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Past day

Groupes monogènes. Groupes

cycliques. Exemples

Pré-requis

1. Généralités sur les groupes.

2. Le groupe(Z/nZ,+).

3. Théorème de Lagrange pour les groupes.

4. Définition d"un nombre premier.

5. P.G.C.D. de deux entiers naturels.

6. Lemme de Gauss en arithmétique.

7. Notion de corps.

1.1 Groupes monogènes

Définition 1.Soit(G,.)un groupe.(G,.)est dit monogène s"il existe un élémentx tel que pour tout élémentyde(G,.), il existe un entier relatifktel quey=x k .On note alorsG=?x?et l"on dit que(G,.)est engendré parxou encore quexest un générateur de(G,.). Si de plus,(G,.)est d"ordre fini, on dit que(G,.)est cyclique. Exemples.1.(Z,+)est monogène infini engendré par1ou-1.

2. Pour tout entier naturel non nuln,(Z/nZ,+)est un groupe cyclique d"ordren.

3. Pour tout entier naturel non nuln,((Z/nZ)

,×)est un groupe cyclique d"ordre n-1.

4. Pour tout entier naturel non nuln,?

U n e 2 ikπ n ,k??0;n-1?? est un groupe cyclique d"ordren.

241.1. GROUPES MONOGÈNES

Remarque.Tout groupe monogène est abélien. Attention, la réciproque est fausse : le groupe de Klein est abélien mais non cyclique. Définition 2.Soit(G,.)un groupe fini. Soitaun élément deG. On appelle ordre deal"ordre du sous-groupe?a?={a k ,k?Z}engendré para. Théorème 3.Soit(G,.)un groupe fini. Soitaun élément deG. Soitml"ordre de a. Alors :

1.mdivise l"ordre deG.

2.mest le plus petit entier naturel non nul tel quea

m =1.

3.Les éléments1,a,a

2 , ...,a m-1 sont tous distincts dansG.

De plus,?a?={1;a;a

2 ;...;a m-1 Démonstration.1. C"est le théorème de Lagrange.

2. Sim=1, c"est évident. Sim?2. On démontre queA={a;a

2 ;a 3 ;...;a m+1 possède au moins deux éléments égaux. Ainsi, il existe un entierlcompris entre1et mtel quea l =1. Soits=min{k?N ,a k =1}.Onas?m. Soitk?Z.Ona k=sq+ravec0?r?s-1donca k =a r et par conséquenta k ?{1;a;a 2 ;...;a s -1

Ainsi,?a??{1;a;...;a

s -1 }etm?s. D"oùm=s.

3.{1;a;...;a

m-1 }??a?est évident. De plus,|?a?|=m, d"où l"égalité. Corollaire 4.Soitn?N. Soit(G,.)un groupe fini d"ordren. Alors, pour toutx?G, x n =1. Démonstration.Soitml"ordre dex. D"après le théorème 3,mdivisen. Donc il existe un entier relatifktel quen=mk. D"oùx n =x mk =(x m k =1 k =1. Corollaire 5.Tout groupe(G,.)d"ordreppremier est cyclique et engendré par l"un quelconque de ses éléments distincts de1. Démonstration.Soitaun élément deGdistinct de1. Alors1etaappartiennent à ?a?. Donc|?a?|?2. De plus,|?a?|divisepd"après 1. du théorème 3.pétant premier, nécessairement|?a?|=pet par conséquentG=?a?. Corollaire 6.Soit(G,.)un groupe fini. Soita?G. Soitml"ordre dea. Alors pour tout entier naturelk,?a k =1??(m|k).

Démonstration.?:Il existe un entier relatifk

tel quek=mk . Ainsi, d"après le théorème 3 : a k =a mk =(a m k =1 k =1

1.2. SOUS-GROUPES D"UN GROUPE MONOGÈNE25

:Division euclidienne dekparm:k=mq+ravec0?rRemarque.Attention,a k =1n"implique pas quekest l"ordre deamais simplement que l"ordre deadivisek. Théorème 7.1. Tout groupe monogène infini est isomorphe au groupe(Z,+).

2. Tout groupe cyclique d"ordren?N

est isomorphe à(Z/nZ,+). Démonstration.1. Soit(G,.) est un groupe monogène infini engendré par un élément g. Considérons l"applicationf:(Z,+)→(G,.)définie parf(k):=g k . Il est clair que fest un morphisme. De plus(G,.)étant monogène engendré parg, par définition, pour tout élémentxdeG, il existe un entier relatifktel quex=g k . Ainsifest donc un épimorphisme. Enfin, sig r =g s , alorsg r-s =1et par conséquentr=s,cequi prouve quefest un monomorphisme.fest donc un isomorphisme.

2. Soit(G,.)un groupe cyclique d"ordrenengendré parg.

Considéronsf:(Z/nZ,+)→(G,.)définie parf( k):=g k . Alorsfest clairement un isomorphisme.

1.2 Sous-groupes d"un groupe monogène

1.2.1 D"un groupe monogène infini

Proposition 8.Soit(G,.)un groupe monogène infini. Si(H,.)est un sous-groupe de(G,.), alors il existe un entier naturelntel que(H,.)est isomorphe à(nZ,+). Démonstration.Soit(G,.)un groupe monogène infini. Alors, d"après le théorème 7, il est isomorphe à(Z,+). Soit(H,+)un sous-groupe de(Z,+).SiH={0}, alors H=0Z. Sinon, il existe un élément strictement positif dansH. Soitmle plus petit des éléments strictement positifs deH. Commem?H, naturellement,mZ?H. Soit h?H. Effectuons la division euclidienne dehparm: il existe un entier relatifqet un entier naturelrtels que :? h=mq+r 0?rAinsi,H?mZ.

261.2. SOUS-GROUPES D"UN GROUPE MONOGÈNE

1.2.2 D"un groupe cyclique

Définition 9.On appelle fonction indicatrice d"Euler la fonction définie surN valeurs dansNqui, à chaque entier naturel non nuln, associe le nombre d"entiers compris entre1etnpremiers avecn. Exemples.Ona:?(1) = 1,?(2) = 1,?(3) = 2et?(8) = 4. Remarque.La fonction indicatrice d"Euler n"est pas croissante surN car?(9) = 6et (10) = 4 Théorème 10.(Description des groupes cycliques) Soitn?N . SoitGun groupe cyclique d"ordren. Soitaun générateur deG.

1.Tout sous-groupe de?a?est cyclique.

2.Pour tout entier naturelk,???a

k n n ?k

3.Siddivisen, alors?a?contient?(d)éléments d"ordred.

4.?a?contient?(n)générateurs. Ce sont lesa

k tels quen?k=1.

5.Siddivisen, alors l"ensembleE

d ={x??a?,x d =1}est l"unique sous-groupe de?a?d"ordred, de plus il est cyclique. Démonstration.1. SoitHun sous-groupe de?a?.SiH={1}, il est évidemment cyclique. SiH?={1}, alors il existe un entier naturel non nulltel quea l ?H.

Ainsi,{k?N

,a k =1}est non vide et minoré par0donc admet un minimum.

Soitd:=min{k?N

,a k =1}.(H,.)étant un groupe,?a d ??H. Soita k ?H. Effectuons la division euclidienne dekpard:k=dq+ravec0?r2. D"après le théorème 3, on a : ??a k ???=min{m?N ,(a k m =1} =min{m?N ,a km =1} =min{m?N ,n|km} Soitd:=n?k. Il existe alors deux entiers naturelsn etk tels quen=dn etk=dk etn ?k =1. Ainsi,n|kmest équivalent àdn |dk met àn |mcarn ?k =1. Or, le plus petit entierm?N tel quen |mestn , c"est-à-dire n n ?k . D"où ?a k ???=n n?k

3.ddivisendonc il existe un entier naturelqtel quen=dq. Soita

k un élément de

1.2. SOUS-GROUPES D"UN GROUPE MONOGÈNE27

?a?,ona: ??a k ???=d?n n?k=d dq n?k=d q n?k=1 ?n?k=q

Or il existe un entier naturelk

tel quek=qk . Ainsi : ??a k ???=d??(dq?qk =q)?(d?k =1)

Or, des entiersk

premiers avecd, il y en a?(d). 4.a k engendre?a?si, et seulement si,a k est d"ordren.Ora k est d"ordre n n ?k . Donc a k engendre?a?si, et seulement si,n?k=1. Il y en a bien?(n)d"après la définition de la fonction indicatrice d"Euler. 5.E d ={x??a?,x d =1}est clairement un sous-groupe de?a?, ce dernier étant abélien. De plus, d"après 1., il est cyclique. D"après le corollaire 4, il contient tout sous-groupe ded"ordred. Soitgun générateur deE d . Pour tout entier naturel non nulr,ona(g r d =1qui est équivalent àndiviserd.Orddivisen, donc il existe un entier relatifktel quen=dk. Mais alors,(g r d =1est équivalent àkdiviser.

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