bille bleue vaut 2 billes rouges.
Si je te donne 2 billes bleues, combien me
donnes-tu de billes rouges ? vaut vautProblèmes multiplicatifs
Tom a 2 billes rouges. Paul a trois fois plus de
billes que Tom.Combien de billes a Paul ?
CHERCHERMODELISERREPRESENTER
RAISONNERCALCULERCOMMUNIQUER
Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.Exemples :
Mobiliser les propriétés de linéarité (additives et multiplicatives), de Utiliser des exemples de tableaux de proportionnalité. Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs. » Graphiques représentant des variations entre deux grandeurs.Exemples :
consommée et distance parcourue, quantité de liquide écoulée et temps écoulé, etc. Reproduire une figure en respectant une échelle.Exemples :
On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g).Début CM1
Linéarité additive et
soustractiveEx : Quelle est la masse
de 8 billes ? De 2 billes ?Fin CM1Linéarité additive et
soustractive.Linéarité multiplicative
(double)Linéarité mixte
Ex : Quelle est la masse
de 6 billes ? 10 billes ?13 billes ? 7 billes ?
On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g).Début CM2
Linéarité additive et
soustractive.Linéarité multiplicative
Linéarité mixte
Linéarité de division
Ex : Quelle est la masse de
21 billes ? De 28 billes ? De
500 billes ? De 250 billes ?
De 125 billes ?
Fin CM2
Linéarités
Ex : Quelle est la masse de
20 billes ? 21 billes ? 1 bille?
87 billes ?
On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g).Début 6
ème
Linéarités.
Coefficient de
proportionnalitéEx : À du tableur, donner la
masse de tous les paquets de moins de 180billes. Fin 6ème
Linéarités
Coefficient de
proportionnalité et tableau de proportionnalitéEx : Résumer sous forme de
tableau la situation de la masse des billes en sachant faire apparaitre lesopérations de linéarité et le coefficient de proportionnalitéOpération maths CM1
Ed 2016, p 128-129
Maths tout terrain CM1
Ed 2016, p 176-177
Opération maths CM1
Ed 2016, p 128-129
7 tableaux
Maths tout terrain CM1
Ed 2016, p 176-177
9 tableaux
Le sens de la
proportionnalitéPourparlerdeproportionnalitéavecdes
élèves(cycle3et4),ilestimportantde
nepassystématiserlareprésentation sousformedetableaudenombres.Liaison multiplicative
entre des grandeursAide "technique» vidée de sens
Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros
et que 6 bonbons valent 3 euros, combien valent 14 bonbons?Introduction
ème
couple de donnéesSachant que 4 bonbons
valent 2 euros, combien valent 8 bonbons?Sachant que 4 bonbons
valent 2 euros, combien valent 14 bonbons?Sachant que 4 bonbons
valent 2,42 euros, combien valent 8 bonbons?Sachant que 4 bonbons
valent 2,42 euros, combien valent 14 bonbons?Relation entre les nombres
(variable didactique fondamentale)Pourquoi changer de
procédure ?Savoir faire "parler les
nombres » pour 20 crêpes ?8/3 de tasses de farine, 8/3
sucre, 4/3 de pincées de sel, 4Attention aux implicites
Augmenter la capacité à mobiliser une procédure donnée et en Augmenter la variété des procédures utilisables et inciter les élèves à opérer le choix le plus approprié à la situation particulière à traiter. Renforcer la compréhension des liens qui existent entre ces différentes procédures.Problème:
Dans la recette du poulet au citron, il faut 2 citrons pour 5 personnes.Combien faut-il de citrons pour 20 personnes?
Peut-on trouver la réponse ?
Si non, pourquoi ? Si oui, quelle est ta réponse ?Propriété additive de la linéarité
Propriété additive de la linéarité
Procédure mixte :
Propriété additive / multiplicative de la linéarité Propriété multiplicative de la linéarité Utilisation du coefficient de proportionnalité ?Produit en croix?
de mettre en avant telle ou telle procédure, procédurestoujours sur le sens, parmi lesquelles il pourra choisir. La comparaisondes différentes procédures doit permettre auxélèves et de prendre
conscience fonction des nombres en jeu dans un problème, certaines sont plus efficaces numérique.Persistance du
modèle additifNon prise en
compte duNe pas
formaliser trop tôt.Mauvaise
utilisation du signe = Difficulté à travailler avec les nombres décimauxNotion de vitesse constante
ńConfronter proportionnalité, non
proportionnalité et proportionnalité "partielle»Un tableau ne fait pas la proportionnalité
faciledejustifiersituationpasde proportionnalité! parconfrontationàdessituationsdenon- proportionnalité.Unesituationquipasmodélisableavecla
sur(raisonnementpar. naissance? puiscoefficientdeproportionnalité) /rapportexterne/naturedesnombres)Résoudredesproblèmes"concrets»
Jouersur
EPSGéographie, Histoire
Arts visuels
proposer des tableaux. facilement les propriétés de linéarité et des rapports externes simples pour Interroger les énoncés en se demandant quelle procédure est privilégiée. Ne pas hésiter à les modifier. Penser à la différenciation en jouant sur les procédures induites, surRelever la diversité des procédures.
Comparer les procédures : repérer les procédures les plus efficaces, qui ne sont pas obligatoirement les procédures expertes.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] navigateur portugais du xv siecle 3 lettres
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