[PDF] Introduction `a la statistique et aux probabilités

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Introduction a la statistique

et aux probabilites

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

21 fevrier 2008

1

0. Organisation du cours

Page web:A visiter r egulierement.

Horaires du cours: jeudis de 10h15 a 12h00.

Horaires des TD/TP: jeudis de 8h15 a 10h00.

Software statistique:R disp oniblegratuitement

Assistants et leurs heures de reception: voir page web.

Examen: voir page web.Introduction

2 Objectifs: apprendre concepts clefs en statistique et probabilites, tels que : Analyse e xploratoireet utilisation du soft warestatistique R.

Analyse c ombinatoire

Calculs elementairesde p robabilites

Calculs de p robabilitesconditionnelles, fo rmulede Ba yes,ind ependance Distributions univa riees,discr eteset continues. En pa rticulier,distributions Bernoulli, Binomial et Poisson, ainsi que Uniforme, Gaussienne et Exponen- tielle. Distribution de plusieurs va riables,conjoin tes,ma rginales,conditionnelles

Esp erance,va riance,quantile

Intro duction ala r egression.Introduction

3

Livres :

E. Cantoni, Ph. Hub er& E. Ronchetti (2006), Ma ^triserl'al eatoire: exercice s resolus de probabilites et statistique, ed. Springer-France. Bailla rgeon,G. (1995). Probabilit es,statistique et technique de r egression.

Les Editions SMG.

Dagnelie, P .(1998). Statistique th eoriquede appliqu ees,T ome1. Bi- bliotheques des Universites : statistique. De Boeck et Larcier. Delmas, B. (1996). Statistique De scriptive.Editions Nathan, P aris.

Do dge(1999). Analyse de r egressionappliqu ee.

Erikson, B.H. et Nosanchuk, T.A. (1985). Understanding Data. The Op en

University Press, Philadelphia.

F reedman,D., Pisani, R., Purves, R. et Adhik ari,A. (1991). Statistics. W .

W. Norton& Co., New York.

Goldfa rb,B. et P ardoux,C. (2004). Intro dction ala m ethodestatistique.

Dunod.Introduction

4 Klatzmann, J. (1985). A ttentionStatistiques !Comm enten d ejouerles pieges. Cahiers libres 405, Editions La Decouverte, Paris. Sanders, D.H., Murph, A.F. et Eng, R.G. (1984). Les S tatistiques: une

Approche Nouvelle. McGraw-Hill, Montreal.

T ukey,J.W. (1977). Explo ratoryData Analysis. Addison-W esley,Readin g,

Massachusetts, London.

W onnacott,R.J. et W onnacott,T.H. (1985). Intro ductorySta tistics.Wiley ,

New York.Introduction

5

1. Motivations

La statistique est une science qui consiste a :

recueillir analyser et interp reter des mesures d'information (les donnees) dans le but de : mieux comp rendre in uer, contr^ oler p redire tester optimiser d etecter des phenomenes complexes et al eatoires/stochastiques/random .Introduction 6 L'aleatoire et les applications de la statistique sont partout :

Jeux de hasard: pile ou face.

Quelle est la probabilite de gagner?

P(gagner) =

12 :Introduction 7

Jeux de hasard: euro million.

Quelle est la probabilite de gagner au loto/euro million?

P(gagner) =

550
449
348
247
146
soit 1 chance sut 76'000'000 de trouver les 5 bons chires entre 1 et 50. Peut-on augmenter ses chances de gagner au loto/euro million?Introduction 8 Votation/Election/Referendum: les sondages tentent de predire l'opinion d'une population. Supposons un referendum entre OUI et NON. Comment feriez-vous pour predire lequel va passer?Introduction 9

Nos donnees

TailleSexeBranche

yMoisJourNbr freres/soeurs+moiInter^et math (cm)(H/F)(0-10)

170H502273***

y1 : Pharmacie, 2 : Sciences de la terre, 3 : Biologie, 4 : (Bio)chimie, 5 : Autre.Introduction 10 Analyse des donnees Taille de l'annee derniere a l'aide du boxplot :HFHF

150 160 170 180 190

Tailles en 2007Introduction

11 Analyse des donnees Nbr enfants/famille a l'aide de l'histogramme :Histogramme du nombre d'enfants

Nombre

Frequency

0 2 4 6 8 10

0 10 20 30 40 50Introduction

12

Birthday problem.

D'apres vous, quelle est la

p robabilite qu'au moins deux p ersonness oientn ees le m^eme jour dans un groupe de 20 personnes?

Simulation Monte Carlo.

Courbe de probabilite.Introduction

13 Pharmaceutique: tester un nouveau medicament. Comment feriez-vous pour tester si une hormone de croissance est ecace?

Recueillir des donnees :

Placebo1.65m 1.80m:::1.63m

Medicament1.47m:::1.92mIntroduction

14

Faire une analyse exploratoire :

> boxplot(data1, data2)l l l PM 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Boxplot taillesFaire un test statistique approprie. Dangers : bien choisir la population, qui fait les mesures, avec quoi, etc.Introduction 15 Agriculture: ameliorer les bles en faisant une experience dans un champ.Introduction

16BCDACDABDABCCBADBADCADCB

CDABDABCABCDDCBAADCBDCBA

DABCABCDBCDAABCDBCDACDAB

ABCDBCDACDABBCDACDABDABC

BLOC IBLOC IIBLOC IVBLOC III

1 1 1

1 2 2 2

2 3 3 3 3 4 4 4

4 5 5 5 5 6 6

6 6

Introduction

17 Astronomie:720360capteurs comptent un nombrealeatoirede particules.Introduction 18 Sport : optimiser les performances d'Alinghi.Introduction 19 Economie/Social: observer la sante d'un pays par son in ation, sa produc- tion, sa consommation, son developpement durable, etc. Avoir des statistiques comparables entre pays europeens, e.g., baisser l'emission deCO2de20%! Chimie: mieux comprendre et contr^oler les processus chimiques.Introduction 20 Physique: mieux comprendre la fusion dans le soleil ou dans un tokamak.Introduction 21

Militaire: detecter un missile.Onboard Jamming

Signals

Incoming Signals

Aircraft radar

warning receiverTarget Signal -1.0-0.50.00.51.0 Real

85 90 95 100

Imag

85 90 95 100

microseconds

KHzIntroduction

220102030405060

bp.cptable.spectrogram

50 55 60 65

0102030405060

ew.cptable.spectrogram microseconds KHz -40 -30 -20 -10 0 10

20Introduction

23
Finance: optimiser les portefeuilles boursiers tout en contr^olant le risque.-10 -5 0 5 10

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

log-returns

1000 3000 5000

nasdaqIntroduction 24
Imagerie medicale: agir sur les crises d'epilepsie, detecter une tumeur.Introduction 25

Vous avez vu en mathematiques des outils varies :

Nomb res: entier, rationnel, r eel,etc.

Figures g eometriques: triangle, sph ere,etc.

F onctions: bijective, c onvexe,d erivable,etc.

Nous allons voir en statistiques un nouvel outil : la va riableal eatoire .Introduction 26
Denition de v.a. reelle : une fonction denie sur l'ensemble des resultats possibles, appele ensemble fondamental ou univers , d'une experience aleatoire X: !X( )IR:

Deux types de variables aleatoires :

discr etequand X( ) =fx1;x2;x3;:::gest un ensemble ni ou denombrable. continue quand X( )est un intervalle deIR.Introduction 27

Examples de processus aleatoires

{Pile ou face:

P(X= pile) = 1P(X= face):

{Nombre de faces de deux P/F successifs: {Euro million:Introductionquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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