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Corrigé de l'examen médian du 28 avril 2006

Correction de l'exercice 1.

On renvoie à l"exercice 3.1 du TD 3 et à sa correction qui traite partiellement cet exercice (dans le

cas oùλ=1). (1) Comme dans l"exercice 3.1 du TD 3, on montre que l"on a --→ΩM=-a? sint?i+cost?j? .(1)

D"autre part, on a aussi

MI=at=OI=xΩ

Ainsi, il vient, puisque--→ΩN=λ--→ΩM, sint?i+cost?j? et donc, on obtient les coordonnées deN: x (t)=a(t-λsint),(2a)y (t)=a(1-λcost).(2b) (2) Pour toute la suite, on pose ?λ>0,?t?R,F (t)=?a(t-λsint),a(1-λcost)?.(3) (a) Remarquons que, pour toutt,ona F (t)+2πa?i. On peut donc étudier la courbe sur[0,2π]; on aura la totalité de la courbe en faisant des translations de vecteur2πak?i,pourk?Z. D"autre part, sit?[0,π],alors2π-t?[π,2π]et 12(x (2π-t)+x (t)) =πa, y (2π-t)=y (t),

et on peut donc se restreindre à l"intervalle[0,π]en faisant une symétrie par rapport à la

droite d"équationx=πa. (b) Il est clair que x (t)=a(1-λcost),(4a) y (t)=aλsint.(4b) 1 2 (c) (i) On suppose tout d"abord queλ?]0,1[.Ainsi,x (t)=aλ(1/λ-cost)>0.On constate que sur[0,π],sinest positif. On en déduit le tableau de variation dex et y t 0π x >0+>0 y 0+ 0 x

0?aπ

0?a(1 +λ)

(ii) On suppose maintenant queλ?]1,+∞[. On introduit l"unique réelθ 0 ?]0,1[tel que cosθ 0 =1

λ.(5)

D"après (4a), il vient, en factorisant

x (t)=a(1-λcost), =aλ(cosθ 0 -cost), =-2aλsin?θ 0 -t 2? sin?θ 0 +t 2? et donc x (t)=2aλsin?t-θ 0 2? sin?t+θ 0 2? (6)

On en déduit le tableau de variation dex

ety t 0θ 0 x <0-0+>0 y

0+>0+0

0?a(θ

0 -tan(θ 0 ))?aπ y a(1-λ)?0?a(1 +λ)

On vérifie quex(θ

0 )=a(θ 0 -tan(θ 0 ))<0et quey(θ 0 )=0. (iii) On suppose enfin queλ=1.

Le tableau de variation dex

ety peut s"obtenir grâce aux résultats des questions

2(c)i ou 2(c)ii en faisant tendreλvers 1. On peut aussi utiliser les résultats de

l"exercice l"exercice 3.1 du TD 3.

On obtient

t 0π x 0+>0 y 0+ 0 x

0?aπ

y 0?2a UTBM Printemps 2006 UV MT25 : corrigé de l'examen médian du 28 avril 2006 Jérôme BASTIEN 3 -202468 3 2 1 0 1 2 3 4 5 lambda=1 t dans [pi,3pi] t dans [0,pi] (a) :λ=1 -202468 3 2 1 0 1 2 3 4 5 lambda=1.3 t dans [pi,3pi] t dans [0,pi] (b) :λ=13/10 -202468 3 2 1 0 1 2 3 4 5 lambda=0.7 t dans [pi,3pi] t dans [0,pi] (c) :λ=7/10

Fig. 1.La courbeF

poura=1pourt?[-π,3π]. (d) (i) - Poura=1etλ=1, on utilise l"étude de la question2(c)iii. On pourra aussi consulter la correction de l"exercice 3.1 du TD 3. -Poura=1etλ=13/10, on utilise l"étude de la question2(c)ii. -Poura=1etλ=7/10, on utilise l"étude de la question2(c)i. Dans tous les cas, on exploite aussi les symétries et périodicités montrées en question 2a. Voir les figures 1 obtenues par matlab (scriptcormedianP06_exo1.m). Remarque1.On pourra consulter l"encyclopédie wiki à l"adressehttp://fr.wikipedia. org/wiki/Cyclo%C3%AFdepour les cycloïdes. (ii) Dans le cas oùλ= 13 10 , on remarque sur la courbe obtenue des petites boucles et des grandes boucles. Dans les autres cas, seules les grandes boucles sont présentes. Dans UTBM Printemps 2006 UV MT25 : corrigé de l'examen médian du 28 avril 2006 Jérôme BASTIEN 4 le cas limiteλ=1, la petite boucle disparaît et une tangente verticale apparaît (seul point stationnaire), qui n"apparaît pas dans le cas oùλ?=1. (3) On se replace dans le casaquelconque etλ>1. (a) D"après le tableau de variation de la question 2(c)ii, il est immédiat quequotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Correction de l'exercice 1.

D"autre part, on a aussi

MI=at=OI=xΩ

0?aπ

0?a(1 +λ)

λ.(5)

D"après (4a), il vient, en factorisant

On en déduit le tableau de variation dex

0+>0+0

0?a(θ

On vérifie quex(θ

Le tableau de variation dex

2(c)i ou 2(c)ii en faisant tendreλvers 1. On peut aussi utiliser les résultats de

On obtient

0?aπ

Fig. 1.La courbeF