Fonctions numériques - Courbes
On appelle représentation graphique d'une fonction numérique f l'ensemble des points de coordonnées. (x ; y) pour lesquels y est l'image de x par f
VARIATION DUNE FONCTION NUMÉRIQUE
Tracer sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé. 2°) Exemple 2 : Soit la fonction affines par morceaux définie par :.
Précis de mathématiques pour la gestion et léconomie
L'étude des fonctions numériques figure dans tous les programmes de gestion La représentation graphique d'une fonction numérique f (ou courbe.
Octobre
-Exemples d'étude et de représentation graphique de fonctions numériques. 3°) Calcul intégral (10h). -Primitives d'une fonction numérique (rappels et.
VARIATIONS DUNE FONCTION
On considère la représentation graphique la fonction : Page 4. 4 sur 11. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle
Étude didactique des représentations graphiques cartésiennes dans
Étude didactique des représentations graphiques cartésiennes dans Dans le cadre des representations graphiques des fonctions numeriques nous avons.
Étude didactique des représentations graphiques cartésiennes dans
Étude didactique des représentations graphiques cartésiennes dans Dans le cadre des representations graphiques des fonctions numeriques nous avons.
Les fonctions jouent un rôle fondamental bien au-delà des
calculer avec des inégalités. ? Les fonctions numériques. ? images et antécédents. ? représentations graphiques. ? tableaux de variations.
Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
Définition 1 On appelle fonction numérique une relation qui à un réel x
GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1. DEFINITION Soit A et B
Soit f une fonction numérique d'une variable réelle d'ensemble de définition Df . Dans le plan muni d'un repère
Généralités sur les fonctions numériques
Une fonction impaire a sa représentation graphique symétrique par rapport au centre du repère 1 2 Fonctions de référence 1 2 1 Fonctions affines Définition-Propriété : Soit a et b deux réels La fonction x ax+b définie sur ? est appelé une fonction affine La représentation graphique d'une telle fonction est une droite d d
Introduction des FONCTIONS NUMERIQUES
approche particulière dans l’introduction du concept de fonction numérique en faisant apparaître simultanément pour une fonction donnée ses différentes présentations possibles : algébrique numérique graphique et géométrique Accès au sommaire IREM de Montpellier Page 2
Représentation graphique d’une fonction numérique
Calculer la dérivée de la fonction et étudier le signe de cette dérivée (une étude de fonction auxiliaire est parfois nécessaire) En déduire le sens de variation de la fonction Résumer tous les résultats précédents dans un tableau après en avoir vérifié la cohérence
Qu'est-ce que la représentation graphique de la fonction f?
La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble de tous les points M. de coordonnées ( x ; f(x) ) obtenus en prenant toutes les valeurs possibles de x.
Qu'est-ce que la représentation graphique d'une fonction affine ?
La représentation graphique d'une fonction affine x ? ax+b est l'ensemble des points de coordonnées (x;ax+b) où x décrit l'ensemble de tous les nombres. Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine x ? ax+b est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;b).
Quels sont les différents types de fonctions numériques dans un cours de maths en 1ère ?
Fonctions et : Les généralités sur les fonctions numériques dans un cours de maths en 1ère qui fait intervenir les tableaux de variation d’une fonction ainsi que sa représentation graphique. Dans cette leçon en première, nous étudierons le fonctions racine carrée et la valeur absolue ainsi que le sens de variation des fonctions u+k.
Quelle est la représentation graphique d’une fonction linéaire?
EXERCICE N°3 : On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées C 1 , C 2 et C 3 L’une d’entre elles est la représentation graphique d’une fonction linéaire.
LES FONCTIONS ET LEURS APPLICATIONS1??
Les fonctions jouent un rôle fondamental bien au-delà des mathématiques. Grâce à leur graphe,
on visualise aisément les données d'une expérience en physique, les variations d'une quantité
en économie ; elles permeĴ ent aussi de transformer les données et d'eě ectuer des comparaisons.
Des outils très puissants que vous verrez plus tard permeĴ ent de donner l'équation de tangentes
ou de calculer la surface située sous une courbe. ■Un mathématicien À la fi n du Moyen Âge, alors que la guerre de Cent Ans faisait rage et que la peste noire décimait la population, on se préoccupait peu de développer les sciences. C'est pourtant à ceĴ e époque qu'un théologien, Nicole Oresme (1325-1382), fi t avancer les mathématiques. Deux siècles avantDescartes, il
repère les points d'un plan par des coordonnées qu'il appelle longitudino et latitudino. Il défi nit des exposant fractionnaires et montre que la somme des inverses des n premiers entiers tend vers l'infi ni avec n.LE SAVIEZ-VOUS ?Pour désigner l'infi ni, on utilise un symbole
correspondant à un huit couché. Le premier à l'introduire fut le savant anglais JohnWallis en 1655
dans un ouvrage traitant des coniques, c'est-à-dire des paraboles, des ellipses et des hyperboles. Par lasuite, le prolifi que mathématicien suisse Leonhard Euler en fi t un grand usage ce qui le popularisa.
Remarquons qu'il est analogue à la lemniscate deBernoulli, courbe dont le nom vient d'un mot grec
signifi ant ruban.COMP´ETENCES
?les incontournables ?Les intervalles ?d´eterminer des r´eunions et des intersections ?calculer avec des in´egalit´es ?Les fonctions num´eriques ?images et ant´ec´edents ?repr´esentations graphiques ?tableaux de variations ?les extrema ?et plus si affinit´es ?D´eterminer alg´ebriquement le sens de variation d"une fonction num´erique ?D´eterminer alg´ebriquement le maximum d"une fonction num´erique ??2CHAPITRE 1R´esum´e de cours
?Les nombres r´eelsL"axe gradu´e
D´efinition :On appelleaxe gradu´etoute droite munie de deux points distinctsOetI. Le couple (O;I)constitue unrep`ere de cette droite,Oest l"origine du rep`ere, la distanceOIest ´egale `auneunit´e de longueur,c"estlagraduationunit´e sur l"axe(OI).D´efinition :
´Etant donn´e un axe gradu´eet(O;I)un rep`ere sur cet axe, siMest un point de cet axe, on appelleensemble des nombres r´eels positifs,not´eR , l"ensemble de tous les nombres (positifs) permettant de mesurer la distanceOM. On appelleensemble des nombres r´eels n´egatifs,not´eR , l"ensemble de tous les nombres r´eelsxtels que-x?R .L"ensemble des nombres r´eelsouensemble des r´eels,not´eR, est l"ensemble des r´eelsxappartenant `aR ouR SoitM?(OI):siM?[OI), notonsxle nombre r´eel positif tel queOM=x;siM??[OI), notonsyle nombre r´eel positif tel queOM=yet posonsx=-yalorsxest n´egatif. Dans tous les cas, le nombre r´eelxrep`erelepointMsur l"axe gradu´e(OI)muni du rep`ere(O;I), xest l"abscissedu pointMet on noteraM(x).Remarques :
`Atoutr´eel correspond un unique point sur l"axe gradu´e. Parmi les r´eels, on distingue lesnombres rationnels-lesnombress"´ecrivant comme quo- tients de deux nombres entiers relatifs - desnombres irrationnels, donc non rationnels.Par exemple-2
3(rationnel) et⎷
2 (irrationnel) sont des r´eels.
Les intervalles
D´efinition :Soitaetbdeux nombres r´eels, tels queanon de la borne `a l"ensemble consid´er´e. Par exemple l"ensemble des r´eelsxv´erifiantx<5est
l"intervalle ouvert]-∞;5[, ou encore, l"ensemble des r´eelsxv´erifiant-2? x<5est l"intervalle semi-ouvert `adroite(ousemi-ferm´e`a gauche)[-2;5[.D´efinition :SoitIetJdeux intervalles :
LES FONCTIONS ET LEURS APPLICATIONS3??
On appelleunion (ou r´eunion) des intervallesIetJ, l"ensemble des r´eels, not´eI?J, qui appartiennent `aIou `aJ.I?Jse litI ?union?J. On appelleintersection des intervallesIetJ, l"ensemble des r´eels, not´eI∩J,qui appartiennent `aIet `aJ.I∩Jse litI ?inter?J.Notation :]-∞;+∞[=R,]-∞;0]=R
,[0 ; +∞[=R ,]-∞;0[?]0 ; +∞[=R ]-∞;0[=R et]0 ;+∞[=R ?Les fonctions num´eriques D´efinition :Unefonction num´eriqueoufonctionfest un proc´ed´equi`atoutr´eelxd"un ensembleDdeRassocie un unique nombre r´eel not´ef(x)et appel´eimagedexparf.D,not´e aussiD f ,estl"ensemble de d´efinitiondef.Remarque :L"adjectif
?num´erique?se rapporte `a l"ensemble dans lequel on trouve les images : un ensemble de nombres commeR. Notation :On peut synth´etiser cette d´efinition par le sch´ema ci-contre :f:D→R x?→f(x).Leplus souvent, la fonctionfest donn´ee par la forme r´eduite de ce sch´emaf:x?-→f(x)sans faire
r´ef´erence `a son ensemble de d´efinitionD. Cet ensemble existe toujours, et avec cette notation,D
est le plus grand sous-ensemble deRsur lequelf(x)existe. Par exemple, la fonctionx?-→x 2 est d´efinie sur (autrement dit a pour ensemble de d´efinition)R,etx?-→1 xest d´efinie surR D´efinition :Soitfune fonction d´efinie sur un ensembleDet soityun nombre r´eel quelconque. On appelleant´ec´edentdeyparftous r´eelsxappartenant `aD, s"il y en a, tels quef(x)=y. ?Repr´esentation graphique d"une fonction num´eriqueRappels sur le rep´erage dans le plan
D´efinition :SoitO,IetJtrois points du plan non align´es. Les droites gradu´ees(OI)et(OJ), d"unit´es respectivesOIetOJet d"origine communeO, constituent unrep`ere cart´esien du plan not´e(O;I, J).(O;I)est l"axe des abscisseset(O;J)est l"axe des ordonn´ees. Par ailleurs : si les droites(OI)et(OJ)sont perpendiculaires, lerep`ereest ditorthogonal; si de plusOI=OJ,lerep`ereest ditorthonormalouorthonorm´e. D´efinition :SoitMun point du plan, ce dernier ´etant muni d"un rep`ere(O;I, J).Si
Mn"appartient pas `a un des axes de coordonn´ees, on consid`ere les pointsHetKap-partenant respectivement `a l"axe des abscisses et `a l"axe des ordonn´ees, telles que les droites
(MH)et(OJ)soient parall`eles, ainsi que les droites(MK)et(OI). Notonsxetyles abs- cisses respectives des pointsHetKsur les axes auxquels ils appartiennent.xetysont les coordonn´eesdu pointMdans le rep`ere(O;I,J),xest sonabscisseetysonordonn´ee, et on peut ´ecrireM(x;y).SiMappartient `a l"axe des abscisses, il est rep´er´eparler´eelxsur cet axe, alors on peut
´ecrireM(x;0),xest son abscisse et0son ordonn´ee. SiMappartient `a l"axe des ordonn´ees, il est rep´ er´eparler´eelysur cet axe, alors on peut ´ecrireM(0 ;y),0est son abscisse etyson ordonn´ee. Dans tous les cas, il existe un unique couple de r´eels(x;y)pour rep´erer le pointM, comme indiqu´e ci-dessus, et on ´ecritM(x;y). ??4CHAPITRE 1 Remarque :Dans la suite on se placera dans un rep`ere orthogonal, voire orthonormal (dessin de droite).Graphe d"une fonction
D´efinition :Soitfune fonction d´efinie sur un sous-ensembleDdeR.Leplan´etant muni d"un rep`ere, on appellerepr´esentation graphiqueougraphedefl"ensembleCdes pointsM?x;f(x)? du plan o`ux?D. On dit alors que lacourbeCapour´equationy=f(x).Remarque :SoitM(x;y) un point du plan.
M(x;y)?C?ßx?D
y=f(x) Dans l"exemple ci-dessus, l"ensemble de d´efinition estD=[-3;4]. ?Sens de variation et extrema d"une fonctionG´en´eralit´es
D´efinition :Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleI. On dit quefestcroissante(resp.strictement croissante)surIsi quels que soient les r´eelsxetx dansI: six?x alorsf(x)?f(x )(resp. sixLES FONCTIONS ET LEURS APPLICATIONS5??
On dit quefestmonotone(resp.strictement monotone)surIsifest croissante (resp. strictement croissante) ou bien d´ecroissante (resp. strictement d´ecroissante) surI. xx? f(x)f(x I xx? f(x f(x) I fest strictement croissante sur l"intervalleI.fest strictement d´ecroissante sur l"intervalleI. D´efinition :Soitfune fonction d´efinie sur un ensembleD.Un r´eelMest lemaximumdefsi
pour tous r´eelsx?D,f(x)?Met s"il existe un r´eela?Dtel quef(a)=M.Un r´eelmest leminimumdefsi
pour tous r´eelsx?D,f(x)?met s"il existe un r´eela?Dtel quef(a)=m.Unextremumdefest un minimum ou un maximum.
Remarque :Maximum ou minimum, s"il existe, est unique.Tableau de variations d"une fonction
Le tableau de variations est un r´esum´e des variations d"une fonction et permet de rep´erer ses
extrema. Consid´erons la fonctionfsuivante donn´ee par son grapheC. C D abcf(c)=M d f(d)=mSon tableau de variations est le suivant.
x acdb f(x)f(a)f(c) f(d)Pour les tableaux de variations, indiquer :
Sur la premi`ere ligne, les bornes de l"ensemble de d´efinitionD=[a;b[, ainsi que les r´eels
o`ufchange de sens de variation.fn"´etant pas d´efinie enb, on dit que c"est unevaleur interdite, cela se traduit par une double barre sur la deuxi`eme ligne. Sur la deuxi`eme ligne, le sens des fl`eches indique le sens de variation def. ??6CHAPITRE 1M´ethodes
?Unpeudelogique M´ethode 1.1.- Comment mat´erialiser les enchaınements dans les raisonne- ments On reconnaıt en math´ematiques deux grands types d"enchaınements logiques des pro-positions : l"implicationet l"´equivalence. Ces deux enchaınements se d´efinissent et se
r´edigent comme suit.SoitPetQdeux propositions.
?La phrase :?siPest vraie,alorsQest vraie?est une implication, et on dit quePimpliqueQqui s"´ecritP=?Q.
?La phrase :?Pest vraiesi, et seulement si,Qest vraie?est une ´equivalence, et on dit quePetQsont ´equivalentes, qui s"´ecritP?Q.Pluspr´ecis´ement l"´equivalence induit une double implication, en l"occurrence, on aP=?Qet Q=?P, on dit que ces deux implications sontr´eciproquesl"une de l"autre.Exemple :R´esoudre l"´equation 7x-5=2x+1.xety´etant deux nombres r´eels, montrer l"impli-
cationx7x-5=2x+1?7x-2x=1+5
?5x=6 ?x=6 57x-5=2x+1?S=ß6
5La pr´esence des ´equivalences permet d"assurer, sans v´erification utile, que le tout dernier
r´esultat est l"unique solution de l"´equation, ce qui raccourcit le raisonnement.`Achaque´equivalence, on a l"assurance de
?remonter?le raisonnement, puisque chaque ´equivalence traduit deux implications de ?sens contraires?.D´emonstration de l"implication.
Six d"apr`es le rappel fait `alam´ethode 2.6,ona(-y) 2 <(-x) 2 ,soity 2 Remarques :
Une implication ne peut pas toujours etre remplac´ee par une ´equivalence. L"´equivalence, quand celle-ci est r´ealisable, a l"avantage de r´eduire la longueur des raisonne-
ments en mettant en ´evidence le sens direct et sa r´eciproque en une seule phrase.Mise en uvre : exercice 1.3`aexercice 1.16
LES FONCTIONS ET LEURS APPLICATIONS7??
?In´egalit´es et intervalles M´ethode 1.2.- Comment construire un intervalle Un intervalle est l"´ecriture symbolique d"une in´egalit´e commex2Soitaun des r´eels intervenant dans l"in´egalit´e ou l"encadrement. Six le crochet?tournant le dos?`a l"ensemble desxon dit que le crochet est ouvert, puisque aest exclu des valeurs dex.Six?a, on dessinera le crochet?faisant face?`a l"ensemble desxon dit que le crochet est ferm´e, puisquea est une des valeurs dex. 3Reste `a traduire le dessin en intervalle. On notera deux choses.
?Si l"une des bornes est un infini, le crochet sera n´ecessairement ouvert, les deux seules pr´esentations ´etant ?]-∞?et?+∞[?. ?Dans un intervalle, l"ordre des diff´erents param`etres est important puisqu"ils doivent etre ´ecrits de gauche `a droite, du plus petit au plus grand, ainsi l"´ecriture ?[3;-∞[?n"a pas de sens. ?Les crochets sont ceux repr´esent´es sur le dessin. Remarques :
On consid`erera que-∞est plus petit que tous les nombres r´eels et +∞plus grand que tous
les nombres r´eels. Dans l"´ecriture d"un intervalle, l"ordre des bornes est important, ainsi la borne de gauche est
strictement inf´erieure `a celle de droite. Par exemple l"´ecriture ?[3 ;-1[?n"a pas de sens. Exemple :D´ecrire par un intervalle chacun des ensembles de r´eelsx:x>3et-2?x<3. D´eterminons l"ensemble des r´eelsxv´erifiantx>3. 1Commen¸cons par repr´esenter graphiquement cet ensemble.
2L"in´egalit´e´etant stricte, le crochet au niveau de 3 est ouvert.
??8CHAPITRE 1quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
3Reste `a traduire le dessin en intervalle. On notera deux choses.
?Si l"une des bornes est un infini, le crochet sera n´ecessairement ouvert, les deux seules pr´esentations ´etant ?]-∞?et?+∞[?. ?Dans un intervalle, l"ordre des diff´erents param`etres est important puisqu"ils doivent etre ´ecrits de gauche `a droite, du plus petit au plus grand, ainsi l"´ecriture ?[3;-∞[?n"a pas de sens. ?Les crochets sont ceux repr´esent´es sur le dessin.Remarques :
On consid`erera que-∞est plus petit que tous les nombres r´eels et +∞plus grand que tous
les nombres r´eels.Dans l"´ecriture d"un intervalle, l"ordre des bornes est important, ainsi la borne de gauche est
strictement inf´erieure `a celle de droite. Par exemple l"´ecriture ?[3 ;-1[?n"a pas de sens. Exemple :D´ecrire par un intervalle chacun des ensembles de r´eelsx:x>3et-2?x<3. D´eterminons l"ensemble des r´eelsxv´erifiantx>3.1Commen¸cons par repr´esenter graphiquement cet ensemble.
2L"in´egalit´e´etant stricte, le crochet au niveau de 3 est ouvert.
??8CHAPITRE 1quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] lois sociales du front populaire
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