Identités remarquables
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2. L'aire du grand carré de coté a+b
Méthode 1 : Développer avec les identités remarquables
(a b)2 = a2 2ab b2. ; (a b)(a b) = a2 b2. Exemple 1 : Développe et réduis l'expression (x 3)2. On utilise l'identité (a b)2 avec a = x et b = 3.
Inégalités
Soit a b ? R. Alors a2 + b2 ? 2ab
Démonstrations Les identités remarquables Les compétences
(a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2. • (a ? b)(a + b) = a2 ? b2. Exemple-exercice : Développer et simplifier les expressions suivantes : 1. (5x ? 1)2. 2.
Matrices
En particulier (A+ B)2 ne vaut en général pas A2 + 2AB + B2
5.6 Special Factoring Formulas
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 and a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. 2. To use: if the first and last terms of a trinomial are squares try writing a perfect square;.
Unit-7 Algebraic Expressions 11-02-2010.pmd
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b) (a – b) x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b). • In the division of a polynomial by a monomial we carry out the.
CO R R IG ÉS
En entrant la formule =B1+225/100*B1 dans la cellule B2 puis en recopiant En s'inspirant de (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 un élève propose a3 + 3ab + b3.
2. Calcul Matriciel
1. Montrer que la formule. (A + B)2 = A2 + 2AB + b2 est fausse. Sous quelle condition cette formule est vraie ? 2. On consid`ere les matrices B =.
Développements – Factorisations
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2. ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2. ( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2. Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième. ( a + b ). 2.
Introduction to Algebra
2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 1 In algebra we subs tute number with le ers or alphabets to arrive at a solu on 2 We use le ers like xmabetc to represent unknown quan es in the equa on 3 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 5 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 6 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 7 a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) 8 a3 - b3 = (a
What is (a + b) 2 = a2 + 2 ab + b2?
Each of the blue rectangles has a length of a and a width of b, so they each have an area of a times b . And there's two of them. Which means precisely that ( a + b) 2 = a2 + 2 ab + b2, just as we saw in the algebra. Finally, I'll show one more way to understand the original inequality.
How do you add A2 to 2ab?
= a² + b² + 2ab - 2ab by the Commutative Property of Addition. = a² + b² + 2ab + (- 2ab) by the Definition of Subtraction. = a² + b² + [2ab + (- 2ab)] by the Associative Property of Addition. = a² + b² + 2 [ab + (- ab)] by the Distributive Property. = a² + b² + 2 [0] by the Additive Inverse Property.
What is proved (a+b) 2 in Algebra?
Prove (a+b) 2 = a 2+b2+2ab in Algebra ? (a+b) 2 = (a+b) * (a+b) = (a*a + a*b) + (b *a + b*b) = (a 2+ ab) + (ba + b2) = a 2 + 2ab + b2 Hence proved (a+b) 2 = a 2+b2+2ab FreshersSite.com
Can you prove 2 A B = A B + B a?
You can't, otherwise you'd be proving that 2 A B = A B + B A for all square matrices, which isn't true. Sep 3, 2016 at 19:15 This is not true. Try to find a counterexample. This isn't true in general since A and B might not commute.
Licence L1-Math/Info - Alg`ebre II 2015-2016
2. Calcul MatricielExercice 1On consid`ere les matricesA=(
((-1 0 3 4-2 5 1 0 00 2 1)
)),B=( (0 1 2 0 -1 1) ,C=( (0 0 1-12 0 0 2
1-1 1-1)
D=?1-2?etE=?3
-1?Quels sont les produits de deux matrices parmi ces 5 matrices qui ont un sens? Calculer ces produits.
Exercice 2SoientSetTdeux matrices deM2(R) d´efinies par S=( (0 1 0 1 0 00 0 1)
etT=( (1 0 0 0 0 10 1 0)
CalculerS2,T2,ST,TS,STSetTST.
Exercice 3SoientAetBdeux matrices deM2(R).
1. Montrer que la formule
(A+B)2=A2+ 2AB+b2 est fausse. Sous quelle condition cette formule est vraie?2. On consid`ere les matricesB=(
(0 1 0 0 0 10 0 0)
etC=( (2 1 0 0 2 10 0 2)
.´Ecrire la matriceCen fonction deBet la matrice identit´eI3. CalculerC4.Exercice 4SoitAla matrice
A=( (2 1 1 1 2 11 1 2)
1. V´erifier queA2= 5A-4I3.
2. En d´eduire queAest inversible et calculerA-1.
Exercice 5Calculer le rang des matrices suivantes et leurs inverses si elles sont inversibles. A=( (2 1 0 1 0 10 1 2)
, B=( (1 1 3 -1 1 12-3-4)
, C=( (i i-4 3-i -i3-i i-21-i4-3)
, D=( ((-1 0 1 12 0 0 1
3-1 0 1
-2 0-1-1)Exercice 6R´esoudre les syst`emes suivants :
(S1)? ?x+ 2y-4z=-4,2x+ 5y-9z=-10,
3x-2y+ 3z= 11.(S2)?
?x+y-z= 8, x+ 2y-3z= 5,3x+ 2y-z= 2.(S3)?
?x+ 2y-3z+ 2t= 2,2x+ 5y-8z+ 6t= 5,
3x+ 4y-5z+ 2t= 4.Licence L1-Math/Info - Alg`ebre II 2015-2016
Exercice 7Soitmun nombre r´eel.
1. Calculer le rang de la matrice(
(m m-1 m1-m 1m-m) en fonction de la valeur dem.2. Selon les valeurs du param`etrem, r´esoudre le syst`eme suivant :
(Sm)? ?mx+my-z= 0, mx+y-mz= 0, x+my-mz= 0. Exercice 8Suivant la valeur des nombres r´eelsa,b,cetd, r´esoudre le syst`eme suivant : (S)? ???x-y-z=a,2x+y-z=b,
x+y-3z=c,2x-y-z=d.
Exercice 9On se propose de d´eterminer trois suites de nombres r´eels (an)n?N,(bn)n?Net (cn)n?N
d´efinies par les premiers trois termesa0,b0,c0et les relations de r´ecurrences suivantes pour tout
n?N:??? ?a n+1=an-2bn+ 2cn b n+1=-an+bn+cn c n+1=-an-2bn+ 4cn.1. PosonsA=(
(1-2 2 -1 1 1 -1-2 4) et pour toutn?N,Xn=( (a n b n c n)Montrer que pour toutn?N,Xn=AnX0.
2. SoitP=(
(1 0 1 1 1 01 1 1)
. En utilisant des op´erations ´el´ementaires, v´erifier quePest inversible et calculer son inverseP-1.3. SoitD=(
(1 0 0 0 2 00 0 3)
.Montrer queA=PDP-1.4. En d´eduire que pour toutn?N,An=PDnP-1.
5. CalculerAnpour toutn?N.
6. En d´eduire les expressions respectives des termesan,bn,cnen fonction dea0,b0,c0etnpour
tout entier natureln.Licence L1-Math/Info - Alg`ebre II 2015-2016
Exercices `a pr´eparer pour les contrˆoles.
Exercice 1SoientA=(
(2 1 0 -3-1 11 0-1)
etB=( (5 1 0 -3 2 11 0 2)
1. V´erifier queA2?= 0 etA3= 0.
2. ExprimerBen fonction deAet de la matrice unit´eI3.
3. CalculerB5.
4. La matriceBest-elle inversible? Si oui, calculer son inverse.
Exercice 21. Calculer le rang de la matrice(
(1 1 1 12 1 3 2
3 4 2 3)
2. R´esoudre le syst`eme suivant :
?x+y+z+w= 4,2x+y+ 3z+ 2w= 8,
3x+ 4y+ 2z+ 3w= 12.
Exercice 3Soitmun nombre r´eel.
1. Calculer le rang de la matrice(
(1 1m-11 +m-1 2
2-m3) en fonction de la valeur dem.2. Selon les valeurs du param`etrem, r´esoudre le syst`eme suivant :
?x+y+ (m-1)z=m+ 2, (1 +m)x-y+ 2z= 0,2x-my+ 3z=m+ 2.
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