[PDF] CO R R IG ÉS En entrant la formule =B1+





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Identités remarquables

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2. L'aire du grand carré de coté a+b



Méthode 1 : Développer avec les identités remarquables

(a b)2 = a2 2ab b2. ; (a b)(a b) = a2 b2. Exemple 1 : Développe et réduis l'expression (x 3)2. On utilise l'identité (a b)2 avec a = x et b = 3.



Développements – Factorisations

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2. ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2. ( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2. Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième. ( a + b ). 2.



CO R R IG ÉS

En entrant la formule =B1+225/100*B1 dans la cellule B2 puis en recopiant En s'inspirant de (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 un élève propose a3 + 3ab + b3.





Inégalités

Soit a b ? R. Alors a2 + b2 ? 2ab



Démonstrations Les identités remarquables Les compétences

(a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2. • (a ? b)(a + b) = a2 ? b2. Exemple-exercice : Développer et simplifier les expressions suivantes : 1. (5x ? 1)2. 2.



Chapitre 2 :Équations et inéquations Un chapitre un mathématicien

Voici une illustration géométrique de l'identité (a+b)2 = a2 +2ab+b2 : b a a b a2 ab ab b2. Comment démontrer les deux autres identités remarquables en 



1) Le développement des trois identités remarquables : (a +b) = a2 +

a2. ?2ab +b2. (a +b)(a ?b) = a2. ?b2. 2) Les développements complétés : • (3x +5)2 = (3x)2 +2×3x ×5+52. (3x +5)2 = 9x2 +30x +25.



les matrices sur Exo7

En particulier (A+ B)2 ne vaut en général pas A2 + 2AB + B2



Algebra Formula Sheet - Utah Tech

Perfect Square Trinomials: a2+2ab+b = (a+b)2 a22ab+b = (a b) Di erence of Squares: a2b2= (a+b)(a b) Di erence of Cubes: a3b = (a b)(a2+ab+b2) Sum of Cubes: a3+b = (a+b)(a2ab+b2) Zero Factor Property: ab= 0 )a= 0 or b= 0 Pythagorean Theorem: a2+b = c Direct Variation: y= kx Inverse Variation: y=k x



Triangle formulae - mathcentreacuk

a 2= b2 +c ?2bccosA b 2= c +a ?2cacosB c2 = a 2+b ? 2abcosC If we consider the formula c2 = a2 +b2 ? 2abcosC and refer to Figure 4 we note that we can use it to ?nd side c when we are given two sides (a and b) and the incl�ngle C A a b c C B Figure 4 Using the cosine formulae to ?nd c if we know sides a and b and the included



Searches related to a b2 = a2 2ab+b2 PDF

The Law of Cosines (a2 + b2 - 2abcos C = c2) is the Pythagorean Theorem (a 2 + 2b = c) with an extra term –2ab cos C Consider three different triangles: If ?C is acute as in Example 1 then cos C is positive and the extra term –2ab cos C is negative So c 2 < a2 + b If ?C is obtuse as in Example 3 then cos C is negative and the

  • Special Binomial Products

    So when we multiply binomials we get ... Binomial Products! And we will look at three special cases of multiplying binomials ... so they are Special Binomial Products.

  • Multiplying A Binomial by Itself

    What happens when we square a binomial (in other words, multiply it by itself) .. ? (a+b)2= (a+b)(a+b) = ... ? The result: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 This illustration shows why it works:

  • Subtract Times Subtract

    And what happens when we square a binomial with a minusinside? (a?b)2= (a?b)(a?b) = ... ? The result: (a?b)2 = a2 ? 2ab + b2 If you want to see why, then look at how the (a?b)2 square is equal to the big a2square minus the other rectangles: (a?b)2 = a2 ? 2b(a?b) ? b2 = a2 ? 2ab + 2b2 ? b2 = a2 ? 2ab + b2

  • Add Times Subtract

    And then there is one more special case ... what about (a+b) times (a?b) ? (a+b)(a?b) = ... ? The result: (a+b)(a?b) = a2 ? b2 That was interesting! It ended up very simple. And it is called the "difference of two squares" (the two squares are a2 and b2). This illustration shows why it works: Note: (a?b) could be first and (a+b) second: (a?b)(a+b) ...

  • The Three Cases

    Here are the three results we just got: Remember those patterns, they will save you time and help you solve many algebra puzzles.

What is (a + b) 2 = a2 + 2 ab + b2?

Each of the blue rectangles has a length of a and a width of b, so they each have an area of a times b . And there's two of them. Which means precisely that ( a + b) 2 = a2 + 2 ab + b2, just as we saw in the algebra. Finally, I'll show one more way to understand the original inequality.

What is the formula for a+B2?

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2. a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab. (a – b)2 = a2– 2ab + b2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

What are the factors of a2 – 2ab + b2?

The factors of a^2 – 2ab + b^2 are (a+b) and (a+b). ? Prev QuestionNext Question ? 0votes 1.6kviews askedAug 4, 2020in Algebraic Expressionsby Rani01(52.4kpoints) closedAug 4, 2020by Rani01 State whether the statements are true (T) or false (F) The factors of a2 – 2ab + b2 are (a+b) and (a+b). algebraic expressions factorisation class-8

How do you prove a2 b2 in math?

How do you prove a2 b2? (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab. (a – b)2 = a2– 2ab + b2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

13 - Temps de doublement d'un capital

On place 1000 euros au taux annuel de 2,25 %. A la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital pour constituer le capital de l'année suivante. Au bout de combien d'années ce capital aura-t-il au moins doublé ?

Avec un tableur

En entrant la formule =B1+2,25/100*B1 dans la cellule B2 puis en recopiant vers le bas on obtient1396,211365,481335,44

1306,051277,31

1249,201221,71

1194,831168,54

1142,831117,68

1093,081069,03

1045,511022,50

1000,00B

A 16 1514
1312
1110
98
76
54
32
1 15

14131211109876543210

17

2038,10

33

32313029282726

252423

2221
2019
18 32

313029282726252423222120191817

Le capital initial de 1000 euros aura au moins doublé au bout de 32 ans.

Avec un algorithme suivi d'un programme

C 1000

N 0

Tant que C < 2000

C C + 2,25

100
C

N N + 1

Fin de Tant que

Afficher N

Calculs numériques

89

89CORRIGÉS

9782340-037083_001_368.indd 899782340-037083_001_368.indd 8904/02/2020 10:2004/02/2020 10:20

Programmes

Casio

1000 C

0 N

While C < 2000

C + 2,25/100 C C

N + 1 N

WhileEnd

N Texas

1000 C

0 N

While C < 2000

C + 2,25/100 C C

N + 1 N

End

Disp NPython

c=1000 n=0 while c<2000: c=c+2.25/100*c n=n+1 print (n)

14 - Nombre de carrés visibles dans un quadrillage

On considère un quadrillage constitué de carrés de même dimension.

1. Montrer que dans le quadrillage ci-dessous, de taille 4, il y a 30 carrés visi-

bles.

On dénombre

1 1 carré de taille 4.

2 2 carrés de taille 3.

Corrigés

90
90
f Corrigés

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3 3 carrés de taille 2.

4 4 carrés de taille 1.

16151413121110987654321

Il y a 1 + 4 + 9 + 16 soit 30 carrés visibles dans ce quadrillage de taille 4.

2. Exprimer le nombre de carrés visibles dans un quadrillage de taille 180.

En généralisant, à bon droit, le dénombrement précédent obtenu par glisse- ments successifs, on obtient 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 178 2 + 179 2 + 180 2

3. Utiliser différents moyens de calculs pour calculer ce nombre.

Avec une calculatrice

Une calculatrice Texas donne le nombre cherché en entrant Une calculatrice Casio donne le nombre cherché en entrant (X 2 , X, 1, 180).

Calculs numériques

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91

CORRIGÉS

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Avec un tableur

A1 : 1.

A2 : =A1+1 à recopier vers le bas jusqu'à la cellule A180. B1 : =A1*A1 à recopier vers le bas jusqu'à la cellule B180.

B181 : =SOMME(B1:B180).

Avec un algorithme suivi d'un programme

S 0

Pour I allant de 1 à 180

S S + I I

Fin de Pour

Afficher S

Programmes

Casio 0 S

For 1 I To 180

S + I I S

Next

S Texas

0 S

For (I, 1, 180)

S + I I S

End

Disp SPython

s=0 for k in range(1,181,1): s=s+k*k print (s)

Corrigés

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f Corrigés

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15 - Le kangourou

Soit [AB] un segment de longueur 10 et M un point du segment [AB] tel que AM = x. Le but de l'exercice est d'étudier la longueur l du " trajet A-M-B » obtenu en parcourant le demi-cercle de diamètre [AM] puis le demi-cercle de diamètre [MB].

1. Faire une figure et calculer la valeur de l pour x = 0, x = 2, x = 3 et x = 6.

A 8 2MB

BA

10Mx = 0x = 2

l = 10 2 = 5 l = 2 2 8 2 = 5 l = 3 2 7 2 = 5 x = 3x = 6 A

4 6MBA 7 3MB

l = 6 2 4 2 = 5

2. Émettre une conjecture : pour tout x compris entre 0 et 10, l = 5.

3. Démontrer votre conjecture.

l = x 2 (10x) 2 x+10x 2 10 2 = 5.

Remarque

Si le kangourou fait plus de deux bonds, on peut démontrer que la longueur du trajet est encore égale à 5. 93
93

CORRIGÉS

Calcul littéral

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16 - Comparaison de deux expressions

Soit A =

n 3 +1 n+1 et B = n 2 - n + 1.

1. On souhaite comparer, pour tout n entier naturel, A et B.

a. Calculer A et B pour n = 0, n = 1, n = 2 et n = 3.

Par calcul mental on obtient

773332111110BAn

b. Que pouvez-vous conjecturer ? On peut conjecturer que pour tout n entier naturel, A = B. c. Prouver votre conjecture. (n + 1)( n 2 - n + 1) = n 3 - n 2 + n +n 2 - n + 1 = n 3 + 1. Or pour tout n entier naturel, n + 1 est non nul donc n 2 - n + 1 = n 3 +1 n+1 donc B = A.

Première variante

A - B =

n 3 +1(n 2 n+1)(n+1) n+1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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