1 Intégrales généralisées
ln(t)dt = ?1. Correction : On a. ? 1 x ln(t)dt = ?1 ? x ln(x) + x ? x?0. ?1. Exercice 7. Montrer que l'intégrale de f : t ??. (. 1. 1 ? exp(?t).
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 et c'est cette limite que l'on nomme intégrale de f sur I. Pour des fonctions plus ... En effet t ? ln t est continue sur ]0 1]
Intégrales impropres
+?. 2. 1 t (ln t)2 dt converge alors notre intégrale initiale est aussi convergente. Mini-exercices.1. Étudier la convergence des intégrales suivantes : ?
Intégrales convergentes
9 mai 2012 ln(1 + x)=+? . L'intégrale. ? 1. 0 ln(t)dt converge. 3 ...
Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres
L'intégrale. ? +?. 0. 1dt est donc divergente. 6. Convergence de. ? +?. 2. 1. 3t dt. La fonction t ??. 1. 3t. = 1 et ln(3). = e. ?t ln(3).
Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)
La fonction t ? exp(t) est continue sur R et une primitive de f(t) = exp(?t) est ln(1+t) t? t(1?t) dt. Nous allons montrer que cette intégrale est ...
Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires
f(t)dt). Dans le cas contraire on dit que l'intégrale e?x = 0
TD 5 Transformation de Laplace
14 oct. 2016 L'équation intégrale (2) est une équation de convolution qui s'écrit f + exp(-t) ? f = cos. Appliquons la transformée de Laplace : L(f) + ...
1 Égalité presque partout
xsin(x)e?x est continue sur [0+?[ et x3 sin(x)e?x tend vers zéro en +?
Intégration
6 ***T. Soit E l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur [ab]. ... lnt . Correction ?. [005464]. Exercice 22 ****. Soit f(t) = t2.
Table of Integrals
Integrals with Trigonometric Functions Z sinaxdx= 1 a cosax (63) Z sin2 axdx= x 2 sin2ax 4a (64) Z sinn axdx= 1 a cosax 2F 1 1 2; 1 n 2; 3 2;cos2 ax (65) Z sin3 axdx= 3cosax 4a + cos3ax 12a (66) Z cosaxdx=
Table of Basic Integrals Basic Forms
(20) Z x p x (adx= 8
Intégrales impropres
1. Définitions et premières propriétésLa plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons
apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini
(allant jusqu"à+1ou1), soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour
assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une
bonne compréhension de la notion de limite.1.1. Points incertains
Considérons par exemple la fonctionfqui àt2]1,0[[]0,+1[associef(t) =sinjtjjtj32. Comment donner un sens à
l"intégrale defsurR?tsinjtjjtj3=2•On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit+1, soit1d"une part, et d"autre part le ou les
points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t=0 dans notre exemple).On découpe ensuite chaque intervalle d"intégration en autant d"intervalles qu"il faut pour que chacun d"eux ne
contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes.Nous souhaitons une définition qui respecte la relation de Chasles. Ainsi l"intégrale sur l"intervalle complet est la
somme des intégrales sur les intervalles du découpage.Dans l"exemple de la fonctionf(t) =sinjtjjtj32ci-dessus, il faut découper les deux intervalles de définition]1,0[et
]0,+1[en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler1et+1, et 2 autres pour le point incertain 0. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS2On pourra écrire pour cet exemple :Z
+1 1 f(t)dt=Z 1 1 f(t)dt+Z 01f(t)dt+Z
1 0 f(t)dt+Z +1 1 f(t)dt.•Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de1et1comme points de découpage sont arbitraires (par
exemple3 et 10 auraient convenu tout aussi bien).1.2. Convergence/divergence
Par ce découpage, et par changement de variablet7! t, on se ramène à des intégrales de deux types.
1.Intégrale sur [a,+1[.
2. Intégrale sur ]a,b], avec la fonction non bornée ena.Nous devons donc définir une intégrale, appeléeintégrale impropre, dans ces deux cas.Définition 1.1.
Soitfune fonction continue sur[a,+1[. On dit que l"intégraleR+1 af(t)dtconvergesi la limite, lorsquextend vers+1, de la primitiveRx af(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt. (1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge. 2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégraleRb af(t)dtconvergesi la limite à droite, lorsque xtend versa, deRb xf(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z b a f(t)dt=limx!a+Z b x f(t)dt. (2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.Remarque.•Convergence équivaut donc à limite finie. Divergence signifie soit qu"il n"y a pas de limite, soit que la
limite est infinie.Observons que la deuxième définition est cohérente avec l"intégrale d"une fonction qui serait continue sur[a,b]
tout entier (au lieu de]a,b]). On sait que la primitiveRb xf(t)dtest une fonction continue. Par conséquent, l"intégrale usuelleRb af(t)dtest aussi la limite deRb xf(t)dt(lorsquex!a+). Dans ce cas, les deux intégrales coïncident.1.3. Exemples
Quand on peut calculer une primitiveF(x)de la fonction à intégrer (par exempleF(x) =Rx af(t)dt), l"étude de la convergence se ramène à un calcul de limite deF(x). Voici plusieurs exemples.Exemple 1.
L"intégraleZ+1
011+t2dtconverge.
En effet,
Zx011+t2dt="
arctant x0=arctanxet limx!+1arctanx=2
On pourra écrire :
Z+1011+t2dt="
arctant +1 0=2à condition de se souvenir que
arctant +10désigne une limite en+1.
INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS311+t2Cela prouve que le domaine sous la courbe n"est pas borné, mais cependant son aire est finie!
Exemple 2.
Par contre, l"intégraleZ+1
011+tdtdiverge.
En effet,
Zx011+tdt="
ln(1+t) x0=ln(1+x)et limx!+1ln(1+x) = +1.
Exemple 3.
L"intégraleZ1
0 lntdtconverge.En effet,
Z1 x lntdt=" tlntt 1 x=xxlnx1 et limx!0+(xxlnx1) =1 .On pourra écrire :
Z1 0 lntdt=" tlntt 1 0=1 .Exemple 4.
Par contre, l"intégraleZ1
01t dtdiverge.En effet,
Z1 x1t dt=" lnt 1 x=lnxet limx!0+lnx= +1.1.4. Relation de ChaslesLorsqu"elle converge, cette nouvelle intégrale vérifie les mêmes propriétés que l"intégrale de Riemann usuelle, à
commencer par la relation de Chasles :Proposition 1(Relation de Chasles). Soitf:[a,+1[!Rune fonction continue et soita02[a,+1[. Alors les intégrales impropresR+1 af(t)dtetR+1 a0f(t)dt sont de même nature. Si elles convergent, alorsZ
+1 a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z +1 a0f(t)dt.
" Être de même nature » signifie que les deux intégrales sont convergentes en même temps ou bien divergentes en
même temps.Le relation de Chasles implique donc que la convergence ne dépend pas du comportement de la fonction sur des
intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+1. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS4Démonstration.La preuve découle de la relation de Chasles pour les intégrales usuelles, aveca6a06x:
Z x a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z x a0f(t)dt.
Puis on passe à la limite (lorsquex!+1).Bien sûr, si on est dans le cas d"une fonction continuef:]a,b]!Ravecb02]a,b], alors on a un résultat similaire,
et en cas de convergence :Zb a f(t)dt=Z b0 a f(t)dt+Z b b0f(t)dt.
Dans ce cas la convergence de l"intégrale ne dépend pas deb, mais seulement du comportement defau voisinage de
a.1.5. Linéarité
Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales usuelles et des limites.Proposition 2(Linéarité de l"intégrale).
Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+1[, et,deux réels. Si les intégralesR+1 af(t)dtetR+1 ag(t)dt convergent, alorsR+1 af(t)+g(t)dt converge et Z +1 a f(t)+g(t)dt=Z +1 a f(t)dt+Z +1 ag(t)dt.Les mêmes relations sont valables pour les fonctions d"un intervalle]a,b], non bornées ena.
Remarque : la réciprocité dans la linéarité est fausse, il est possible de trouver deux fonctionsf,gtelles queR+1
af+g converge, sans queR+1 af, niR+1 agconvergent. Trouvez un tel exemple!1.6. PositivitéProposition 3(Positivité de l"intégrale).
Soient f,g:[a,+1[!Rdes fonctions continues, ayant une intégrale convergente.Si f6g alorsZ +1 a f(t)dt6Z +1 a g(t)dt.En particulier, l"intégrale (convergente) d"une fonction positive est positive :Sif>0 alorsZ
+1 a f(t)dt>0Une nouvelle fois, les mêmes relations sont valables pour les fonctions définies sur un intervalle]a,b], non bornées
ena, en prenant bien soin d"avoira[PDF] intégrale exp(-t)/t
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