Épreuve de Mathématiques 2 Exercice 1 (Petites mines 2009 PDF

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 et de l'aire du domaine D? = { (x y) ? I×R ; f(x) ? 0 et f(x) ? y ? 0 } ... Int(1/(x^4+1)

Corrigé du TD no 9

Par conséquent Supx?R f(x)=1. Exercice 10. Soit f : R ? R une fonction périodique de période T > 0. On suppose que f admet une limite finie (

Développements limités

1 ? x et Pn(x)=1+ x + x2 + ··· + xn . La figure 1 montre une représentation graphique de la fonction f et des polynômes. Pn pour n allant de 0 à 5.

Épreuve de Mathématiques 2 Exercice 1 (Petites mines 2009

1 oct. 2010 7) Au voisinage de +? et de ?? f admet donc un développement de la forme f(x)=1+. (1/x)2. 3! +. (1/x)4. 5! + o((1/x)4)=1+.

Feuille 9. Limites et continuité des fonctions

f(x)=0 et f(0) = 1. Exercice 7. Comme f : R ! R est une fonction continue telle que lim x! 1 f

Corrigé du TD no 11

Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R. De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2. Comme 1 ? ?2 est

Les Développements Limités

g(x)=0 avec f g admet un DLn(0). Exemple. La fonction sin x x admet un DL d'ordre 3 en 0

Espérance dune variable aléatoire

1. Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (?F

FONCTION EXPONENTIELLE

1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.

Is f(x) = x sin(1/x) 0 at x = 0?

The function f ( x) = x sin ( 1 / x) is not 0 at x = 0 as it is not even defined there. But it does have a removable discontinuity there, i.e. lim x ? 0 x sin ( 1 / x) = 0. You can easily prove this using Squeeze Theorem, comparing f ( x) to | x | because | sin ( 1 / x) | ? 1. continuous or differentiable at x = 0.

How do you prove if f(x) = 1 1 - x?

If f ( x ) = 1 1 ? x , show that f [f [f (x)]] = x. - Mathematics If f ( x) = 1 1 ? x , show that f [ f [ f ( x )]] = x. Therefore, f [ f { f ( x )}] = x. Hence proved.

Is f(x) non-differentiable at x = 0?

Indeed f ¯ ( ?) / ? = sin ( 1 / ?) on R ?, which has no limit for ? ? 0. f ( x) is not 'defined' at x = 0. So, it does not take the value 0 at it. So you will find a discontinuity here, and hence its non-differentiable there. This will make it continuous. the derivative near x = 0 is not defined here. So its not differentiable.

Is f(x) = 1/x a one to one function?

The reciprocal function, f (x) = 1/x, is known to be a one to one function. We can also verify this by drawing horizontal lines across its graph. See how each horizontal line passes through a unique ordered pair each time? When this happens, we can confirm that the given function is a one to one function.

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Épreuve de Mathématiques 2

CorrectionExercice 1 (Petites mines, 2009, épreuve commune, partiel)

A. Etude d"une fonction

1)La fonctionfest définie surR, qui es symétrique par rapport à0. De plus, pour toutx2R,

f(x) =xsh1x =x(sh1x ) =f(x)

Ainsifest paire.

2) a) En0,shXX, ce qui entraîne qu"au voisinage de+1et1,sh1x 1x , et doncf(x)1.

Ainsilim+1f= lim1f= 1.

b)Au voisinage de+1,1X sh(X)1X e X2 . d"oùlimx!0+f(x) = limX!+11X e X2 = +1.

La fonctionfest paire, donclimx!0f(x) = +1.

3)La fonctionfest dérivable surRcar composée de fonctions dérivables. Pour toutx2R,

0(x) = sh1x

+x 1x 2ch1x th1x 1x ch1x

4)Soit':R+!R+définie par'(x) = th(x)x. La fonction'estC1surR+car composée de

fonctionsC1, et'0(x) = 1th2(x)1 =th2(x)<0pour toutx2R+. Ainsi'est strictement décroissante et'(x)< '(0) = 0surR+, c"est-à-dire pour toutX2R+,th(X)< X.

5)Pour toutx2R+,th1x

1x <0d"après le résultat de la question précédente, etch(x)>0. Donc f

0<0surR+. Le tableau surRs"obtient par symétrie.x

0(x)f10+1+

11+1+111

6)Le développement limité à l"ordre5en0de la fonctionshestsh(X) =X+X33!

+X55! +o(X5). Ainsi shXX = 1 +X23! +X45! +o(X4)

7)Au voisinage de+1et de1,fadmet donc un développement de la forme

f(x) = 1 +(1=x)23! +(1=x)45! +o((1=x)4) = 1 +13!x2+15!x4+o1x 4

Donca1=a3= 0,a0= 1,a2=13!

eta4=15! 1 Correction du DST28)D"après la question 6,f(1=X) =shXX = 1 +o(X). Ainsix!f(1=x)admet un développement limité

à l"ordre1en0. Donc cette fonction est prolongeable par continuité en0, et son prolongementFest

dérivable en0. De plus,FestC1surRcomme composée de fonctionC1. En conclusion,Fest dérivable surR.

B. Etude d"une suite

1)Soitn2N. Remarquons quen+ 1n

>1.

La fonctionfest continue strictement décroissante surR+, elle réalise donc une bijection deR+sur

son image]1;+1[. Ainsin+ 1n a un unique antécédent parf, c"est-à-dire que l"équationf(x) =n+ 1n admet une unique solution dansR+.

2)Soitn2N. La fonctionfest strictement décroissante surR+, donc

n+ 2n+ 1= 1 +1n+ 1<1 +1n =n+ 1n =)f(un+1)< f(un) =)un+1> un

La suite(un)est donc croissante.

3)Notonsg:]1;+1[!R+la fonction réciproque defsurR+. Alorsun=g

1 +1n etlim1g= +1.

Donclimn!+1un= +1.

4)La suite(un)tend vers+1donc on peut composer les développements asymptotiques : en tronquant

à l"ordre2le développement de la question A.7., 1 + 1n =f(un) = 1 +13!u2n+o1u 2n

D"où

1n =16 1u

2n+o1u

2n , c"est-à-dire1n 16 1u

2n. En conclusion

u n1p6 pn Exercice 2 (E3A 2007, PC, partiel, et EMLyon 2009)

A. Étude de la fonctionf

1)Étude defen0.

a)ex1 =x+x22 +x33! +o(x3)donc xe x1=11 + x2 +x26 +o(x2)= 1x2 x26 +x2

2+o(x2) = 1x2

+x212 +o(x2) b)Pour toutx6= 0,f(x)f(0) =xe x11 =x2 +x212 +o(x2) =o(1).

Doncfest continue en0.

Pour toutx6= 0,f(x)f(0) =xe

x11 =x2 +x212 +o(x2) =12 x+o(x).

Doncfest dérivable en0etf0(0) =12

On ne peut rien déduire de plus : la fonctionx7!x3sin1x 2 admet un DL à l"ordre2en0 mais n"est pasC1. c)La fonctionfest de classeC1surRcar composée de fonction de classeC1surR. Pour tout x6= 0, f

0(x) =ex1xex(ex1)2=1 +x+x22

+o(x2)1xx2(ex1)212 x2x 2=12 =f0(0)

Doncf0est continue en0, etfestC1surR.

2 Correction du DST2d)Équation de la tangenteTà(C)au point d"abscisse0:y= 112 x.

D"après la question A.1)a),f(x) = 112

x+112 x2+o(x2).

Puisque

112
x2>0pour toutxdans un voisinage de0, la courbe est au-dessus de la tangente.

2)Variations def.

a)Pour toutx2R,g0(x) =ex+xexex=xex. Doncg0est du signe dexet il vientx g 0(x)g signe deg(x)10+10+ 11

00+1+1+0+

b)D"après le calcul de la question A.1)c),f0(x) =g(x)(ex1)2. Doncf0est du signe degsurR. De plus, d"après A.1)b),f0(0)<0. En conclusion,f0<0surRetfstrictement décroissante. c)Au voisinage de+1:f(x)xe x!0etf >0donc(C)admet une asymptote d"équationy= 0 et est au-dessus de celle-ci.

Au voisinage de1:u=ex!0lorsquex! 1donc

f(x) =x11ex =xxex+o(xex) Ainsilim1f= +1, de plus(C)admet une asymptote d"équationy=xet est au-dessus de celle-ci (carxex>0). d)xf(x)432112345O1

3)Expression hyperbolique def.

a)8x2R,x2

1th(x=2)1

=x2 ex=2+ex=2e x=2ex=21! x2

2ex=2e

x=2ex=2! ex=2e x=2=f(x). b)i.On fait apparaîtr el"expression de ftrouvée ci-dessus. Pour toutx2R, x2 tx2 =x2

1th(x=2)2x

=x2

1th(x=2)1

+x2 12x =f(x) +x2

1 =f1(x)

ii. La fonction f1est le produit de deux fonctions impaires, c"est donc une fonction paire. 3

Correction du DST2iii.Soit sla symétrie par rapport à(Oy)parallèlement à la droite d"équationy=12

x. Cette symétrie a pour équations: (x;y)7!(x;x+y). De plus pour toutx2R, f(x) =12 (x) + 1 +f1(x) =12 x+ 1 +f1(x) =x12 x+ 1 +f1(x) =x+f(x) Doncs(x;f(x)) = (x;x+f(x)) = (x;f(x)), et la courbe(C)est laissée stable par la symétries. B. Étude d"une suite récurrente associée à la fonctionf.

1)Cherchons les2Rtels quef() =.

f(0) = 16= 0donc6= 0, etf() =e 1. f() =()1e

1= 1()e= 2()= ln(2)

La fonctionfadmet don un unique point fixe,= ln(2). 2) a) Pour toutx2[0;+1[, posons'(x) =e2x2xex1. La fonction'estC1et'0(x) = 2e2x2ex2xex= 2(ex1x)ex. En dérivantx7!ex1xon montre que cette fonction est strictement croissante surR+et donc queex1x>e010 = 0 pour toutx2R+. Ainsi'0>0et'est croissante, donc'(x)>'(0) = 0pour toutx2R+:

8x2[0;+1[e2x2xex1>0

(on peut aussi astucieusement factoriser parex, et l"expression s"étudie beaucoup plus rapidement)

b)Soitx2]0;+1[, d"après la question précédente fquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] f x )= x 2 1

[PDF] f(x) = x^3

[PDF] f(x) calculer

[PDF] f(x)=2

[PDF] f(x)=x+1

[PDF] f'(x) dérivé

[PDF] f(x)=x^4

[PDF] f(x)=3

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[PDF] Épreuve de Mathématiques 2 Exercice 1 (Petites mines 2009

Is f(x) = x sin(1/x) 0 at x = 0?

How do you prove if f(x) = 1 1 - x?

Is f(x) non-differentiable at x = 0?

Is f(x) = 1/x a one to one function?

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Épreuve de Mathématiques 2

A. Etude d"une fonction

1)La fonctionfest définie surR, qui es symétrique par rapport à0. De plus, pour toutx2R,

Ainsifest paire.

Ainsilim+1f= lim1f= 1.

La fonctionfest paire, donclimx!0f(x) = +1.

3)La fonctionfest dérivable surRcar composée de fonctions dérivables. Pour toutx2R,

0(x) = sh1x

4)Soit':R+!R+définie par'(x) = th(x)x. La fonction'estC1surR+car composée de

5)Pour toutx2R+,th1x

0<0surR+. Le tableau surRs"obtient par symétrie.x

0(x)f10+1+

11+1+111

6)Le développement limité à l"ordre5en0de la fonctionshestsh(X) =X+X33!

7)Au voisinage de+1et de1,fadmet donc un développement de la forme

Donca1=a3= 0,a0= 1,a2=13!

B. Etude d"une suite

1)Soitn2N. Remarquons quen+ 1n

2)Soitn2N. La fonctionfest strictement décroissante surR+, donc

La suite(un)est donc croissante.

3)Notonsg:]1;+1[!R+la fonction réciproque defsurR+. Alorsun=g

Donclimn!+1un= +1.

4)La suite(un)tend vers+1donc on peut composer les développements asymptotiques : en tronquant

D"où

2n+o1u

2n. En conclusion

A. Étude de la fonctionf

1)Étude defen0.

2+o(x2) = 1x2

Doncfest continue en0.

Pour toutx6= 0,f(x)f(0) =xe

Doncfest dérivable en0etf0(0) =12

0(x) =ex1xex(ex1)2=1 +x+x22

Doncf0est continue en0, etfestC1surR.

D"après la question A.1)a),f(x) = 112

Puisque

2)Variations def.

00+1+1+0+

Au voisinage de1:u=ex!0lorsquex! 1donc

3)Expression hyperbolique def.

1th(x=2)1

2ex=2e

1th(x=2)2x

1th(x=2)1

1 =f1(x)

1)Cherchons les2Rtels quef() =.

1= 1()e= 2()= ln(2)

8x2[0;+1[e2x2xex1>0