1 Algorithme de dichotomie PDF TP INFO n° 2 : Algorithme

TP2 : f(x)=0

On recommence ensuite la procédure sur l'intervalle o`u f change de signe et ainsi de suite. Exercice 2. On souhaite utiliser la méthode de dichotomie pour

Analyse Numérique

Exercice 4.6 Calculer. ∫ +∞. 0.5 e. −t3 dt avec 4 décimales exactes. Page 92. 92 ... méthode de Givens et on note M (i µ) le nombre de paires consécutives de ...

Analyse Numérique - Corrigé du TD 5

méthode de dichotomie produit une suite de sous-intervalles In = [anbn]

Corrige de l exercice sur la dichotomie

Corrigé exercice Dichotomie. Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d'une équation. 0. = )x(f. Théorème : Soit f est une fonction continue

DICHOTOMIE

On a représenté ci-dessous la fonction f définie par ( ) = − 7 . L'objectif est de déterminer sur l'intervalle [2 ; 4]

1 Algorithme de dichotomie

méthode par balayage. (Détailler les étapes). 2 Suites récurrentes. Exercice 3. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n ...

SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE

Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a

Retour sur le TD Exercice 2 - Recherche de racine par dichotomie

1. Nous considérons la fonction f qui à x ∈ [05] associe x2 -1. Tracer cette fonction. 2. Implémenter la méthode

Méthodes numériques

2.5 Corrigés des exercices Figure 1 : Principe de la méthode de Dichotomie. 1.3.1.2 Convergence et estimation de l'erreur. Pour montrer que la méthode de ...

Chapitre 1: Résolution déquations à laide de méthodes

La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles Exercice 1.8 Quelles sont les valeurs fournies par la méthode de Newton pour la.

Analyse Numérique

Rappeler la méthode de dichotomie qui permet d'approcher ce zéro de f. Par suite d'apr`es l'exercice 1

USTV 2011/2012

10?/05?/2012 Recueil d'exercices corrigés ... les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de ...

Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 2.2.2.1 Méthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18 ... 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés .

TP2 : f(x)=0

Les exercices de cette séance de travaux pratiques seront résolus `a l'aide La méthode de dichotomie pour trouver la solution d'une équation f(x) = 0 ...

1 Algorithme de dichotomie

TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie et Suites. TS. 1 Algorithme de dichotomie. Exercice 1. Etude d'une fonction auxiliaire f et de solutions approchées

Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 4.1 Correction

et on pose xk+1 = ak + bk. 2 . Figure 3 – Étude graphique de la convergence (méthode de dichotomie). • Méthode de Newton xk+1 = xk ?.

SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE

Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a

Fiche 2 : Les fonctions

Fiche Exercices. Calculer des limites. Méthode : Encadrer une solution d'une équation du type f (x ) = 0par dichotomie. Méthode :.

Chapitre 1: Résolution déquations à laide de méthodes

La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles Exercice 1.2 1) Montrer que chaque équation suivante n'admet qu'une solution.

Zéros de fonctions

Le principe de dichotomie repose sur la version suivante du théorème des valeurs La méthode de dichotomie a l'énorme avantage de fournir un encadrement ...

Analyse Num´erique Corrig´e du TD 5 - Côte d'Azur University

La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2 1 Soit [ab] un intervalle ferm´e de R et f : [ab] ? R une fonction continue Si f(a)f(b) < 0 alors ?? ?]ab[ tel que f(?) = 0 On se donne un intervalle I 0 = [ab] contenant le z´ero ? que l’on veut approcher La m´ethode de dichotomie produit

Méthode de la dichotomie Exercice 1 - e-monsite

Méthode de la dichotomie Exercice 1 On va utiliser la recherche d’une valeur approchée d’une solution d’une équation par la méthode de dichotomie : On souhaite par exemple trouver une valeur approchée de la solution de l’équation xex ? 1 = 0 Justifier que l’équation précédente admet une unique solution sur [0; 1]

Zéros des fonctions - e Math

En?n voici la version récursive de l’algorithme de dichotomie Code 4 (dichotomie py (4)) def dichotomie(abprec): if b-a

Méthodesnumériques:optimisation L32016–2017—2 semestre

La méthode de dichotomie est la suivante : par récurrence on pose c n = 1 2 (a n + b n) le point milieuetondé?nitensuite: (a n+1;b n+1) = (a n;c n) sif0(c n) >0 (c n;b ) sif0(c )

F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS

1 Algorithme de dichotomie

Exercice 1Etude d"une fonction auxiliaire f et de solutions approchées d"équations par dichotomie

Soitfla fonction définie surRparf(x)=x3-3x2+5.

1.Etudier les variations defsurR.

2.Dresser le tableau de variation complet defen justifiant les calculs de limites aux bornes.

3.Justifier que l"équation (E1) :f(x)=0 possède une unique solutionαdans [-2;-1] et que c"est même

l"unique solutionde l"équation (E

1) dansR.

4.Appliquer à la main l"algorithme de dichotomie (voir Algorithme 1) avec les valeurs initialesa= -2 et

b= -1 pour déterminer un encadrement deαd"amplitude 0,1. On complétera le tableau en Annexe 2

avec les valeurs des variables en entrée de la boucle Tant Que. Combien d"étapes sont nécessaires? Pouvait-on le prévoir?

5.Télécharger le fichier DICHOTOMIE14ELEVE.ALGsur mon site et compléter l"algorithmede Dichotomie

pour cette fonction avecAlgobox.

6.Tester cet algorithme en partant dea= -2 etb= -1 pour obtenir un encadrement deαd"amplitude

0,001.

7.Compléter l"algorithmepour qu"il affiche en sortie le nombre d"étapes nécessaires.

8.Justifier que l"équation (E2) :f(x)=10 possède une unique solutionβsur ]-∞;+∞[ et déterminer le

plus grand entier relatifntel quen<βtude saisie par l"utilisateur avec la méthode par dichotomie. Enregistrer le nouveau programme sous le

nom DICHOTOMIE14ELEVE2.ALG.

Algorithme 1Dichotomie

Entrée(s)a,b,precision

tant que|a-b| >precisionfaire a+b

2→m

sif(a)×f(m)?0alors m→b sinon m→a fin du si fin du tant que

Sortie(s)a,b

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F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS

Etapeabm

1 2

Exercice 2Etude d"une fonction g

Soitgla fonction définie surR-{0} parg(x)=1

2? x

2-6x-10x?

1.Justifier quegest dérivable surR-{0} et démontrer queg?est du même signe que la fonctionfétudiée

dans la partie A.

2.En déduire l"étude des variations de la fonctiong.

3.Dresser le tableau de variation complet degen justifiant les calculs de limites aux bornes.

4.Justifier que l"équation (E2) :g(x)=0 possède une unique solution dans]0;+∞[et déterminer une

valeur approchée de cette solution à 0,1 près avec une méthode par balayage. (Détailler les étapes).

2 Suites récurrentes

Exercice 3

On considère la suite

(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.

1.Compléter l"algorithme2 pour qu"il retourne le terme de rangnde la suite(un):

a.Programmer cet algorithme avec Algobox et donner une valeurapprochée à 10-4près du résultat

qu"il affiche lorsque l"on choisitn=3.

b.Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l"aide de cet algorithmepour cer-

taines valeurs den. n15101520

Valeur affichée1,41421,95711,99861,99991,9999

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F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite(un)?

Algorithme 2

Variables :nest un entier naturel

iest un entier naturel uest un réel positif

Initialisation: Demander la valeur den

Affecter àula valeur 1

Traitement : Pourivariant de 0 à ... :

| Affecter àula valeur ...

Fin de Pour

Sortie : Afficheru

2. a.Etudier les variations de la fonctionf:x?→?2xsur[0; 2].

b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0Exercice 4

Soient deux suites

(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour tout entier natureln, u n+1=2un+vn

3etvn+1=un+3vn4.

PARTIE A

Compléter l"algorithme3 pour qu"il calcule les termesde rangn(saisi par l"utilisateur)des suites(un)et(vn):

Programmer cet algorithmeavec Algobox puis l"exécuter en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau

donné ci-dessous donnant l"état des variables au cours de l"exécution de l"algorithme. KWUV 0 1 2

Algorithme 3

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK
AffecterW+3V4àVFin tant que

AfficherU

AfficherV
Fin
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F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS
PARTIE B

1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5

12(vn-un).
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.
Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5
12? n
2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.
b.Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10 et v n?2. c.En déduire que tes suites(un)et(vn)sont convergentes.
3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.

4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.

En déduire que la limite commune des suites
(un)et(vn)est46 7.
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F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS
Corrigé 1exo 2

Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn
3etvn+1=un+3vn4

PARTIE A

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK
AffecterK+1 àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV
Fin
État des variables :
KWUV
0210

1214/38

214/352/943/6

PARTIE B

1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn
4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12

3un+9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géométrique de raison5
12et de
premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (formeexplicited"unesuitegéométrique)on peut dire que, pour tout entier natu-
reln,wn=8?5 12? n
2. a.un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

On a vu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.
Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn
4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.
Donc la suite
(vn)est décroissante.
Page 5/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à-direvn>un.
La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.
Pour tout entier natureln,vn>un
eqslantv n?10? =?un?10.
La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.
Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. la suite (un)est convergente vers un réel?u.
La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)estquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] 1 Algorithme de dichotomie TP INFO n° 2 : Algorithme

1 Algorithme de dichotomie

Soitfla fonction définie surRparf(x)=x3-3x2+5.

1.Etudier les variations defsurR.

2.Dresser le tableau de variation complet defen justifiant les calculs de limites aux bornes.

3.Justifier que l"équation (E1) :f(x)=0 possède une unique solutionαdans [-2;-1] et que c"est même

1) dansR.

4.Appliquer à la main l"algorithme de dichotomie (voir Algorithme 1) avec les valeurs initialesa= -2 et

5.Télécharger le fichier DICHOTOMIE14ELEVE.ALGsur mon site et compléter l"algorithmede Dichotomie

6.Tester cet algorithme en partant dea= -2 etb= -1 pour obtenir un encadrement deαd"amplitude

0,001.

7.Compléter l"algorithmepour qu"il affiche en sortie le nombre d"étapes nécessaires.

8.Justifier que l"équation (E2) :f(x)=10 possède une unique solutionβsur ]-∞;+∞[ et déterminer le

Algorithme 1Dichotomie

Entrée(s)a,b,precision

2→m

Sortie(s)a,b

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Etapeabm

Exercice 2Etude d"une fonction g

Soitgla fonction définie surR-{0} parg(x)=1

2-6x-10x?

1.Justifier quegest dérivable surR-{0} et démontrer queg?est du même signe que la fonctionfétudiée

2.En déduire l"étude des variations de la fonctiong.

3.Dresser le tableau de variation complet degen justifiant les calculs de limites aux bornes.

4.Justifier que l"équation (E2) :g(x)=0 possède une unique solution dans]0;+∞[et déterminer une

2 Suites récurrentes

Exercice 3

On considère la suite

1.Compléter l"algorithme2 pour qu"il retourne le terme de rangnde la suite(un):

Valeur affichée1,41421,95711,99861,99991,9999

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Algorithme 2

Variables :nest un entier naturel

Initialisation: Demander la valeur den

Affecter àula valeur 1

Traitement : Pourivariant de 0 à ... :

Fin de Pour

Sortie : Afficheru

2. a.Etudier les variations de la fonctionf:x?→?2xsur[0; 2].

Soient deux suites

3etvn+1=un+3vn4.

PARTIE A

Algorithme 3

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

AffecterW+3V4àVFin tant que

AfficherU

AfficherV

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PARTIE B

1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5

12(vn-un).

Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5

2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.

3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.

4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.

En déduire que la limite commune des suites

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Corrigé 1exo 2

Soient deux suites

3etvn+1=un+3vn4

PARTIE A

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

AffecterK+1 àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+3V4àV

Fin tant que

0210