Cours de Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables le cours est articulé en sept chapitres : Calcul vectoriel-Torseurs
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécaniques des
Ces exercices couvrent les sept chapitres du polycopié de cours de la mécanique des systèmes indéformables : Calcul vectoriel-Torseurs. Cinématique du solide
COURS DE MECANIQUE 2ème année
afin de faciliter le suivi du cours magistral mais ne répond pas aux normes de systèmes réduits à chacun des solides S1
mecanique du solide rigide enseignement de licence de mecanique
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE en point (exemple le poids) du champ des vitesses d'un solide … ... cinématique (voir cours sur les torseurs).
Mécanique du solide ( CP2 – S3) Chapitre II : Les torseurs
Notes de cours : Mécanique des solides / ENSAH Cycle préparatoire (S3) / Pr. E. Chaabelasri. Mécanique du solide ( CP2 – S3). Chapitre II : Les torseurs.
MECANIQUE DES FLUIDES I (Cours et Applications) Dr YOUCEFI
décantation des solides. 2.7. Equations de l'hydrostatique. Considérons un réservoir plein de liquide accéléré en bloc dans une direction quelconque dont la
SMP - S3
TD - Mécanique solide. Cours - Analyse numérique. Année universitaire 2020 - 2021. Université Abdelmalek Essaadi. Faculté des Sciences. Tétouan.
Mécanique du solide
u r r. ?=? le vecteur rotation du cylindre. Page 51. Mécanique du solide transparents de cours
Filière Licence dEtudes Fondamentales Sciences de la Matière
S3. SMP. M15. Mécanique du solide. M16. Thermodynamique 2. M17. Electromagnétis me dans le vide Module 1 : Mécanique du point (Cours : 21H TD :21H).
MECANIQUE DU SOLIDE NIVEAU 1 LA STATIQUE CORRIGE
Mécanique du solide : Niveau 1-la statique @ Serge Muret 2008. 2. Table des matières S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 ... flambage (cours R.D.M. Compression).
Cours Mécanique du Solide PDF Gratuit (Physique SMP S3) - eBoikcom
Notes de cours : Mécanique des solides / ENSAH Cycle préparatoire (S3) / Pr E Chaabelasri Mécanique du solide ( CP2 – S3) Chapitre II : Les torseurs I) APPLICATION ANTISYMETRIQUE I-1) Définition Soit (E) un espace vectoriel à trois dimensions Soit ( ) une application de (E) dans (E) qui à chaque vecteur
Qu'est-ce que le cours de mécanique du solide ?
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes. NOTE: N’oubliez pas de voir des TD, QCM, Exercices et Examens de Mécanique du Solide.
Quels sont les chapitres de la mécanique des systèmes de solides indéformables?
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Calcul vectoriel-Torseurs, Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique du solide, Dynamique du solide, Liaisons-Forces de liaison, Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.
Qu'est-ce que la mécanique du solide ?
La mécanique du solide est la partie de la mécanique qui s'intéresse aux objets que l'on ne peut réduire en un point matériel. Cela permet notamment de décrire et modéliser les rotations de l'objet sur lui-même. CHAPITRE 1 : Champs de vecteurs et torseurs . CHAPITRE 2 : Cinématique du solide . CHAPITRE 3 : Cinétique du solide .
Quels sont les modules de la mécanique du solide?
Mécanique du Solide, Mécanique du Solide td, smp, smp s3 Next Article plus récent Previous Article plus ancien Rejoignez-nous sur Facebook ! exosup.com les modules SMPC algèbre 1 algèbre 2 analyse 1 analyse 2 analyse 3 Analyse Numérique et Algorithme atomistique Chimie Organique Cristallographie géométrique et cristallochimie I électricité 1
MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LA 201 SECTION B
ANNEE 2006-2007
UPMCA. ALLICHE
2 CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL - RAPPELS DE MATHEMATHIQUES1 Espace vectoriel et représentation d'un vecteur.
Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait 3 , de base 123(,,)beee formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de b :
112233
vveveve e ou bien sous la forme 3 1 ii i vv Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l'indice muet ou convention d'Einstein : ii vveL'indice répété i est l'indice muet sur lequel se fait l'opération. Cette convention n'est
applicable que dans le même monôme.L'espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une
base. On notera : 123(,,)beee 122
(;,,)ROeee
2 Opérations sur les vecteurs
2 - 1 Produit scalaire
Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur telle que la forme quadratique associée soit définie positive. Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E associe le réel et uv (,)fuv . Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des arguments.Notation :
(,).fuvuv La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété : UPMCA. ALLICHE
3 (,)..(,)fuvuvvufvu Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est positif et ne s'annule que si le vecteur .uu 0uRemarques :
On définie le produit scalaire de 2 vecteurs et uv dans une base par : 123(,,)beee 33
11 iijjijijiijj ij uvueveuveeueve Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : .0uv
Cette dernière propriété nous permet d'écrire que dans le cas d'une base orthonormée nous
avons : 1 si 0 si ijij ij ee ij D'où une autre écriture possible pour le produit scalaire :112233
iijjii uvueveuvuvuvuv Norme d'un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la norme euclidienne : 1/22 iii i uuuuuu On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit scalaire impliquant l'angle entre les deux vecteurs : ..cos(,uvuvuv)2 - 2 Produit mixte
Soit E un espace vectoriel de base
123(,,)beee . On appelle produit mixte des vecteurs de E, leur déterminant dans la base, et uvw 123
(,,)beee . On le note : UPMC
A. ALLICHE
4 (,,)(,,)uvwDetuvw On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.Propriétés :
Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est directement liée à celle des déterminants : (,,)(,,)(,,)uvwwuvvwu Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul : (,,)0,, liésuvwuvw Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.2 - 3 Produit vectoriel :
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
l'application ER wuvw est une forme linéaire.Il existe un unique vecteur
de E tel que : ,()(,,).wEwuvwwDémonstration :
est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument. unicité de la deuxième proposition :Supposons qu'il existe deux vecteurs et '
tel que : ,()(,,).'.wEwuvwww alors et donc le vecteur (').0wEw est orthogonal à tout vecteur de E. C'est un vecteur nul 'Existence :
Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de , et uvw UPMCA. ALLICHE
5 111222
333
uvw Puvw uvw
Nous aurons
123322133131221
(,,)det()()()uvwPwuvuvwuvuvwuvuvSi l'on pose pour
233211331212213
()()(uvuveuvuveuvuve)Nous obtenons alors :
(,,).uvwwLe vecteur
ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,uv et on note : uvRetour au produit mixte :
Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante : (,,).uvwuvwLes propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d'écrire :
(,,).(,,)(,,).uvwuvwvuwvwuuvwExpression du produit vectoriel :
Le produit vectoriel uv
peut s'écrire de divers manières, en particulier en se servant de l'expression du déterminant précédente, on aura :223311
12331122
uvuvuv uveee uvuvuv 3 esPropriétés du produit vectoriel :
a) L'application de EE dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative. b) et uvuuvv c) 0, colinéairuvuvFormule du double produit vectoriel
UPMCA. ALLICHE
6 ()(.)(.)uvwuwvuvw (démonstration en TD)2 - 4 Division vectoriel :
Soient deux vecteurs et vw
connus, existe-t-il un vecteur x tel que : vxwRemarque :
doit être non nul v doivent être orthogonaux et vw vSi existe, alors x x est aussi solution. Recherchons maintenant le vecteur en fonction de x et vw En multipliant vectoriellement par , on obtient : v ()vvxvw En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l'expression suivante : 2 1 (.)(.)vxvvvxvwxvvw v On peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus : 2 1( vvw vxvvvw vv 2 en développant ce double produit vectoriel, on obtient : 2 (.)vww vxw vCette solution n'est valable que si .0vw
3 - Identité de Lagrange
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
L'identité de Lagrange est définie par la relation suivante : 222 (.).uvuvuv 2
Démonstration :
2 ().()(,,)(,,)(().)uvuvuvuvuvvuvuvuvu UPMCA. ALLICHE
7 En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient : ()(.).(.).vuvvvuvuvD'où :
2222 .(.uvuvuv L'identité de Lagrange nous permet d'écrire une autre formulation du produit vectoriel : ().sin(,uvuvuv
Démonstration :
2222222
22.(.).(1cos(,)).(sin(,uvuvuvuvuvuvuv 2 et donc : .sin(,uvuvuv v
Orientation du produit vectoriel :
Considérant le plan passant par le point O et contenant les vecteursuet )ee . Soient (, une base de ce plan. Soit e 12 3 un vecteur perpendiculaire à ce plan et tel que 123(,,)eee constitue une base orthonormé directe de E : on dit que le plan est orienté pare 3 . On a alors l'expression du produit vectoriel : 3 ().sin(,).uvuvuve
4 - Applications
est l'aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteursu. uv ,v le produit mixte est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs (,,)uvw ,,uvw w uv v u u v hAire parallélogramme :
Aire = Base * Hauteur = ..covhvus
Volume parallélépipède :
UPMCA. ALLICHE
8Volume = Base * Hauteur = ..cos().(,,uvwuvwuvw
UPMCA. ALLICHE
9CHAPITRE 2 - TORSEURS
I- Applications antisymétriques.
Soit une application de l'espace vectoriel E dans E : ( )uMLuML est antisymétrique : , uvExE
- uLvvLu Propriété : Toute application antisymétrique est linéaire. 12 , uuE et 12 , on a :122112
, LuuLuLu 2 Soit maintenant la matrice représentant l'application par rapport à la base orthonormée directe de E : L 123, , eee
111213
212223
313233
l l lLl l l
l l l avec11111111
- - 0 jijijiji leLeeLel leLeeLelpourtoutij r rPosons arbitrairement
123132231
- ; ; - lrlrl d'où on remarque alors que 3231
21
0 - 0 - - 0 rr Lr rr uE LuRu où est appelé le vecteur caractéristique de l'application antisymétrique L .
112233
Rrerer
e UPMCA. ALLICHE
10Expression du vecteur caractéristique :
Si sont les vecteurs unitaires de la base orthonormée de l'espace vectoriel E, alors on a la relation suivante : 1323e,e,e 3 1 1 2 ii i ReLe Démonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ; 333
111
()()(.).(.).2 iiiiiiii iii eLeeReeeReReR
Champ antisymétrique :
Le champ ()QQ
est antisymétrique, s'il existe une application antisymétrique L, telle que :MetP :
M P LPM
Soit , : MPMPRMP
Propriété : Multiplions scalairement par MP
or . 0 . .MMPPMPMPSPM
MPSPMMMPPMP
Le vecteur M
a la même projection que P sur la directionPM.Un champ antisymétrique est équiprojectif.
UPMCA. ALLICHE
11 M P M PDémontrons la réciproque
. . MMPPMP En insérant un point fixé O, l'expression devient : . (-) . (-)MOPOMPOPOMPar ailleurs nous pouvons aussi écrire :
MOMMOPPOMPOP
OOMMOPPOMOOP
OMOPOPMO
On définit une application L telle que :
LOPPO LOMOMCe qui nous donne :
.().()OMLOPOPLOM L'application L est donc bien antisymétrique. De plus nous avons = +()POLOP P est donc un champ de vecteur associé à une application antisymétrique. UPMCA. ALLICHE
12II - Torseurs.
1 - Définition
On appelle torseur T l'ensemble d'un champ antisymétrique m et de son vecteur R caractérisé en un point M (quelconque) par le vecteur Mquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] question existentielle sans réponse
[PDF] questions sans réponses absurdes
[PDF] question marrante pour quizz
[PDF] quiz biblique pour jeunes pdf
[PDF] mecanique du solide physique mp
[PDF] quiz biblique avec reponse pdf
[PDF] quiz biblique nouveau testament
[PDF] jeux bibliques gratuits en pdf
[PDF] mecanique du solide moment dinertie
[PDF] jeux bibliques gratuits ? imprimer
[PDF] fable denoncant injustice
[PDF] mécanique du solide indéformable cours et problèmes résolus
[PDF] fable qui dénonce une injustice
[PDF] cours mécanique du solide pdf