Formules de Taylor PDF Les formules de Taylor permettent

Deux preuves de la formule de Taylor

Première preuve. Preuve de 1) . On fait une récurrence sur k. Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P. P(k)(0) = k!ak

Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

4 Factorisation. Factorisation sur C. Somme et produit des racines. Factorisation sur R. Théorème de Rolle et polynômes. 5 Formule de Taylor-Lagrange.

Chapitre 4 Formules de Taylor

s'appelle le polynôme de Taylor de f `a l'ordre n au point x0. Par convention 0! = 1! = 1. Remarque. Démonstration de la formule de Taylor-Lagrange.

1 La formule de Taylor-Young

la formule de Taylor-Young `a l'ordre n ? 1 ? 1 `a la fonction f qui en est différence de deux fonctions continues (la fonction f et le polynôme de.

Formules de Taylor

Les formules de Taylor permettent d'approcher des fonctions Démonstration : récurrence sur n. ... Théorème : formule de Taylor pour les polynômes.

Chapitre 12 : Polynômes

7 feb 2014 ensuite : la formule de Taylor. Objectifs du chapitre : • savoir factoriser ou effectuer une division euclidienne sur des polynômes à ...

CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et Développements Limités

Formules de Taylor et Développements Limités. Démonstration : Soit P un polynôme de Kn[X] et soit a ? K. Notons Q(X) = P(a+X) : c'est un polynôme de Kn[X].

Formules de Taylor

La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme.

POLYNÔMES

Démonstration Fixons une fois pour toutes P = (ak)k?. Q = (bk)k? Théorème (Formule de Taylor polynomiale) Pour tous P ? [X] et ? ?.

Chapitre 3 - Racines dun polynôme

polynôme associée `a A l'application ˜A : K ! K qui `a tout x de K fait Démonstration : Par la formule de Taylor en notant d = deg A

Cours PCSI Formules de Taylor

Table des matières

I- Formule de Taylor avec reste intégral...............................................................................................4

1- Théorème.....................................................................................................................................4

2- Application aux polynômes.........................................................................................................5

II- Inégalité de Taylor-Lagrange...........................................................................................................7

III- Formule de Taylor Young...............................................................................................................9

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Introduction

Les formules de Taylor permettent d"approcher des fonctions transcendantes par des polynômes. Elles permettent d"approcher des irrationnels par des rationnels (exemple e). (Taylor-Lagrange).

Développement en série.

TAYLOR Brook, anglais, 1685-1731

Savant éclectique, Brook Taylor s"adonna à la musique, à la peinture et à la philosophie. Il fut formé

aux mathématiques par John Machin et compléta ses études à l"université de Cambridge.

Admirateur de

Newton, dont il adopta les idées et perfectionna sa méthode des fluxions, Taylor fut membre de la Royal Society de Londres (l"équivalent de notre Académie des sciences) dès 1712 (il n"a que 27 ans). Il en fut le secrétaire en 1714.

En dehors de certains travaux en géométrie axés sur la perspective qui servira de base à la

photogrammétrie, on lui doit principalement la publication (1715-1717) de son traité sur le développement en série des fonctions : Methodus incrementorum directa et inversa, qui engendra

injustement des disputes de paternité car il fut le premier à établir de tels développements dans le

cas général et non pour une fonction particulière. La célèbre formule est en fait l"aboutissement de travaux entamés auparavant par

Gregory, Newton,

Leibniz et Jacques Bernoulli. Selon CDSB, en 1712, dans une lettre à son ancien maître, John Machin, Taylor écrit que sa formule est née du problème de Kepler concernant le calcul de l"anomalie excentrique d"une planète :

Le calcul (ou la majoration) du reste r

n n"est pas étudié rigoureusement par Taylor. Un exemple de développement de Taylor convergent, mais non vers la fonction initiale, fut d"ailleurs donné par

Cauchy au moyen de la fonction :

e 1 x2

C"est pourquoi, suite à des travaux ultérieurs, sa formule est partiellement rebaptisée : formule de

Taylor-Lagrange, Taylor-Young, Taylor-Laplace :

Extraits de

http://serge.mehl.free.fr/ Formule de Taylor avec reste intégral (f de classe Cn+1): généralisation de : f(x)=f(a)+∫ axf "(t)dtpour une fonction de classe C1. Inégalité de Taylor-Lagrange, (f de classe C n+1): généralisation de l"inégalité des accroissements finis. Si f est de classe C

1 et que ∣f"∣ est majorée par M.

Inégalité de Taylor-Young (f est de classe Cn), généralisation de f de classe C1 : f(x)=f(a)+f"(a)(xa)+ǫ(x)(xa) 2/10

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I- Formule de Taylor avec reste intégral .

1- Théorème

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I et (a,b)∈I2, on a : f(b)=∑ k=0n f(k)(a) k!(ba)k+∫ ab (bt)n n!f (n+1)(t)dt Remarque : la formule peut s"écrire avec x.

Démonstration

: récurrence sur n.

Initialisation :

Au rang 0, la formule de Taylor avec reste intégral est : f(b)=f(a)+∫ abf "(t)dt pour f∈C1(I)(intégrale opération inverse de la dérivée).

Hérédité.

On suppose que la propriété est vraie au rang n, montrons qu"elle est vraie au rang n+1.

Soit f une fonction de classe

Cn+2 sur un intervalle I, montrons que :

f (b)=∑ k=0n+1 (ba)k k!f (k)(a)+∫ ab (bt)n+1 (n+1)!f(n+2)(t)dt. f est une fonction de classe

Cn+2 sur I, donc f est de classe Cn+1 sur I.

On applique l"hypothèse de récurrence.

f (b)=∑ k=0n (ba)k k!f k(a)+∫ ab (bt)n n!f n+1(t)dt (1)

Les fonction g

(t)=(bt)n n! et f(n+1) sont de classe C1 sur [a,b]. On peut faire un intégration par parties et on obtient : ab (bt)n n!f (n+1)(t)dt=[(bt)n+1 (n+1)!f (n+1)(t)]ab+∫ ab (bt)n+1 (n+1)!f (n+2)(t)dt ab (bt)n n!f (n+1)(t)dt=(ba)n+1 (n+1)!f (n+1)(a)+∫ ab (bt)n+1 (n+1)!f (n+2)(t)dt. Et en remplaçant l"intégrale dans (1) on obtient le résultat. 4/10

Cours PCSI Formules de TaylorRemarques

: la formule de Taylor avec reste intégral est une égalité. Permet de faire des développements en série si le reste tend vers 0.

Si les dérivées

f (n) ont le même majorant, démonstration plus facile.

Exemple

: ex=∑ k=0n xk k!+∫ 0x (xt)n n!etdt. Et on obtient : ex=∑ k=0 +∞xk k!

Écriture du reste avec des bornes fixes.

On effectue le changement de variable :

t=(ba)x+a et x=ta ba⇒dt=(ba)dx ab (bt)n n!f n+1(t)dt=∫ 01 (b((ba)x+a))n n!f n+1((ba)x+a)(ba)dx ab (bt)n n!f n+1(t)dt=(ba)n+1 n!∫

01(1x)nfn+1(a+(ba)x)dx

2- Application aux polynômes.

Soit P un polynôme de degré n, on a P(n+1) est le polynôme nul et on obtient : P (x)=∑ k=0n (xa)k k!P (k)(a)+∫ ax (xt)n n!P (n+1)(t)dt et comme P(n+1)=0.

Théorème

: formule de Taylor pour les polynômes.

P(X)=∑

k=0 nP(k)(a) k!(Xa)k

Corollaire :

Démonstration

: elle est génératrice et a (n+1) éléments.

Remarque

: on peut démontrer la formule de Taylor par d"autres méthodes. 1 ère méthode : formule de Mac-Laurin.

On peut la démontrer d"abord en 0. Si P=∑

k=0nakXk alors akk!=P(k)(0) et ak=P(k)(0) k! et : 5/10

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P (X)=∑ k=0 nP(k)(0) k!X k.

Pour la démontrer en a , on pose

Q(X)=P(X+a) et on applique la relation précédente au polynôme Q. Puis on retrouve le résultat avec

P(X)=Q(Xa).

2 ième méthode : l"algèbre linéaire.

Elle a (n+1) éléments et

dim(Kn[X])=n+1. C"est donc une base, et P peut s"écrire. P k=0 n λk(Xa)k Et on a : P(k)(a)=k!λk⇒λk=P(k)(a) k! 6/10

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II- Inégalité de Taylor-Lagrange.

Théorème

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur[a,b].

∣f(b)∑ k=0n (ba)k k!f (n+1)!, avec M=sup t∈[a ,b]∣f"(t)∣

Démonstration :

C"est un corollaire de la formule de Taylor avec reste intégral. f (b)∑ k=0n (ba)k k!f (k)(a)=∫ ab (bt)n n!f (n+1)(t)dt ∣f(b)∑ k=0n (ba)k k!f (k)(a)∣=∣∫ ab (bt)n n!f (n+1)(t)dt∣ ∣f(b)∑ k=0n (ba)k k!f ab∣ (bt)n n!f (n+1)(t)∣dt Sur [a,b],(bt) est positif donc : ∣f(b)∑ k=0n (ba)k k!f ab (bt)n n!∣f(n+1)(t)∣dt Or : ∣f(b)∑ k=0nquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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Table des matières

1- Théorème.....................................................................................................................................4

2- Application aux polynômes.........................................................................................................5

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Introduction

Développement en série.

TAYLOR Brook, anglais, 1685-1731

Admirateur de

Gregory, Newton,

Le calcul (ou la majoration) du reste r

Cauchy au moyen de la fonction :

Taylor-Lagrange, Taylor-Young, Taylor-Laplace :

Extraits de

1 et que ∣f"∣ est majorée par M.

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Cours PCSI Formules de Taylor

I- Formule de Taylor avec reste intégral .

1- Théorème

Démonstration

Initialisation :

Hérédité.

Soit f une fonction de classe

Cn+2 sur un intervalle I, montrons que :

Cn+2 sur I, donc f est de classe Cn+1 sur I.

On applique l"hypothèse de récurrence.

Les fonction g

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Si les dérivées

Exemple

Écriture du reste avec des bornes fixes.

On effectue le changement de variable :

01(1x)nfn+1(a+(ba)x)dx

2- Application aux polynômes.

Théorème

P(X)=∑

Corollaire :

Démonstration

Remarque

On peut la démontrer d"abord en 0. Si P=∑

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Pour la démontrer en a , on pose

P(X)=Q(Xa).

Elle a (n+1) éléments et

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II- Inégalité de Taylor-Lagrange.

Théorème

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur[a,b].

Démonstration :