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SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS
B. SANDOZ
EDITION PROF
29FÉVRIER2016
CE DOCUMENT EST MIS À DISPOSITION SELON LES TERMES DE LALICENCECREATIVECOMMONSATTRIBUTION
- PAS D"UTILISATIONCOMMERCIALE-PAS DEMODIFICATION3.0 FRANCE.
De l"avis des étudiants, l"automatique est souvent considérée comme la "bête noire" des matières
enseignées, car souvent jugée très abstraite.De nombreux documents de cours existent sur internet et celui-ci ne prétend pas révolutionner l"enseigne-
ment de l"automatique. Il tentera d"être adapté aux cours dispensés aux étudiants des Arts et Métiers du CER
de Paris en proposant des explications les plus concrètes possible. L"objectif est d"enrichir et d"améliorer ce
document chaque année.La toute première version de ce document a été initialement inspirée du support de cours que m"a laissé
M. Vergé lors de mon arrivée, qui coïncidait avec son départ. Je le remercie ici très sincèrement pour ce passage
de relai. iiiSOMMAIRE
Chapitre I Introduction à l"automatique
11 Objectifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Repères historiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chapitre II Transformée de Laplace
71 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Résolution d"équations différentielles linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Recherche d"originale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Chapitre III Modélisation schéma-blocs
151 Motivations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Systèmes mécaniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Opérations sur les schémas blocs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chapitre IV Analyse transitoire
231 Motivations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Système du premier ordre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Intégrateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Système du second ordre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Chapitre V Performance des systèmes bouclés
351 Notations et relations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Étude de la stabilité
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Étude de la précision
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Chapitre VI Analyse fréquentielle
411 Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Diagramme de Bode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Cas du second ordre sous amorti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Correspondance temps-fréquence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Performances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chapitre VII Correction des systèmes
551 Généralités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
ChapitreVIIIExercices57
v1 Exercices Chapitre Transformée de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Exercices Chapitre Modélisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Exercices Chapitre Analyse Transitoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Exercices Chapitre Performance des systèmes bouclés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 Exercices Chapitre Analyse fréquentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Table des transformées de Laplace
63vi
Chapitre I
Introduction à l"automatique
Sommaire
1 Objectifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Cahier des charges
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Démarche générale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Modélisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Recalage ou identification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Définition du cahier des charges
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4 Détermination du correcteur (régulateur)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.5 Vérification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Repères historiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.1 Définitions
Dans le langage courant, automatiser un système c"est le rendreindépendantd"une intervention humaine
dès qu"il a été initialisé.L"automatiqueest la science qui étudie les méthodes et les moyens de faire exécuter
des tâches sans intervention humaine. De nombreux exemples existent dans la vie courante : détection automatique d"incendiearrêt d"un ascenseur à l"étage désiré (c"est mieux), avec régulation de la vitesse de déplacement (pas
d"accélération trop forte, pas de vitesse trop lente) lecture d"un D VD/Bluray régulateur de vitesse dans une voitureditsasservis(ou continus). Les systèmeslogiquesfonctionnent avec des tâches effectuées dans un ordre précis
(touches de téléphone, clavier, télécommande...) qui peuvent être représentées par Grafcets.
Un exemple desystème continuest celui de la régulation du niveau d"une cuve présentée Figure1 :
Figure 1- Régulation d"une cuve
La Figure
1montre que le niveau est "mesuré" par le flotteur qui déplace verticalement le levier pivotant.
Ce levier porte un obturateur de débit d"entrée. Si le niveau baisse, alors le flotteur descend et le levier ouvre
le passage d"arrivée d"eau, le niveau peut alors remonter. Le niveau d"eau dans la cuve est réglé par la longueur
de la tige qui relie le flotteur au levier (tige filetée). Ce dispositif peut se schématiser sous la forme présentée
Figure
2 Figure 2- Schéma bloc de régulation d"une cuve 2 -Qele débit d"entrée -Qsle débit de sortie -H0le niveau d"eau souhaité -Hle niveau d"eau actuel, "mesuré" par le flotteurL"objectif de ce système asservi est donc de ramener le niveau d"eau actuel au niveau d"eau souhaité, ou
bien dit autrement : de maintenir ou de réduire l"erreurH=H0Hà une valeur très petite ou nulle.
1.2 Notations
Un système asservi est composé de 3 parties essentielles (Figure 3 le système, ou processus physique à réguler, il comprend l"actionneurou les moteursle capteurchargé de mesurer le signal de sortie pour ensuite "vérifier" si il est conforme à la consigne,
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