[PDF] Enseignement et apprentissage de la résolution de problèmes

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Université Lumière Lyon 2

École Doctorale EPIC

ED 485 - Éducation - Psychologie - Information et Communication

Unité Mixte de Recherche : UMR 5191 ICAR

Institut de Sciences et Pratiques de l"Éducation et de la Formation

Enseignement et apprentis

sage de la résolution de problèmes mathématiques

Le cas des problèmes numériques au cycle 3 de l"école primaire française Approches didactique et ergonomique

Par Maryvonne PRIOLET

Thèse présentée pour le Do

ctorat de l"Université Lyon 2 en Sciences de l"Éducation Sous la direction de Jean-Claude RÉGNIER

Soutenue publiquement le 6 mai 2008

Devant le jury composé de :

Mme Nadja Acioly-Régnier, Maître de Conférence, IUFM de Lyon-Université Lyon1 M. Michel Fayol, Professeur des Universités, UBP Clermont-Ferrand Mme Jarmila Novotnà, Professeure d"Université, Charles University, Prague

M. François

Pluvinage, Professeur des Universités, CINVESTAV Mexico M. Jean-Claude Régnier, Professeur des Universités, Université de Lyon

Université Lumière Lyon 2

École Doctorale EPIC

ED 485 - Éducation - Psychologie - Information et Communication

Unité Mixte de Recherche : UMR 5191 ICAR

Institut de Sciences et Pratiques de l"Éducation et de la Formation

Enseignement et apprentissage de la

résolution de problèmes mathématiques Le cas des problèmes numériques au cycle 3 de l"école primaire française

Approches didactique et ergonomique

Par Maryvonne PRIOLET

Thèse présentée pour le Doctorat de l"Université Lyon 2 en Sciences de l"Éducation

Sous la direction de Jean-Claude RÉGNIER

Sommaire

INTRODUCTION GÉNÉRALE...............................................................................................2

PARTIE 1 : Cadre de la recherche.........................................................................................13

Chapitre 1 : D"un point de vue étymologique et historique : Qu"est-ce qu"un problème ?

Qu"est-ce résoudre un problème ?.................................................................................................15

1.1. Qu"est-ce qu"un problème en mathématiques ?....................................................................................15

1.2. Qu"est-ce que l"énoncé d"un problème ?..............................................................................................16

1.3. Depuis quand résout-on des problèmes en mathématiques ?................................................................19

1.4. Quelle place à l"école pour les problèmes mathématiques ?................................................................23

1.5. Problème ou exercice ?.........................................................................................................................38

1.6. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................39

Chapitre 2 : Du point de vue des mathématiciens : que revêt le concept de problème dans le

champ des mathématiques ?..........................................................................................................41

2.1. La conception platonicienne des mathématiques..................................................................................41

2.2. La conception formaliste des mathématiques.......................................................................................42

2.3. La conception constructiviste des mathématiques................................................................................44

2.4. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................45

Chapitre 3 : Du point de vue des didacticiens des mathématiques : Qu"est-ce qu"un

problème ? Comment en enseigner la résolution ?......................................................................47

3.1. La théorie des situations didactiques selon Brousseau.........................................................................49

3.2. Les travaux en didactique des mathématiques selon Glaeser et l"école de Strasbourg.........................59

3.3. La théorie des champs conceptuels dans sa dimension didactique selon Vergnaud.............................65

3.4. Une voie ouverte à d"autres recherches en didactique des mathématiques...........................................69

3.5. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................80

Chapitre 4 : Du point de vue des psychologues : Qu"est-ce qu"un problème ? Quelles sont les

principales difficultés d"apprentissage liées à la résolution de problèmes?...............................82

4.1. Qu"est-ce qu"un problème ?.................................................................................................................82

4.2. Théories de l"apprentissage : qu"est-ce qu"apprendre ? et comment ?.................................................83

4.3. Impact des caractéristiques des problèmes et de leurs énoncés sur les performances des élèves à

résoudre les problèmes..............................................................................................................................102

4.4. Conclusion du chapitre.......................................................................................................................119

Chapitre 5 : Cadre théorique retenu pour la recherche............................................................122

5.1. Quelles finalités pour l"enseignement des mathématiques ?..............................................................122

5.2. Qu"entendons-nous par problème ?....................................................................................................122

5.3. L"enseignement et l"apprentissage de la résolution de problèmes......................................................124

5.4. Cadre d"observation et d"analyse de l"activité de l"enseignant...........................................................125

PARTIE 2 : Premières investigations - Première étape de la construction de l"objet de

Chapitre 1 : Évaluations internationales et nationales..............................................................134

1.1. Regard critique sur les performances des élèves de 15 ans à l"échelle internationale........................134

1.2. Regard critique sur les performances des élèves aux évaluations nationales CE2 et 6ème, sur la période

1.3. Conclusion du chapitre 1....................................................................................................................146

Chapitre 2 : Étude longitudinale d"une résolution de problème sur quatre années...............148

2.1. Description de l"étude longitudinale...................................................................................................148

2.2. Résultats de l"étude longitudinale.......................................................................................................161

Chapitre 3 : Pratiques d"enseignement de la résolution de problèmes : ce que disent les

3.1. Fréquence des séances de résolution de problèmes dans des classes de CE2.....................................191

3.2. Outils mis à disposition des élèves par l"enseignant...........................................................................191

3.3. Rôle et travail de l"enseignant............................................................................................................193

3.4. Conclusion du chapitre 3....................................................................................................................196

Conclusion de la partie 2..............................................................................................................198

PARTIE 3 : De la construction de la problématique à la discussion des résultats obtenus

Chapitre 1 : Construction de la problématique.........................................................................202

1.1. À l"origine de nos travaux : des constats, des questions, des présupposés théoriques........................202

1.2. Problématisation.................................................................................................................................207

Chapitre 2 : Méthodologie : présentation, mise en oeuvre et discussion sur les méthodes pour

construire, traiter et analyser les données..................................................................................211

2.1. Cadre général de l"expérimentation....................................................................................................211

2.2. Méthodes et techniques pour construire, traiter et analyser les données............................................212

2.3. Population-élèves et sa représentation................................................................................................214

2.4. Population-enseignants.......................................................................................................................222

2.5. Expérimentation.................................................................................................................................225

Chapitre 3 : Interprétation des résultats et discussion..............................................................241

3.1. Analyse des pratiques initiales des enseignants en situation d"enseigner la résolution de problèmes

3.2. Analyse des performances des élèves (pré-test et post-test)...............................................................268

3.3. Analyse des pratiques des 4 enseignants du groupe-expérimental : mise en oeuvre du cadre didactique

R

Chapitre 4 : Discussion générale..................................................................................................306

4.1. Résultats des élèves............................................................................................................................306

4.2. Pratiques des enseignants lors des séances de type n°1......................................................................307

4.3. Effets du cadre didactique R2C2 au travers des pratiques d"enseignement de la résolution de problèmes

lors des séances de type n°2......................................................................................................................310

4.4. Portée et limites des analyses de notre expérimentation.....................................................................317

CONCLUSION GÉNÉRALE...............................................................................................321

1. De la polysémie du mot problème à la construction de l"objet de notre recherche.............321

2. Du questionnement sur les performances des élèves à l"observation des pratiques des

2.1. Les comparaisons internationales.......................................................................................................322

2.2. Les évaluations nationales..................................................................................................................322

2.3. L"étude longitudinale d"un échantillon de 213 élèves pendant quatre ans.........................................323

3. De la mise à l"épreuve du cadre didactique R2C2 à nos conclusions.....................................324

3.1. Le dispositif........................................................................................................................................324

3.2. Quelques résultats...............................................................................................................................325

3.3. L"opérationnalisation du cadre didactique R²C².................................................................................326

4. De nos conclusions à nos perspectives de recherche..............................................................327

4.1. Une dominante didactique..................................................................................................................327

4.2. Une dominante méthodologique.........................................................................................................327

4.3. Une dominante d"ouverture................................................................................................................328

Index des auteurs..........................................................................................................................347

Index des figures...........................................................................................................................349

Index des graphiques....................................................................................................................351

Index des tableaux.........................................................................................................................352

Table des matières.................................................................................................................354

Remerciements

Mes remerciements s"adresseront d"abord à Jean-Claude Régnier qui a accepté en 1998 de diriger mon mémoire de maîtrise et qui est devenu, quelques années plus tard, mon

directeur de thèse. Travailler avec cet expert en statistique constitue une aide précieuse, mais

appartenir à son groupe de doctorants conduit aussi à un parcours rempli d"humanité. Je tiens

à le remercier très chaleureusement d"avoir accepté de diriger cette thèse. Qu"il trouve ici

l"expression de ma profonde gratitude. Je remercie Jarmila Novotnà et François Pluvinage d"avoir accepté d"être les rapporteurs de ce travail. Je suis sûre que leurs remarques et commentaires viendront nourrir

et enrichir mes réflexions. À travers leur présence, je retrouve les premières étapes d"un

parcours qu"ils ont, chacun à leur manière, contribué à tracer en ma faveur. Grâce à Jarmila

Novotnà, ce fut pour moi en 2001 la première participation à un congrès européen et grâce à

François Pluvinage, j"ai eu l"occasion de rencontrer en 2002 les membres de l"école de

Strasbourg lors du colloque Argentoratum.

Mes remerciements vont également à Nadja Acioly-Régnier et à Michel Fayol, d"une part, pour avoir bien voulu être membres de ce jury, d"autre part, pour m"avoir respectivement

fait partager un peu de la culture de la terre brésilienne et ouvert les portes de la littérature

anglo-saxonne. Un grand merci à tous les membres du groupe ADATIC, en particulier à mes amis brésiliens Nubia, Elayne, Clovis, Valdir, dont j"apprécie la gentillesse, l"enthousiasme et le soutien en toutes circonstances. Merci aussi à Patrick Chignol d"avoir ouvert la voie de la soutenance aux membres de notre groupe. Avec des remerciements spécifiques à Jean-Claude Oriol qui, avec son regard critique et ses " 1000 courages » dans le cadre des relectures de ce

mémoire de thèse, m"a permis de garder optimisme et sérénité lors des dernières semaines de

rédaction. Je tiens à remercier tous les enseignants et leurs inspecteurs qui ont autorisé le recueil

des données. Merci aussi à tous les enfants des écoles concernées. Sans eux, rien n"aurait été

possible. Que tous ceux et celles qui m"ont encouragée et soutenue dans ces tâches d"exploration et de rédaction et qui ont permis la réalisation de ce travail trouvent ici l"expression de ma reconnaissance. Enfin, merci à Michel pour son soutien indéfectible et son aide au quotidien. Mais le plus important est de cultiver l"intelligence qui est l"aptitude à faire face à des situations nouvelles et à saisir des relations. C"est la recherche de ''problèmes"" qui est donc l"activité mathématique la plus importante. Georges Glaeser (Le livre du problème, fascicule 1, Pédagogie de l"exercice et du problème, 1973, p. 19)

À mes parents

et grands-parents,

à ma petite soeur du Brésil,

à Michel

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Introduction générale

Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 2

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Dans les années 1980-1990, institutrice dans la classe de CM2 d"Ainay-le- Château, nous étions loin d"imaginer que les questions que nous nous posions sur les difficultés rencontrées par nos élèves en résolution de problèmes mathématiques nous conduiraient des années plus tard à soutenir, à l"Université de Lyon 2, une thèse portée par ces mêmes interrogations. C"est en effet essentiellement dans l"exercice de notre métier d"institutrice, face au

constat réitéré de difficultés d"apprentissage rencontrées par nos élèves dans le champ de la

résolution de problèmes que sont apparus un besoin et une ferme volonté de nous intéresser

aux travaux de recherche liés à l"enseignement des mathématiques. Dans le même temps,

c"est grâce à notre parcours d"étudiante en psychologie, pour la préparation d"un Diplôme

d"Études Universitaires Générales à l"Université Blaise Pascal à Clermont-Ferrand puis pour

celle d"une Licence à l"Université Paris 8, que nous est offerte l"opportunité de découvrir des

travaux universitaires sur les questions étroitement liées à l"apprentissage. Des lectures s"ensuivent : L"enfant et le nombre (Fayol, 1990), Les activités mentales (Richard, 1990), Les chemins du nombre (Bideaud, Meljac et Fischer, 1991). Tout cela complété par l"envie de découvrir plus avant les travaux des concepteurs de situations didactiques telles que la Course à 20 (in Brousseau, 1973) dont la mise en oeuvre vient rompre avec celle des autres problèmes

extraits des manuels scolaires que nous proposons habituellement à nos élèves. Le pas vers un

intérêt grandissant pour les travaux relevant de la didactique des mathématiques est franchi.

C"est dans l"exercice depuis 1991 de notre fonction de conseillère pédagogique de circonscription, formatrice d"enseignants du premier degré, que nous remarquons que notre

questionnement, portant sur les difficultés des élèves à résoudre des problèmes et sur les

difficultés des professeurs à en assurer l"enseignement, est largement partagé par bon nombre

de nos collègues dans leurs classes. C"est donc avec le souhait d"engager une réflexion sur cet

enseignement dans ce champ précis des mathématiques que nous sollicitons une inscription

en maîtrise de Sciences de l"Education à l"Université Lumière Lyon 2. De ce premier contact

en 1998 avec le Professeur Jean-Claude Régnier qui deviendra notre directeur de thèse, nous retenons aujourd"hui un premier échange sur les différentes formes que peuvent revêtir

aujourd"hui les énoncés de problèmes mathématiques dans les manuels scolaires, intégrant de

plus en plus de représentations iconiques. On peut dès lors considérer que notre réflexion sur

la place, le rôle et l"usage des différents registres de représentations sémiotiques débute ce

Introduction générale

Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 3

jour-là lorsque Jean-Claude Régnier nous suggère la lecture de l"ouvrage Sémiosis et Pensée

humaine de Raymond Duval (1995). En nous référant au cadre théorique développé par ce chercheur en psychologie de l"apprentissage et en didactique des mathématiques, nous

conduisons une étude centrée sur les effets produits par la forme de présentation des données

d"un énoncé de problème scolaire à données numériques sur la résolution de ce problème par

des élèves de CE2. Nos premières analyses de données sont effectuées à partir, d"une part, des

réponses écrites fournies par un échantillon de 1081 élèves à l"occasion de travaux de

résolution de problèmes numériques proposés en classes de CE2 et, d"autre part, d"une

enquête par questionnaire auprès d"un échantillon de 81 enseignants du cycle 3 de l"école

primaire. L"échantillon d"enseignants et celui des élèves sont issus des écoles de trois circonscriptions scolaires relevant de deux académies différentes. Les traitements des données, sous l"enseignement et le contrôle rigoureux de Jean-Claude Régnier, nous conduisent à formuler plusieurs conclusions. Dans les limites de cette expérimentation, les traitements statistiques suggèrent qu"à partir d"un même type d"énoncé de problème

numérique dont les données sont présentées sous différentes formes relevant de différents

registres de représentation sémiotique, la forme rédactionnelle de l"énoncé n"influe pas sur la

réussite au problème considéré. En comparant ensuite les résultats issus de la résolution des

problèmes selon que les données de l"énoncé sont présentées sous la forme de représentations

non discursives ou sous une forme exclusivement textuelle, nous observons que les élèves qui

résolvent les problèmes dont les données sont présentées soit sous la forme d"un schéma, soit

sous la forme d"un tableau, soit sous la forme d"un texte assorti de dessins extérieurs au

traitement des données, soit sous trois formes simultanées différentes (texte, tableau, schéma),

n"obtiennent pas de performances significativement différentes de celles des élèves qui ne disposent que d"une forme exclusivement textuelle. En revanche, les élèves auxquels nous

avons proposé la résolution de problèmes avec une présentation des données sous la forme de

graphiques obtiennent des scores de réussite moins élevés que ceux qui se sont vu attribuer un

énoncé sous une forme exclusivement textuelle. Ce travail est présenté en 2000 lors de la

soutenance de notre mémoire de maîtrise (Master 1) en Sciences et Pratiques d"éducation et

de formation à l"Université Lyon2 (Priolet, 2000). Ces premières investigations, complétées

par de nombreux échanges dans les séminaires à l"Université ou en ligne au sein du groupe

ADATIC

1 fondé en 2000 par Jean-Claude Régnier, constituent un premier pas vers la

construction de notre parcours de recherche.

Faisant suite à une annonce de ERME

2 pour le 2ème Congrès Européen de Recherche sur

l©Enseignement des Mathématiques, CERME 2, et sans trop envisager alors les barrières de la langue, nous soumettons un projet de communication par affiche au comité scientifique

d"organisation de ce congrès. Ce projet destiné à présenter les résultats en rapport avec nos

travaux de maîtrise est accepté, non pas pour une communication par affiche comme nous le

1 Apprentissage, Didactique, Autoformation & Technologies de l"Information et de la Communication : groupe

de recherche encadré par Jean-Claude Régnier, réunissant l"ensemble des étudiants dont il encadre ou a encadré

les travaux de recherche (Master et Doctorat).

2 European Society for Research in Mathematics Education

Introduction générale

Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 4

souhaitions, mais pour une communication orale dans un atelier animé par le Professeur Paolo

Boero, didacticien des mathématiques, enseignant-chercheur à l"Université de Gênes (Italie).

En 2001, premier bain dans un colloque à Marianzcké Lazné en République Tchèque,

organisé sous la conduite de la Professeure Jarmila Novotná de l"Université Charles à Prague,

première communication, première publication (Priolet, Régnier, 2001) en langue anglaise.

Ce congrès est pour nous l"occasion de découvrir une didactique des mathématiques au-delà

de nos frontières et de renouveler l"expérience d"échanges et de communications autour de thématiques communes en relation avec l"enseignement des mathématiques. Le colloque Argentoratum qui se déroule en 2002 à l"ULP

3 de Strasbourg en hommage

aux Professeurs François Pluvinage et Raymond Duval constitue aussi une étape importante dans notre cursus. Premières rencontres avec Raymond Duval que nous n"avons jusqu"alors côtoyé qu"à travers ses publications, avec François Pluvinage dont nous connaissons

l"implication dans les épreuves d"évaluations nationales et dont nous découvrons l"ampleur de

la participation au développement de l"école de didactique des mathématiques de Strasbourg, avec Regina Damm dont les travaux de thèse (Damm, 1992) ont retenu toute notre attention. Première rencontre, et hélas dernière, avec le Professeur Georges Glaeser dont Jean-Claude

Régnier, son disciple, nous a fait découvrir les travaux (Glaeser, 1973) (Régnier et Perrier,

2002). Ce colloque est sans doute déterminant pour la suite de nos travaux dans la mesure où,

dès notre retour, nous avons envie de davantage questionner la place de l"heuristique dans la résolution de problèmes et de poursuivre nos investigations sur la question de la conversion entre plusieurs registres de représentation sémiotique (Duval, 1995). Nos échanges avec la communauté européenne des didacticiens des mathématiques se

prolongent, d"une part, lors de la première école européenne d"été réservée aux Jeunes

Chercheurs qui se tient à Klagenfurt en Autriche, d"autre part, lors de CERME 3 à Bellaria 4 (Italie) où nous présentons une communication (Priolet et Régnier, 2003) prenant appui sur notre mémoire de DEA (Priolet, 2001) orienté vers une première analyse des pratiques des enseignants dans le domaine de la résolution de problèmes mathématiques. Toutefois, notons

que c"est plutôt par un détour par la didactique du français que nous découvrons les travaux

de Leplat (2000) et ceux de Clot (2000) dans le champ de la psychologie ergonomique. En effet, en tant que formatrice impliquée durant les vacances scolaires dans la mise en place du

module professionnel du DESS-Ingénierie du Conseil Pédagogique, créé et organisé durant

quatre années successives par le Professeur Michel Fayol à l"Université Blaise Pascal à Clermont-Ferrand, nous avons l"opportunité de côtoyer le Professeur Roland Goigoux et de discuter avec lui de ses méthodes d"analyse des pratiques des enseignants dans le cadre de recherches relatives à l"enseignement de la lecture. Dans le même temps, notre métier de formatrice d"enseignants nous conduit à nous

intéresser aux performances réalisées par les élèves aux évaluations nationales de début de

CE2 et de début de 6

ème. En vue d"aider à la mise en oeuvre de projets d"aide individualisée,

3 Université Louis Pasteur

4 CERME 3 : 3ème Congrès Européen de Recherche sur l©Enseignement des Mathématiques

Introduction générale

Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 5

nous avons l"occasion d"analyser de nombreuses productions d"élèves, issues des cahiers

desdites évaluations. Les difficultés rencontrées par bon nombre d"élèves dans le champ

précis de la résolution de problèmes mathématiques continuent à susciter en nous des interrogations. Nous nous demandons notamment quelles sont les procédures utilisées par ces élèves, au cycle 3 de l"école primaire en France, qui, à leur entrée en 6

ème échouent dans la

résolution de problèmes à structures additive ou multiplicative. Nous décidons alors, dans le

cadre de notre parcours universitaire, de procéder à une analyse rigoureuse de l"évolution des

performances des élèves lors de la résolution d"un même problème à données numériques

proposé chaque année, de la fin du cycle 2 à la fin du cycle 3. Pour ce faire, nous mettons en

place au cours des quatre années de la période 2000-2003, le suivi d"un panel de 213 élèves

de l"école élémentaire dont nous extrayons une cohorte de 105 individus. Cette étude

intègrera notamment l"analyse et l"évolution du contenu des traces écrites intermédiaires,

c"est-à-dire des brouillons produits lors de la résolution individuelle de ce problème. Les

résultats de cette étude sont détaillés en deuxième partie de ce mémoire de thèse. La non

homogénéité des classes relativement à la quantité ou au contenu des traces produites par les

élèves oriente notre questionnement vers l"analyse des pratiques mêmes des enseignants. Autrement dit, nous nous demandons s"il existe des relations entre le contenu de ces productions des élèves et l"enseignement dispensé dans les classes. De là naît la problématique de notre thèse que nous organisons autour d"une question centrale : À quelles conditions un enseignement de mathématiques peut-il favoriser l"apprentissage de la résolution de problèmes, en particulier de problèmes à données numériques ?

Au fil des années, notre réflexion va se nourrir du fruit de l"étude de travaux théoriques

en relation avec cette thématique, mais aussi d"une attention particulière portée sur les pratiques pédagogiques ordinaires effectives que nous tentons d"observer le plus systématiquement possible en contexte naturel. Pour nous situer, nous distinguons deuxquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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