[PDF] exercice corrigé de topologie générale pdf

Exercice 2

Soient X {displaystyle X} un espace topologique, E {displaystyle E} un espace métrique, ? {displaystyle Omega } un ouvert de X × E {displaystyle Xtimes E} et f : ? ? E {displaystyle f:Omega to E} une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que f {displaystyle f} e...

Exercice 3

Soient ( X , d X ) {displaystyle (X,d_{X})} et ( Y , d Y ) {displaystyle (Y,d_{Y})} deux espaces métriques, f {displaystyle f} une application de X {displaystyle X} dans Y {displaystyle Y} et a {displaystyle a} un point de X {displaystyle X} . Montrer que f {displaystyle f} est continue au point a {displaystyle a} si et seulement s'il exis...

Exercice 4

Soient ( E , d ) {displaystyle (E,d)} un espace métrique et A {displaystyle A} une partie non vide de E {displaystyle E} . Pour tout x ? E {displaystyle xin E} , on pose 1. d ( x , A ) = inf a ? A d ( x , a ) {displaystyle d(x,A)=inf _{ain A}d(x,a)} . 1. Dans R {displaystyle mathbb {R} } muni de la distance usuelle, quelle est la distance...

Exercice 5

Un espace métrique est dit polonais s'il est complet et séparable. 1. Soient ( X 1 , d 1 ) {displaystyle (X_{1},d_{1})} et ( X 2 , d 2 ) {displaystyle (X_{2},d_{2})} deux espaces polonais. Montrer que l'espace produit X 1 × X 2 {displaystyle X_{1}times X_{2}} , muni de la distance d = d 1 2 + d 2 2 {displaystyle d={sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}...

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Qu'est-ce que la topologie ?

La topologie est une th ? eorie math ? ematique relativement jeune : elle ? emerge (sous le nom d’analysis situs) au d ? ebut du vingti` eme si` ecle dans les travaux de Hausdorff et de Tychonoff. Le besoin d’une telle th ? eorie s’est d ? ej` a fait sentir ` a la fin du dix-neuvi` eme si` ecle dans les travaux de Riemann et de Hilbert.

Comment calculer la topologie ?

Nous posons = min( 1, . . . , n), d’o` u B(x, ) ? B(x, i) ?i = 1 . . . n. Donc B(x, ) ? U et U est ouvert. La topologie sur E est ? egalement d ? etermin ? ee par l’ensemble des ferm ? es de E. Cette collection de ferm ? es satisfait (en appliquant les lois de Morgan) les axiomes suivants : (?0) ? et E sont des ferm ? es.

Comment calculer la topologie induite ?

On consid` ere la partie F = {0} ? { n, 1 n ? N?} de R, munie de la topologie induite. Montrer que l’espace topologique F ne v ? erifie pas (*). Montrer que F est compact et d ? eterminer les composantes connexes de F . On suppose que E v ? erifie la propri ? et ? e (**) que pour tout x ? E, tout voisinage de x contient un voisinage connexe de x.

Qu'est-ce que la topologie canonique ?

Il s’agit d’un produit de n intervalles ouverts de R. Comme deux normes sur Rn induisent la mˆ eme topologie, cela montre que la topologie canonique sur Rn s’identifie ` a la topologie-produit.

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