[PDF] Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 2 Forme de

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Repr´esentation et analyse

des syst`emes lin´eaires PC 2

Forme de Jordan

Commandabilit´e et observabilit´e

Les formes canoniques2Transformation de similarit´e - Non unicit´e de la repr´esentation d"´etat x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t)x=P˜x-→

˜x(t) =P-1AP?

A˜x(t) +P-1B?

Bu(t) y(t) =CP????

C˜x(t) +D????

Du(t) - Le choix de la matrice de passage

Pd´etermine diff´erentes formes

1. Formes

modales - diagonale ou de Jordan

2. Formes

compagnes du polynˆome caract´eristique (PC3) PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes canoniques3

Les formes modales

La matrice de passagePest la matrice de passage dans la base des vecteurs propres de A

Le polynˆome caract´eristique

det(A-λ1n) = (-1)n(λ-λ1)m1···(λ-λp)mp

La multiplicit´e alg´ebrique

de chaque valeur propreλiest mi -La multiplicit´e g´eom´etrique ou d´eg´en´erescence deλiest qi=n-rang(A-λi1)

1. Il existe

nvaleurs propres toutes distinctes et simples

2. Il existe

p < n valeurs propres pouvant ˆetre multiples PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes modales4

1- Valeurs propres simples :

mi= 1 ?i= 1,···,n - Matrice dynamique :

10 0···0

0λ20......

.......0 ....0 - Matrice de passage : P=? e

1e2···en?

- Vecteurs propres :

Aei=λiei?i= 1,···,n

- Matrices syst`eme :

˜B=P-1B˜C=CP

PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes modales5

2- Valeurs propres multiples :

p < n -qi=mi : d´eg´en´erescence pleine

10··· ··· ···0

0λ2...··· ···...

....Ji .......0 J i0···0 0 ....0 o`uJi?Cmi×mi

La matrice de passage :

P=? e PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes modales6

2- Valeurs propres multiples :

p < n -qi= 1

10··· ··· ···0

0λ2...··· ···...

....Ji .......0 J i1···0 0 ....1 o`uJi?Cmi×mibloc de Jordan

La matrice de passage :

P=? e

1···e1i···emii?

v.p. g´en´eralis´es···ep? PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes modales7

2- Valeurs propres multiples :

p < n -1< qi< mi : d´eg´en´erescence quelconque

Il existeqiblocs de Jordan associ´es `aλi

10··· ··· ···0

0λ2...··· ···...

....Ji .......0 o`u

Ji?Cmi×mi= diag(J1i,···,Jqii)

La matrice de passage (algorithme de triangularisation) : P=? e

1···e1i···emii?

v.p. g´en´eralis´es···ep? PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

La forme r´eelle pour les pˆoles complexes8

-Diagonalisation dansC: ?α+jβ0

0α-jβ??

p0 0p???

Diagonalisation dansR:

?α+jβ0

0α-jβ??

1/2-i/2

1/2i/2??

?1 1 i-i?? PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Notion de commandabilit´e9

Soit le mod`ele d"´etat LTI

x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) x(t) x(0) t 0 t2u 2(t) t1u 1(t) ▼D´efinition 1: commandabilit´e

Le mod`ele d"´etat est

compl`etement commandable si et seulement s"il est possible de d´etermineru(t)/[t0tf]conduisanttout´etat initialx(t0) =x0versx(t1) = 0en PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Notion de commandabilit´e10

✍Remarques 1: - Si un syst`eme n"est pas compl`etement commandable alors pour certaines x0?u pouvant ramener le syst`eme `a 0 - Propri´et´e caract´eristique de la paire (A,B) et donc de la relation entr´ee-sortie - Un syst`eme trivialement non commandable est tel que B=0

Exemple :

q1q 2u h 1h2C 2dh2 dt=-q2=-h2 R2 C 1dh1 dt=q2-q1+u=h2 R2-h1 R1+u PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Notion d"observabilit´e11

Soit le mod`ele d"´etat LTI

x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) yi(t) y i(0) t 0 tf ▼D´efinition 2: observabilit´e

Le mod`ele d"´etat est

compl`etement observable si et seulement s"il est possible de d´eterminertoutecondition initialex(t0) =x0connaissanty(t)/[t0tf]. PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Observabilit´e12

✍Remarques 2: - Notion importante pour les syst`emes o`u l"´etat n"est pasdirectement mesurable - Mesurabilit´e?= observabilit´e

Exemple :

satellite 1 axe x(t) =?? 0 1 0 0?? x(t) +?? 0

1/Izz??

u(t) y(t) =? 1 0? x(t) o`ux=?? SiC=? 0 1? , `a partir de la vitesse angulaire, on ne peut reconstruire la position angulaire et la vitesse PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Commandabilit´e et observabilit´e : crit`eres de Kalman13

Les crit`eres de Kalman :

❒Th´eor`eme 1: commandabilit´e (A,B)o`uA?Rn×n,B?Rn×mest compl`etement commandable ssi la matrice de commandabilit´eC est de rangn, rang(C) = rang??

B...AB...···...An-1B??

=n ❒Th´eor`eme 2: observabilit´e (A,C)o`uA?Rn×n,C?Rr×nest compl`etement observable ssi la matrice d"observabilit´eO est de rangn, rang(O) = rang? C ?A?C?···(CAn-1)???? =n PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Commandabilit´e et observabilit´e14

Exemple 1 :

bacs d"eau A=?? -1 R1C11 R2C1

0-1R2C2??

B=??1 C1 0?? C=? 1 0? C=?? 1 C1-1 R1C21 0 0?? rg(C) = 1 O=?? 1 0 1 R1C11

R2C1??

rg(O) = 2 PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Dualit´e15

x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t)

Σdual

ξ(t) =A?ξ(t) +C?ν

η=B?ξ(t)

o`uA?Rn×n,B?Rn×m,C?Rr×n ❒Th´eor`eme 3: -Σ (A,B)est commandable ssiΣdual(A?,B?)est observable -Σ (A,C)est observable ssiΣdual(A?,C?)est commandable ▼D´efinition 3:syst`eme dual

Le syst`eme

Σdual

est appel´e syst`eme dual du syst`eme PC2- Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6Kquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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