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Introduction

Ce cours est difficile; en général les étudiants éprouvent beaucoup de dif- ficultés pour comprendre et faire les calculs; ceci provient essentiellement d"un manque de pratique dans la manipulation des outils : dérivées par- tielles, changement de variables, résolutions d"équations différentielles. Il faut chercher, faire, re-chercher re-faire les exercices de TD, les anciens partiels et examens, et aussi les calculs et les preuves du cours pour pou- voir être à l"aise.

Le plan du cours est le suivant :

Table des matièresIntroduction.. .......................................... 1 Le changement de variables ou changements de coordonnées .......................................................... 3

2.1. Le théorème d"inversion locale.. .............. 3

2.1.1. L"énoncé.. ................................ 3

2.1.2. Un critère global.......................... 3

2.1.3. A quoi ça sert?.. ........................ 4

2.2. Le théorème des fonctions implicites.. .... .... 6

2.2.1. L"énoncé.. ................................ 6

2.2.2. Application : suivre une racine simple de

polynôme.. .............. .............. 6

2.3. Applications à l"étude des courbes planes.. . . 7

2.3.1. Redressement d"une courbe.. ...... ...... 7

2.3.2. Courbe définie implicitement.. . . . . . . . . . . 7

2.3.3. Résumé : sous variété de dimension1du

plan :.. ................................ 7

2.3.4. Droite tangente.. ........................ 8

2.4. Applications : surfaces de l"espace.. ..... ..... 8

2.4.1. Définition.. .............................. 8

2.4.2. Plan tangent.. .......................... 10

2.4.3. Coordonnées locales sur une surface.. . . . . 10

2.4.4. Des exemples de surfaces.. . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Le changement de variables en intégration.. . . 12

2.5.1. Le théorème.. ............................ 12

2.5.2. La preuve.. .............................. 12

2.5.3. L"aire des surfaces et intégration sur les surfaces

.......................................... 142.5.4. Des exemples :.. .......................... 15 td1.. .................................................. 17 Équations différentielles.. .............................. 27

3.1. Rappel sur le cours de licence... .............. 27

3.1.1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz.. . . . . . . 27

3.1.2. Solutions maximales.. .................... 27

3.1.3. Dépendance par rapport aux conditions initiales.

.......................................... 27

3.1.4. Explosion en temps fini.. ........ ........ 28

3.2. Différentiabilité par rapport aux conditions initiales

.............................................. 30

3.2.1. Champs de vecteurs et flot.. . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Différentiabilité par rapport aux conditions

initiales.. ............... ............... 31

3.2.3. Différentiabilité d"ordre supérieur.. . . . . . . 32

3.2.4. Dépendance par rapport à un paramètre.. 32

3.2.5. Un exemple : une formule pour la différentielle

de l"exponentielle de matrice.. .......... 33

3.3. Quelques outils pour étudier les équations différentielles.

.............................................. 34

3.3.1. Orbites particulières.. .................... 34

3.3.2. Intégrale première.. ...................... 34

3.3.3. Intégrale première et orbite périodique.. 35

3.3.4. Le pendule.. .............. .............. 36

3.3.5. Equation différentielle à variables séparables

.......................................... 37

3.3.6. Appendice à cette partie : formes différentielles

.......................................... 38

3.4. Symétries et champs de vecteurs.. ............ 40

3.4.1. Comment transporter un champ de vecteurs

par un changement de coordonnées... . . 40

3.4.2. Symétrie, crochet de Lie... . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.3. Exemples : les champs de vecteurs invariants

par rotation surR2\ {0}... . . . . . . . . . . . . 42

3.4.4. Equation aux dérivées partielles du premier

ordre et redressement du flot... . . . . . . . . 43

3.5. Champs de vecteurs sur les surfaces.. . . . . . . . . 44

3.5.1. Flot d"un champ de vecteurs sur une surface

.......................................... 45 td2.. .................................................. 46 Extrema et Calcul des variations.. .......... .......... 51 1 2

4.1. Extrema liés.. ................................ 51

4.1.1. Deux exemples... ........................ 52

4.2. Problème variationnel.. ...................... 53

4.2.1. Motivation : le chemin le plus court pour

joindre deux points d"une surface... . . . . 53

4.2.2. Equation d"Euler-Lagrange.. . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3. Avec une contrainte.. .................... 56

4.2.4. Retour aux surfaces : géodésiques.. . . . . . . 58

4.2.5. Géodésiques sur les surfaces de révolutions

.......................................... 59 td3.. .................................................. 61 Les courbes.. .......................................... 64

5.1. Généralités.................................... 64

5.1.1. Les arcs géométriques.. .................. 64

5.1.2. Longueur.. .............................. 64

5.2. Paramétrisation par longueur d"arc.. . . . . . . . . 65

5.3. Les courbes planes.. .......................... 66

5.3.1. La courbure.. ............................ 66

5.3.2. Enveloppe de Droites.. ......... ......... 69

5.4. Les courbes gauches.. ........................ 72

5.4.1. Courbure et Torsion.. .................... 72

5.4.2. Théorème fondamental.. ........ ........ 73

td4.. .................................................. 75 Les surfaces.. .......................................... 79

6.1. Rappel sur les formes quadratiques et bilinéaires

.............................................. 79

6.1.1. Définition.. .............................. 79

6.1.2. Matrices et changement de base.. .... .... 79

6.1.3. Formes quadratiques sur un espace euclidien

.......................................... 80

6.2. La première forme fondamentale.. ............ 80

6.2.1. Définition.. .............................. 80

6.2.2. Expression dans les cartes.. .............. 81

6.2.3. A quoi ça sert?.. ........................ 81

6.2.4. Quelques expressions.. ......... ......... 81

6.3. La seconde forme fondamentale.. . . . . . . . . . . . . 81

6.3.1. Définition.. .............................. 81

6.3.2. Expression dans les cartes.. .............. 82

6.3.3. Quelques Calculs.. ........... ........... 83

6.3.4. L"application de Weingarten ou "shape operator"

.......................................... 836.3.5. Courbures.. .............................. 84

6.3.6. Allure de la surface par rapport à son plan

tangent.. ............... ............... 84

6.3.7. Calcul des courbures d"une surface de révolution

.......................................... 86

6.3.8. Directions particulières.. ........ ........ 86

6.3.9. Appendice : Surfaces totalement ombilicales

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