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Exercices de Probabilités

Christophe Fiszka, Claire Le GoffSection ST

Table des matières

1 Introduction aux probabilités 2

2 V.a.r, espérance, fonction de répartition 3

3 Lois usuelles 5

3.1 Loi de Bernoulli, loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.5 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.7 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.8 Autres lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4 Fonctions caractéristiques 7

5 Convergences de v.a.r 8

6 Couples de variables aléatoires 9

7 Introduction aux statistiques 10

8 Compléments 11

8.1 La méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

8.2 L"entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

8.3 Datation au Carbone 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

9 Sujets d"examens 12

9.1 Partiel ELI 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

9.2 Partiel ELI 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

9.3 Partiel ST 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

9.4 Examen ELI 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

9.5 Examen ELI 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

9.6 Examen ST 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

10 Solutions des sujets 18

1

1 INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS2

1 Introduction aux probabilités

Exercice 1.Le chevalier de Méré est un noble et écrivain français très ama- teur de jeu d"argent. Contemporain de Blaise Pascal, il s"opposa à ce dernier sur un problème de jeu de dés : Sur un lancer de 4 dés, il gagne si au moins un " 6 » apparaît. 1. Méré remarque exp érimentalementque le jeu lui est fa vorableet e n profite pour s"enrichir. Prouvez que le jeu est effectivement favorable, i.e on gagne en moyenne si on parie sur le " 6 ». Malheureusement pour notre chevalier, celui-ci trouva de moins en moins de candidats. Il proposa la variante suivante : On lance24fois une paire de dés et il gagne si un " double6» apparaît. basée sur le raisonnement suivant : la probabilité d"obtenir un " double

6 » est de1=36soit6fois moins de chance que d"obtenir un simple "6».

Donc en jouant six fois plus longtemps, c"est à dire en lançant donc

64 = 24paires de dés, on doit obtenir un jeu tout aussi favorable que le

premier. Pascal et Fermat, dans leur correspondance sur les probabilités, montrèrent que le raisonnement du Chevalier était faux. 2. P ouvez-vousmon trerque le second jeu est défa vorable? Extrait de la lettre du 29 juillet 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le problème du chevalier de Méré :

Je n"ai pas eu le temps de vous

envoyer la démonstration d"une dif- ficulté qui étonnait fort M. de Méré, car il a très bon esprit, mais il n"est pas géomètre (c"est, comme vous sa- vez, un grand défaut) et même il ne comprend pas qu"une ligne mathéma- tique soit divisible à l"infini et croit fort bien entendre qu"elle est compo- sée de points en nombre fini, et je n"ai jamais pu l"en tirer. Si vous pouviez le faire, on le rendrait parfait. Il me disait donc qu"il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison :Pierre de Fermat (1601-1665)Blaise Pascal (1623-1662)

Si on entreprend de faire un six

avec un dé, il y a avantage de l"en- treprendre en 4, comme de 671 à625. Si on entreprend de faire Son- nez avec deux dés, il y a désavan- tage de l"entreprendre en 24. Et néan- moins 24 est à 36 (qui est le nombre des faces de deux dés) comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d"un dé).

Voilà quel était son grand scandale

qui lui faisait dire hautement que les propositions n"étaient pas constantes et que l"arithmétique se démentait : mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes. Exercice 2.On considère une pièce que l"on lance4fois de suite et on note, dans l"ordre, les résultats obtenus. 1.

Quel univ ersdes p ossibles

peut-on choisir? Quel ensemble des événe- mentsEpeut-on choisir? Quelle loi de probabilitéPpeut-on choisir? 2. On considère l"év énementA=fil y a plus de piles que de facesget l"événementB=fle premier lancer est pileg.

Calculer la probabilité deAet celle deB.

3.AetBsont-ils indépendants?

Exercice 3.On considère un jeu de loterie qui consiste à effectuer un tirage sans remise de5boules parmi50boules numérotées de1à50puis un tirage sans remise de 2 étoiles parmi11étoiles numérotées de1à11. Chaque per- sonne mise2euros et choisit5numéros de boules et2numéros d"étoile. Après chaque tirage (où l"ordre dans lequel sont tirées les boules et les étoiles n"est pas pris en compte), une personne gagne une certaine somme en fonction du nombre de boules et d"étoiles tirées qu"elle avait préalablement choisi. 1.

Quel univ ersdes p ossibles

peut-on choisir? Quel ensemble des événe- mentsEpeut-on choisir? Quelle loi de probabilitéPpeut-on raisonna- blement choisir? 2. Quelle est la probabilité d etirer le gros lot (ie. d"obtenir les 5bonnes boules et les2bonnes étoiles)? 3. On supp oseque l"on gagne à partir du momen toù l"on a au moin s2 b ons numéros de boules, ou alors un bon numéro de boules et deux bonnes étoiles. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose? Exprimer ceci sous la forme " on a environ une chance sur:::de gagner ».

2 V.A.R, ESPÉRANCE, FONCTION DE RÉPARTITION3

4. Est-il plus probable d"a voirdeux b ouleset pas d"étoiles ou alors d" avoir une boule et deux étoiles? Même question si l"on compare deux boules et une étoile avec une boule et deux étoiles. Est-ce intuitivement cohérent? Exercice 4.Un Q.C.M comporte10questions. À chaque question, on a 4 choix possibles pour une seule réponse juste. 1. Com bieny- a-t-ilde grille-rép onsesp ossibles? 2. Quelle est la probabilité de rép ondreau hasard 6fois correctement. En conclusion, allez vous répondre au hasard à votre prochain Q.C.M? Exercice 5.Alice, Bob, et Jo, au cours d"un safari, tirent en même temps sur un éléphant. L"animal est touché par deux balles avant de s"écrouler. La précision des chasseurs est mesurée par la probabilité qu"il touche la cible (resp.1=3,1=2et1=4). Calculer pour Alice, Bob et Jo, la probabilité d"avoir raté l"éléphant. Exercice 6.Au cours d"un voyage low-cost en avion entre Paris et New-York en passsant par Hong-Kong et Sidney, Alice perd sa valise. La probabilité que la valise soit perdue à Orly, à JFK, à Kai Tak ou encore à sir Charles Kingsford Smith est la même. Quelle est la probabilté que la valise d"Alice soit encore en Austalie? Exercice 7.On considèrenurnes numérotées de1àn. L"urne numérok contientkboules vertes etnkboules rouges. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité d"obtenir une boule verte? Quelle est la limite de cette probabilité quandn!+1? Exercice 8.Un marchand reçoit un lot de montres. Il sait que ce lot peut venir soit de l"usineAsoit de l"usineB. En moyenne, l"usineA(resp.B) produit une montre défectueuse sur200(resp. sur1000). Notre marchand teste une première montre : elle marche. Quelle est la probabilité que le second test soit positif? Exercice 9.Une maladie affecte statistiquement une personne sur1000. Un test de dépistage permet de détecter la maladie avec une fiabilité de99%, mais il y a0:2%de chances que le test donne un faux positif (i.e. une personne est déclarée malade sans l"être). 1. Une p ersonneest testée p ositivement.Quelle est la probabilité qu"elle soit réellement malade? 2. Une p ersonneest testée négativ ement.Quelle est la probabilité qu"elle soit quand même malade? 3.

Ce dépis tageremplit-il son rôle ?

Exercice 10.

(P aradoxedes anniv ersaires)1.Considérons npersonnes, quelle est la probabilité notéep(n) d"avoir au moins deux personnes nées le même jour de l"année?

Pour simplifier, toutes les années

sont non-bissextiles. 2.

En utilisan tun DL de l"exp o-

nentiel en0, montrer que sin est "suffisamment petit» on dis- pose de l"approximation suivante p(n)'1en(n1)2365np(n)52,71%

1011,69%

1525,29%

2041,14%

3056,87%

5097,04%

10099,99997%

>365100% 3.

En dédu irele nom brede p er-

sonnes nécessaires pour avoir une chance sur deux que deux personnes aient leurs anniver- saires le même jour. Exercice 11(Dans un jeu télé).Un candidat se trouve devant 3 portes fermées. Derrière une de ces portes, il y a une superbe voiture à gagner, et un poireau dans les deux autres. Le candidat doit choisir une porte au hasard (sans l"ouvrir). L"animateur ouvre alors une autre porte contenant un poireau. Que devrait faire le candidat : garder sa porte ou changer d"avis et choisir la dernière porte? Justifier. Exercice 12(Problème des trois prisonniers).Trois prisonniersX,Y etZsont enfermés dans un cachot sans possibilités de communication. Deux seront condamnés le lendemain. Seul le geôlier connaît le sort de chacun. Le premier prisonnierXinterpelle le geôlier : " Je sais que l"un des deux autres prisonniers sera condamné, tu ne m"apprends rien en me révélant lequel? S"il te plaît, dis moi qui! ». Après un moment d"hésitation, le geôlier lui répond : "Ysera condamné demain, mais cela ne te donne aucun renseignement sur ton propre sort ». Le prisonnier d"un air fier rétorque : " Détrompes toi geôlier! Maintenant tout se joue entre moi etZ, je serais donc libre avec probabilité1=2et non plus1=3». Le prisonnier a-t-il raison de penser que sa probabilité d"être gracié à chan- ger?

2 V.a.r, espérance, fonction de répartition

Exercice 13.Alice et Bob jouent avec une paire de dés. Ils conviennent que Alice gagne si et seulement si elle effectue un double. Elle gagne dans ce cas

2 V.A.R, ESPÉRANCE, FONCTION DE RÉPARTITION4

5euros. Combien doit gagner Bob dans les autres cas pour que le jeu soit

équitable?

Exercice 14.La roulette française est constituée de37cases dont un0 qui n"est pas considéré comme pair. Si on gagne en pariant sur la parité du nombre, la banque reverse2fois la mise. Si on gagne en pariant sur le bon nombre, la banque reverse36fois la mise. 1. L"a vantagede la maison est le p ourcentagemo yende la p ertedes joueurs. Le calculer pour un joueur qui ne mise que sur un seul numéro. 2. Alice mise 100euros sur l"événementA:" le nombre est pair », et10 euros sur l"événementB:le nombre est7. Quelle est son espérance de gain? Et si on choisit6au lieu de7? 3. On supp osemain tenantque la p ersonnejoue plusieurs fois de suite, et autant de fois qu"elle le souhaite, mais seulement sur l"événementA: le nombre est pair. Proposer une stratégie gagnante (en un sens à définir). Pourquoi cette stratégie n"est en fait pas très réaliste? Exercice 15.On considère un dé à6faces, que l"on lance une infi- nité de fois. Une face est rouge et les5autres faces sont bleues. On écrit sous forme d"une suite les résultats successifs obtenus, par exemple BRRBBBRRRBRBRRR:::(B signifiant bleu et R rouge). On s"intéresse à la première série de nombres obtenus, dans le sens suivant, plus simple à définir par des exemples :

1.BBBRBR:::: la première série estBBB.

2.RBRBBBRBB :::: la première série est réduite àR.

3.RRRRRRRRRBR:::: la première série estRRRRRRRR.

On appelleXla variable aléatoire correspondant à la longueur de la première série. Calculer la loi deXet l"espérance deX.

Exercice 16.Soit(

;E;P)un espace probabilisé. On définit pourAune partie de , l"indicatrice1AdeApar1A(!) = 1si!2Aet0sinon. 1.

Que v autE(1A)pourA2E?

2. Soien t(Ai),néléments deE. A partir de l"égalité1T kAck=Qn k=1(1 1 Ak), montrer que le principe d"inclusion-exclusion :

P(A1[ [An) =nX

k=1(1)k1X

16i1< 3.

En déduire que si les Aisont indépendants, lesAcile sont aussi.Exercice 17.Un canal de transmission transmet des bits avec erreur selon

le modèle suivant : il transmet fidèlement un bit avec probabilitépet de façon erronée avec probabilité1pavecp2[0;1]. On considèrencanaux en série, et que chaque canal fonctionne indépendamment des autres. On note X kle bit reçu en sortie duk-ième canal etX0le bit à l"entrée du premier canal. On désire calculer la probabilité qu"au bout desncanaux, le signal reste inchangé. 1.

Que v autP(Xk+1= 1jXk= 0)etP(Xk+1= 1jXk= 1)?

2.

P osonsAn=P(Xn= 1)

P(Xn= 0)

etM=p1p 1p p 2 M 2(R).

Montrer queAn+1=MAn.

3. En déduire la probabilité qu"un bit soit fidèlemen ttransm isau b outde ncanaux. Que dire à la limite? Indication : pour calculer les puissances deM, diagonaliser cette matrice symétrique dont les valeurs propres sont1et2p1. Exercice 18.On souhaite dépister, grâce à un contrôle sanguin, quels sont les bovins atteints par un certain virus dans un troupeau denbêtes. On sait que chaque bête a, indépendamment des autres, une probabilitép2]0;1[ d"être atteinte. Comme chaque test coûte cher, on procède de la manière suivante : on forme des groupes dembêtes (oùmdivisen); dans chaque groupe, on mélange les prélèvements sanguins des bovins en un seul " super- échantillon », dans lequel on teste la présence du virus (il suffit qu"une seule bête du groupe soit infectée pour que le test soit positif). Si on décèle la présence du virus dans un super-échantillon, on teste toutes les bêtes du groupe séparément. a) Quelle est la loi du nom brede b êtesattein tesdans le troup eau?Rapp eler (sans calcul) son espérance et sa variance. b) Calculer l"esp éranceE(m)du nombre de tests effectués. c) P ourquelles v aleursde pvaut-il mieux choisirm=nplutôt quem= 1? d)

Y-a-t-il une v aleurde moptimale?

Exercice 19.SoitXune v.a.r de fonction de répartitionF. On supposera

Fcontinue, strictement croissante.

1.

Donner la loi de Y=F(X).

2. En admettan tque l"on sac hetirer des nom bresaléatoires uniformémen t répartis sur[0;1], donner une méthode de tirage de nombres aléatoires répartis suivant la loi de probabilité deX.

3 LOIS USUELLES5

3 Lois usuelles

3.1 Loi de Bernoulli, loi binomiale

Exercice 20.1.T rouverun algorithme p ermettantà partir d"une pièce de monnaie équilibrée de simuler toute loi de Bernoulli de paramètrep avecp2]0;1[. 2. De même, à l"aide d"une pièce de monnaie, trouv erun emanière de c hoisir au hasard et uniformément un entier dans[0;n].

Exercice 21.1.Calculer l"esp é-

rance et la variance d"une loi de

Bernoulli de paramètrep.

2.

F airede même a vecune loi bino-

miale de paramètre(n;p). 3.

Retrouv erl"esp éranceet la v a-

riance d"une loi Binomiale en uti- lisant le fait qu"une loi binomiale est la somme denlois de Ber- noulli indépendantes.Jacques Bernoulli (1654,1705) Exercice 22.SoitnetNdeux entiers non nuls. Une urne contientnjetons numérotés de1àn. On effectueNtirages avec remise dans cette urne. SoitFi le nombre de fois que le jetonia été tiré. Calculer la loi deFi, son espérance et sa variance. On poseF:=Pn

1Fi. Calculer la loi deF, son espérance, sa

variance. Exercice 23.SoitXndes variables aléatoires i.i.d (indépendantes identi- quement distribuées) suivant une loi de Bernoulli de paramètrep. On pose Y n=XnXn+1etUn=Y1+:::+Yn. 1. Quelle est la loi de Yn? LesYisont-elles deux à deux indépendantes? 2. Calculer l"es péranceet la v ariancede Un.3.2 Loi de Poisson

Siméon Denis Poisson (1781-1840).

Exercice 24.1.Retrouv erla v aleurde l"esp éranceet la v arianced"une loi de Poisson de paramètre. 2. Mon trerqu"une somme de deux v ariablesaléatoires indép endantessui- vant chacune une loi de Poisson (de paramètre respectifet) suit encore une loi de Poisson. Exercice 25.Un insecte pond des oeufs suivant une loi de PoissonP(). Chaque oeuf à une probabilité d"éclore avec une probabilitép, indépendante des autres oeufs. SoitZle nombre d"oeufs qui ont éclos. 1.

Donner la loi de Z.

2.

En déduire l"esp érancede Z.

Exercice 26.On s"intéresse aux nombres de clients arrivant à l"un des deux guichets (AetB) d"une banque. Pour cela modélisons le problème de la manière suivante : Le nombre de clients quittant la file d"attente, notéX, est modélisé par une loi de PoissonP(). Le choix de guichetApar lei-ème client est modélisé par une loi BernoulliB(p). AinsiYivaut 1 avec probabilitépsi lei-ème client choisit bien.

3 LOIS USUELLES6

1.

Que signifie S=PX

k=1Yk? 2.

Que v autP(S=kjX=n)?

3.

Mon trerque Ssuit une loi de Poisson.

Exercice 27.Un serveur brise en moyenne trois verres et une assiette par mois. NotonsXle nombre de verres cassés etYle nombre d"assiettes cassés par ce serveur. 1. Donner les lois de probabilité des v ariablesaléatoires XetY. 2.

Quelle est la loi de X+Y?

3. Calculer la probabilité d"un mois sans assiette ni v errecassé ? 4.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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