Représentations détat linéaires des systèmes mono-entrée mono
Y. Thomas : Signaux et systèmes linéaires : exercices corrigés. Éditions. Masson 1993. 32. M. Rivoire et J.-L. Ferrier : Cours d'automatique tome 1 :
TD - ENSTA-Bretagne 1ère année Automatique 2012-2013
Exercice .1. Système masses-ressorts 4) Trouver les équations d'état pour le pendule inversé. Exercice .3. ... On considère la voiture étudiée en cours.
COURS ET EXERCICES DE REGULATION
régulation les méthodes pour résoudre les équations différentielles linéaire à corrigés pour approfondir la compréhension du cours.
Correction du TD 3 Automatique
A partir de l'équation d'état sous forme diagonale on peut directement déduire la commandabilité et l'observabilité des variables d'états du vecteur x .
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS Modèle d'état du premier ordre : une seule variable d'état ... Calcul à partir des équations récurrentes :.
Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés
La RDM permet de calculer et de tracer les diagrammes des sollicitations d'une structure (détermination des équations des efforts internes de chaque élément de
Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés
On considère un système régi par l'équation différentielle : Calculer la réponse de ce système à une rampe d'entrée e(t) = t. Exercice 1.2 : Asservissement
Liens entre fonction de transfert et représentations détat dun système
UV Automatique. ASI 3. Cours 10 Passage modèle d'état ? fonction de transfert ... Les pôles du système sont les racines de l'équation.
Cours dAutomatique
28 juin 2017 Ce cours d'Automatique s'inscrit dans le cadre de la deuxi`eme année de ? cycle ... De l'équation d'état `a la fonction de transfert en z .
Automatique Linéaire 1 - JM Dutertre
L'objectif du cours d'automatique linéaire 1 est l'étude des systèmes La relation qui lie leur entrée et leur sortie2 est dès lors une équation ...
Travaux dirigés d’automatique N 1
1) Donner les équations d’état du système On prendra comme vecteur d’état x=(xy?) et comme vecteur d’entrée ?=(?1?2?3) correspondant aux vitesses de rotation des trois roues 2) Proposer un bouclage qui permette d’avoir un modèle char décrit par les équations d’état suivantes x? = vcos? y? = vsin?
Travaux dirigés d’automatique N 1 - u-strasbgfr
TD d’automatique – Licence 3 ESA – 2015/2016 4 Travaux dirigés d’automatique No 3 Exercice 1 Soit la fonction de transfert : G(s) = 10(s+10) s(s +2)(s+ 5) 1 Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de G(s) (amplitude et phase) 2 Calculer l’erreur commise à l’intersection des asymptotes entre les diagrammes de Bode
Comment calculer la réponse temporelle d’un système d’automatique?
TD d’automatique – Licence 3 ESA – 2015/2016 2 Travaux dirigés d’automatique No2 Exercice 1 – Calcul d’une réponse temporelle On considère un système de fonction de transfert G(s) =0.1(s+10) (s+2)(s+1). 1. Calculez la réponse indicielle du système dans le cas où il est initialement au repos 2.
Comment calculer la fonction de transfert d’un système?
3. La fonction de transfert d’un système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsion- nelle. 4. L{f(t??)} = e??sF(s) avec F(s) = L{f(t)} et f(t) causale. Exercice 2 – réponse harmonique d’un système Un système a la fonction de transfert suivante : F(s) = Y(s) U(s) = 1 s +a avec a > 0.
Comment calculer le gain statique d’un système de fonction de transfert?
On considère un système de fonction de transfert G(s) =10(s+2) (s+5)(s+50). 1. Calculez le gain statique du système 2. Tracez l’allure de la réponse indicielle qu’on obtiendrait s’il n’y avait pas de zéro dans G(s).
Qu'est-ce que la régulation automatique ?
Régulation – Automatique : Cours et exercices La régulation permet de maintenir une grandeur physique à une valeur constante quelques soient les perturbations extérieures. L’objectif global de la régulation peut se résumer par ces trois mots clefs : Mesurer, Comparer et Corriger.
TD - ENSTA-Bretagne 1ère annéeAutomatique, 2012-2013 Luc Jaulin
1. Modélisation
Exercice .1.Système masses-ressorts
(a) système au repos, (b) système dans un état quelconque On considère le système d'entréeuet de sortieq1de la figure ci-dessus (uest la force appliquée sur le deuxième chariot,
qiest l'écart duiièmechariot par rapport à sa position d'équilibre,kiest raideur duiièmeressort,αest le coefficient
de frottement visqueux). Prenons pour vecteur d'état x= (q1,q2,˙q1,˙q2)T.
1) Trouver les équations d'état du système.
2) Ce système est-il linéaire ?
Exercice .2.Pendule inversé
On considère le système, appelépendule inversé,formé d'un pendule de longueurℓposé en équilibre instable sur un
chariot roulant, comme représenté sur la figure. La quantitéuest la force exercée sur le chariot de masseM,xindique
la position du chariot,θest l'angle entre le pendule et la verticale etRest la force exercée par le chariot sur le pendule.
A l'extrémitéBdu pendule est fixée une masse ponctuellem. On négligera la masse de la tige du pendule. Enfin,A
est le point d'articulation entre la tige et le chariot et Ω =˙θkest le vecteur de rotation associé à la tige.Pendule inversé
1) Ecrire le principe fondamental de la dynamique appliqué sur le chariot et le pendule.
2) Montrer que le vecteur vitesse du pointBs'exprime par la relationv
B= l'accélération˙vBdu pointB.
3) Pour modéliser le pendule inversé, on prendra pour vecteur d'étatx=
x,θ,˙x,˙θ . Justifier ce choix.4) Trouver les équations d'état pour le pendule inversé.
Exercice .3.Méthode d'Hamilton
La méthode d'Hamilton permet d'obtenir les équations d'état d'un système mécanique conservatif (c'est-à-dire dont
l'énergie se conserve) uniquement à partir de l'expressiond'une seule fonction : son énergie. Pour cela, on définit
l'hamiltoniencomme l'énergie mécanique du système, c'est-à-dire la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie
cinétique. L'hamiltonien peut s'exprimer comme une fonctionH(q,p)des degrés de libertéqet des quantités de
mouvement (ou des moments cinétiques dans le cas d'une rotation)passociées. Les équations d'Hamilton s'écrivent
˙q=
∂H(q,p) ∂p˙p=-∂H(q,p)
∂q.1) On considère le pendule simple représenté sur la figure ci-dessous. Ce dernier a une longueurℓet composé d'une
seule masse ponctellem. Calculer l'hamiltonien du système. En déduire ses équations d'état.
2) Montrer que si un système est décrit par les équations d'Hamilton, l'hamiltonien est constant.
2Exercice .4.Robot omni-directionnel
On considère le robot à trois roues suédoises représenté ci-dessus.1) Donner les équations d'état du système. On prendra comme vecteur d'étatx= (x,y,θ)et comme vecteur d'entrée
1,ω2,ω3)correspondant aux vitesses de rotation des trois roues.
2) Proposer un bouclage qui permette d'avoir un modèle char décrit par les équations d'état suivantes
˙x=vcosθ˙y=vsinθ
˙θ=u
1˙v=u2.
Exercice .5.Système voiture-remorque
On considère la voiture étudiée en cours. Rajoutons une remorque à cette voiture dont le point d'attache est le milieu
de l'essieu arrière de la voiture. Trouver les équations d'état du système voiture-remorque.
Exercice .6.Voilier
On considère le bateau à voile représenté sur la figure ci-dessous. 3Le vecteur d'étatx= (x,y,θ,δv,δg,v,ω)T, de dimension 7, est composé des coordonnéesx,ydu centre de gravitéG
du bateau (la dérive se trouve enG), de l'orientationθ, de l'angleδ vde la voile, de l'angleδgdu gouvernail, de la vitessevdu centre de gravitéGet la vitesse angulaireωdu bateau. Les entréesu1etu2du système sont les dérivées
des anglesδvetδg. Les paramètres (supposés connus et constants) sont :Vla vitesse du vent,rgla distance du
gouvernail àG,rvla distance du mât àG,αgla portance du gouvernail (si le gouvernail se trouve perpendiculaire à
la marche du bateau, l'eau exerce une force deα gvNewton sur le gouvernail),αvla portance de la voile (si la voile se trouve immobile, perpendiculaire au vent, ce dernier exerce une force deα vVNewton),αfle coefficient de frottementdu bateau sur l'eau dans le sens de la marche (l'eau exerce surle bateau une force opposée au sens de la marche égale
fv),αθle coefficient angulaire de frottement (l'eau exerce sur le bateau un couple de frottement égal à-αθω;
étant donné la forme du bateau, plutôt profilé pour garder un cap,αθsera grand devantαf),Jle moment d'inertie
du bateau,ℓla distance entre le centre de poussée de la voile et le mât,βle coefficient de dérive (lorsque la voile du
bateau est relâchée, le bateau tend à dériver, dans le sens duvent, à une vitesse égale àβV). Le vecteur d'état est
composé des coordonnées de position, c'est-à-dire les coordonnéesx,ydu centre d'inertie du bateau, l'orientationθ,
et les anglesδvetδgde la voile et du gouvernail et des coordonnées cinématiquesvetωreprésentant respectivement
la vitesse du centre de rotationGet la vitesse angulaire du bateau. Trouver les équations d'état pour notre système˙x=f(x,u),oùx= (x,y,θ,δ v,δg,v,ω)Tetu= (u1,u2)T.Exercice .7.Moteur à courant continu
Un moteur à courant continu peut être décrit par la figure suivante, oùuest la tension d'alimentation du moteur,
iest le courant absorbé par le moteur,Rest la résistance de l'induit,Lest l'inductance de l'induit,eest la force
electromotrice,ρest le coefficient de frottement dans le moteur,ωest la vitesse angulaire du moteur etT
rest le couple exercé par le moteur sur la charge. 4On rappelle les équations d'un moteur à courant continu idéal :e=KΦωetT=KΦi. Dans le cas d'un moteur à
excitation indépendante, ou à aimants permanents, le fluxΦest constant. Nous allons nous placer dans cette situation.
1) On prendra pour entrées du systèmeT
retu. Trouver les équations d'état.2) On branche en sortie du moteur un ventilateur de caractéristiqueT
r=αω2. Donner les nouvelles équations d'état du moteur.Exercice .8.Circuit RLC
Le système ci-dessous a pour entrée la tensionu(t)et pour sortie la tensiony(t). Trouver les équations d'état du
système. S'agit-il d'un système linéaire ?Circuit électrique à modéliser
Exercice .9.Les trois bacs
On considère le système comprenant trois bacs et représentésur la figure. Système constitué de trois bacs contenant de l'eau et reliéspar deux canauxL'eau des bacs 1 et 3 peut se déverser vers le bac 2, mais aussi vers l'extérieur se trouvant à pression atmosphérique.
Les débits associés sont, d'après la relation de Toricelli,donnés par Q1ext=a.√2gh1,
Q3ext=a.√2gh3.
5 De même le débit d'un bacivers un bacjest donné par Q ij=a.sign(hi-hj)2g|hi-hj|.Les variables d'état de ce système qui peuvent être considérées sont les hauteurs dans les bacs. Pour simplifier, nous
supposerons que la surface des bacs sont toutes égales à1m2, ainsi, le volume d'eau dans un bac se confond avec la
hauteur. Trouver les équations d'état décrivant la dynamique du système.Exercice .10.Vérin
On considère le vérin pneumatique avec ressort de rappel. Untel vérin est souvent qualifié de simple effet car l'air
sous pression n'existe que dans une des deux chambres.Vérin simple effet
Les paramètres de ce système sont la raideur du ressortk, la surface du pistonaet la massemen bout de piston
(les masses de tous les autres objets sont négligées). On suppose que tout se passe à température constanteT
0. Nous
prendrons pour vecteur d'étatx= (z,˙z,p)oùzest la position du vérin,˙zsa vitesse etpla pression dans la chambre.
L'entrée du système est le débit volumiqueud'air vers la chambre du vérin. Pour simplifier, nous supposerons que le
vide règne dans la chambre du ressort et que lorsque pourz= 0(le vérin est en butée gauche) le ressort se trouve en
position d'équilibre. Trouver les équations d'état du vérin pneumatique.Exercice .11.Suite de Fibonacci
Il s'agit d'étudier l'évolution du nombrey(k)de couples de lapins dans un élevage en fonction de l'annéek. L'année 0,
il y a un seulement un couple de lapins nouveau-nés dans l'élevage (doncy(0) = 1). Les lapins ne deviennent fertiles
que un an après leur naissance. Donc à l'année 1, il y a toujours un seul couple de lapins, mais ce couple est fertile
(doncy(1) = 1). Un couple fertile donne naissance chaque année à un autre couple de lapins. Donc à l'année 2, il y a
un couple de lapin fertile et un couple de nouveaux-nés. Cette évolution peut être décrite par le tableau suivante, où
N signifienouveau néet A signifieadulte.
k= 0k= 1k= 2k= 3k= 4 NAAAA NAA NA Nquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] problemes corrigés en automatique linéaire
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