Introduction à la représentation détat
?X(t) est appelé vecteur d'état du système. ?Par rapport à la fonction de transfert le modèle d'état donne des informations sur la représentation interne
REPRESENTATION DETAT DES SYSTEMES LINEAIRES
Elle peut être aussi obtenue par transformation du modèle c'est-à-dire à partir de l'équation différentielle ou de la fonction de transfert. Pour illustrer ce
Liens entre fonction de transfert et représentations détat dun système
Exemple : système mécanique (masse en translation). ? Equation différentielle. ? FT. ? Représentation d'état. Etats du système.
Cours dAutomatique
28 juin 2017 mod`ele différent appelé représentation d'état linéaire (approche ... Concernant le circuit RLC
Chapitre 10 - ´Etude des syst`emes par ´equations d´etat
On appelle cette représentation l'espace d'état (”state-space”). Exemple 1. Soit le circuit suivant : +. ? v(t).
REPRESENTATION DETAT ET COMMANDE DANS LESPACE D
1.2 Les équations d'etat. Reprenons notre exemple de la figure 1 le syst`eme d'équations 1 peut s'écrire sous la forme matricielle suivante :.
Représentations détat linéaires des systèmes mono-entrée mono
Cette version étendue vise bien sûr un plus large public. Elle comprend plus de détails plus d'exemples
REPRESENTATION DETAT
fonction de transfert parmi lesquels on cite la représentation d'état ou équation d'´état ou encore modèle d'´état. Il s'agit au fait
CRONE CONTROL
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Résumé dautomatique – Représentation détat
Résumé d'automatique – Représentation d'état. Auto – Résumé Lien fonction de transfert – modèle d'état ... Transformation du modèle par la matrice .
Université Mohamed Khider Biskra Faculté des Sciences et de
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ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS DANS L
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Chapitre 4 – Représentation d’état Partie 2 1 RELATION AVEC LA FONCTION DE TRANSFERT Continu : 1 x tAxtBut sX s AX s BU s sI A X s BU s X ssIABUs 1 1 yt Cxt Dut Ys CXs DUs Ys CsI A BUs DUs Ys Gs CsI A B D Us Stabilité ? pôle de Gs i e les valeurs de s pour que Gs
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6 RESOLUTION DES EQUATIONS D’ETAT
REPRESENTATION D’ETAT DES SYSTEMES 6 RESOLUTION DES EQUATIONS D’ETAT Nous allons montrer comment déterminer la réponse d'un système dynamique modélisé sous forme de représentation d'état à des grandeurs d'entrée principales ou secondaires ou à des conditions initiales
Quelle est l’idée de base des représentations d’État?
L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées. Quelques définitions à cet effet : •L’état : est une structure mathématique constituée d’un ensemble de
Comment donner une représentation d’État d’un système?
DIFFERENTES REPRESENTATIONS D’ETAT (MODELES) Plusieurs techniques peuvent être appliquées pour donner une représentation d’état d’un système à partir de sa fonction de transfert. On présente ici les représentations d’état sous formes canoniques. Soit le système défini comme suit : @
Quels sont les différents types de représentations d’État?
6 6 7 IV Différentes représentations d’état (modèles) 1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan
Quelle est la règle de la représentation ?
On parle de la règle de la représentation. Si le défunt n’a prévu aucun testament et est marié et non divorcé, la loi prévoit que son conjoint survivant hérite d’une partie ou de la totalité de ses biens selon le cas. Il peut également jouir de l’usufruit des biens en l’absence d’enfants nés d’une précédente union.
2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE
Cours d"Automatique
Repr´esentations d"´etat lin´eaires
des syst `emes monovariablesOlivier BACHELIER
Courriel :
Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr
Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34
2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE
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28 juin 2017
R´esum´e
Ce cours d"Automatique s"inscrit dans le cadre de la deuxi`eme ann´ee de?cycle ing´enieur?de l"´EcoleNationaleSup´erieure d"Ing´enieurs dePoitiers (ENSIP) et s"adresse aux ´etudiants de
la fili`ere´Energie, parcoursMaˆıtrise de´Energie´Electrique (MEE). Ces derniers ont d´ej`a suivi
un enseignement relatif `a l"´etude des syst`emes lin´eaires mod´elis´es par une fonction de transfert
(approche fr´equentielle). Ce cours s"int´eresse aux mˆemes syst`emes mais propose une ´etude via un
mod`ele diff´erent, appel´e repr´esentation d"´etat lin´eaire (approche temporelle).Connaissances pr
´ealables souhait´ees :
notions de syst`emes lin´eaires, ´equations diff´erentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des syst`emes lin´eaires par approche fr´equentielle, quelques bases d"alg`ebre lin´eaire. iiTable des mati`eres
1Introduction1
1.1Notion de syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2Notion de mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3Grandes lignes du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2Rappel sur la fonction de transfert5
2.1´Equations pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle `a la fonction de transfert. . . . . . . 6
2.2Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Int´erˆet de la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3La repr´esentation d"´etat11
3.1Principe g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2De la non-lin´earit´e `a la lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3Historique de la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4Comment obtenir un mod`ele d"´etat?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 Par le jeu d"´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.2 Par l"´equation diff´erentielle unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5De la fonction de transfert `a la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Cas d"une fonction de transfert strictement propre (m < n). . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.1R´ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.2R´ealisation de forme compagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.2 Cas d"une fonction de transfert non strictement propre (m=n). . . . . . . . . . . . . . 20
3.6De la repr´esentation d"´etat `a la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.1 Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.2 Obtention d"une forme compagne (horizontale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3 Obtention d"une forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3.1Les valeurs propresλideAsont distinctes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7.3.2Les valeurs propresλideAsont multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4R´eponse d"un mod`ele d"´etat25
4.1Solution du syst`eme autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Matrice de transition d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Solution de l"´equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2Solution de l"´equation d"´etat compl`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3Calcul deeAt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 M´ethode des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Par la transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 M´ethodes des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iiiTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
4.4R´egime transitoire : influence des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7R´eponse harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5Stabilit´e des mod`eles d"´etat35
5.1Une approche quasi intuitive : la stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2Stabilit´e d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3Crit`eres de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.1rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.2rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.3rang(A)< n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.4En r´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.5Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.6Les marges de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.2 Crit`ere de Routh/Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6Commandabilit´e et observabilit´e43
6.1D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 Commandabilit´e ou gouvernabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.1 Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.3 Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.1Adiagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.2Anon diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4Grammiens de commandabilit´e et d"observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.3 Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.1 Diff´erence entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.2 Syst`emes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.2 R´ealisation minimale et notion de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.3 R´ealisation minimale et stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7Commande par retour d"´etat55
7.1Notion de retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2Retour d"´etat et performances transitoires : le placementde pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1 Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.2 Placement de pˆoles sur une r´ealisation canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.3 Placement de pˆoles sur une r´ealisation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.3.1Obtention de la forme canonique `a partir de la fonction de transfert. . . . . . . 58
7.2.3.2Obtention de la forme canonique `a partir d"une autre r´ealisation. . . . . . . . . 58
7.2.3.3Algorithme de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3Performances statiques et retour d"´etat : la pr´ecommande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4Rejet de perturbation et retour d"´etat : adjonction d"int´egrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ivTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
7.4.1 Premi`ere approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.4.2 Seconde approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8Commande par retour de sortie : les observateurs69
8.1Notions pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.2 Principe de l"observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.3 Propri´et´e d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.4 Condition d"existence d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.5`A propos de la transmission directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2Synth`ese d"un observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.1 Observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.2 Proc´edure de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3Synth`ese d"un observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3.1 Observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3.2 Proc´edure de synth`ese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4Commande par retour d"´etat observ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9Introduction`a la repr´esentation d"´etat discr`ete81
9.1Rappels sur les signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.1 Signaux continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.2 Transformation de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.1´Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.2Quantification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.3Blocage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2Syst`emes discrets lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2 Mod`eles externes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2.1´Equation r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.2Transformation enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.3Fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.3 Repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.4 Lien entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.1D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.2De l"´equation d"´etat `a la fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.3De la fonction de transfert enz`a l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3Syst`emes ´echantillonn´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.1 Pourquoi ´etudier les mod`eles discrets? (notion de syst`eme ´echantillonn´e). . . . . . . . . 88
9.3.2 La commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.3´Echantillonnage et th´eor`eme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4 Obtention d"un mod`ele ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.1Calcul deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.2Mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4R´eponse d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1 R´eponse du mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.1R´eponse par r´esolution de l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.2Calcul deAk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.3R´eponse d"un syst`eme ´echantillonn´e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.2 Analyse de la r´eponse : ´etude des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5Stabilit´e d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.1 Stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2 Stabilit´e interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.1D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.2Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.3 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
9.5.3.1R´esultat g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.5.3.2Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.3.3Marge de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.4 Crit`ere de Jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.5 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.6 Stabilit´e d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5.6.1´Echantilonnage d"une boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5.6.2Bouclage d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6Commandabilit´e/observabilit´ed"un mod`ele discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2 Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.3Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.3 Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4 Grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.1D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.2Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.4.3Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.5 Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.6 R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.7Commande par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.1 Les diff´erentes approches de la commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.2 Retour d"´etat discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.3 Placement de pˆoles par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.1Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.2Technique de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.8Commande par retour de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10Conclusion107
10.1R´esum´e du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Annexes109
ARappels d"alg`ebre et d"analyse111
A.1`A propos des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.1 Transposition et conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.2 Matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.3 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.1.3.1Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1.3.2Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.1.4 D´eterminant d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.4.1D´eterminant d"une matrice carr´ee d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.1.4.2D´eterminant d"une matrice carr´e d"ordre 3 ou plus. . . . . . . . . . . . . . . . 114A.1.4.3Quelques propri´et´es du d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.5 Cofacteurs et matrice adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.6 Polynˆome caract´eristique d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.7 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8 Matrices inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8.1D´efinition et calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.1.8.2Propri´et´es des inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.1.9 Valeurs propres d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
viTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
A.1.9.1Structure propre d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.1.9.2Propri´et´es des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.9.3Propri´et´es des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.10 Rang d"une matrice carr´ee, d´eterminant et valeurspropres. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1.11 Trace d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2`A propos de la d´efinition positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.1 Fonction d´efinie positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.2 Matrices Hermitiennes d´efinies en signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B`A propos du r´egime transitoire121
B.1Influence du spectre de la matrice d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.2Influence des vecteurs propres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.1 Couplage modes/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.2 couplage modes/commandes en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.2.3 Couplage modes/consigne en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2.4 En r´esum´e sur les vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3Influence des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.1 Les z´eros d"un mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.2 Contribution des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
CFormule d"Ackermann pour le placement de pˆoles par retour d"´etat127C.1Rappel du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2R´esolution selon Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
D`A propos deZ129
D.1Propri´et´es deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D.2Tableau de transform´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ELyapunov et les syst`emes lin´eaires131
E.1Le cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
E.2Le cas discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
E.3Le cas ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
F`A propos des grammiens135
F.1Signification des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
F.2Invariance des valeurs propres deWcWo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
GMATLABet la repr´esentation d"´etat139
G.1Fonctions math´ematiques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
G.2Fonctions li´ees au mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
G.3Fonctions li´ees aux mod`eles discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
HBiographies153
H.1Alexandr Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
H.2Rudolf Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
R´ef´erences bibliographiques159
viiTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
viiiChapitre 1
Introduction
L"Automatique est une discipline scientifique qui vise `a conf´erer `a un dispositif donn´e, appel´e syst`eme, des
propri´et´es souhait´ees et ce, sans n´ecessit´e d"une intervention humaine. Une telle discipline requiert d"attribuer
un mod`ele au comportement du dit syst`eme (phase de mod´elisation) et de l"utiliser afin, d"une part, de mieux
comprendre ce comportement (phase d"analyse) et d"autre part, d"agir sur le syst`eme dans le but d"am´eliorer ses
propri´et´es (phase de commande).Sans revenir trop longuement dans cette introduction sur des concepts ´etudi´es lors des cours relatifs `a l"approche
dite fr´equentielle, il convient de rappeler quelques notions de base. 1.1Notion de syst`eme
Un syst`emeest unecombinaisonde composantsinterconnect´espouratteindreun objectif,rendreunservice `a unou
plusieurs op´erateurs humains.Le ?composant?est un organefonctionnelqui ne se limite pas `a un objet physiquemais peut correspondre `a un objet plus abstrait de telle sorte qu"un syst`eme peut ˆetre ´economique, financier,
d´emographique mˆeme si, dans le cadre de cet enseignement,seront plutˆot rencontr´es des syst`emes physiques,
c"est-`a-dire m´ecaniques, ´electriques, ´electroniques, hydrauliques, pneumatiques, chimiques, m´ecatroniques voire
biologiques.Parmi les grandeurs, ´eventuellement physiques, mises en jeu dans le fonctionnement d"un syst`eme, l"on peut
distinguercelles qui,g´en´er´eesparl"environnementext´erieurau syst`eme,agissent sur ce dernier.Ce sont les entr´ees
parmi lesquelles figurent celles dont l"homme a la maˆıtrise(les entr´ees de commande ou simplement entr´ees) et
celles qui ´echappent `a son contrˆole (les perturbations).L"on distingue aussi les grandeurs par lesquelles le syst`eme
agit sur l"environnement ext´erieur, `a savoir les sorties. L"on note souvent par les lettresu,dety, respectivement
les entr´ees, les perturbations et les sorties, de sorte qu"un syst`eme peut-ˆetre repr´esent´e par le sch´ema de la figure
1.1.Syst`emeu
1 u2...umy
1 y2...ypd
1dr FIGURE1.1 - Syst`eme comportantmentr´ees,psorties etrperturbationsDans le cadre de ce cours, seuls seront ´etudi´es les syst`emes monovariables pour lesquelsm=p= 1, c"est-`a-dire
ne comportant qu"une seule entr´ee et une seule sortie.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] exercice corrigé commande par retour détat
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