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Universit´e Lille I2009/10

Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308Fiche n

◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientExercice 1SoientG,G?deux groupes etfun homomorphisme deGdansG?. Montrer que

siA?G, alorsf(?A?) = (?f(A)?. Montrer par contre qu"il est faux que siA??G?, alors f -1(?A??) =?f-1(A?)?. Exercice 2SoitGun groupe tel que l"applicationx→x-1soit un morphisme. Montrer que

Gest commutatif.

Exercice 3D´eterminer tous les homomorphismes de groupes deZ/3ZdansZ/7Z, deZ/3Z dansZ/12Z, deZ/12ZdansZ/3Z. Exercice 4SoientGun groupe etn?1 un entier tels que l"applicationx→xnsoit un automorphisme deG. Montrer que pour tout ´el´ementxdeG,xn-1appartient au centre deG. Exercice 5Montrer que le groupe des automorphismes du groupeZ/2Z×Z/2Zest isomorphe au groupe sym´etriqueS3. Exercice 6Montrer qu"un sous-groupe d"indice 2 dans un groupeGest distingu´e dansG. Exercice 7SoitGun groupe etHun sous-groupe. On suppose que le produit de deux classes `a gauche moduloHest une classe `a gauche moduloH. Montrer queHest distingu´e dansG. Exercice 8SoitGun groupe et?une relation d"´equivalence surG. On suppose que cette relation est compatible avec la loi de groupe, c"est `a dire que ?x,y?G?x?,y??G x?x?ety?y?alorsxy?x?y? Montrer que la classeHde l"´el´ement neutre 1 est un sous-groupe distingu´e deGet que ?x,x??G x?x?est ´equivalent `ax?x-1?H Exercice 9SoitGun groupe etK?H?Gdeux sous-groupes. On suppose queHest distingu´e dansGet queKest caract´eristique dansH(i.e. stable par tout automorphisme de

H). Montrer qu"alorsKest distingu´e dansG.

Donner un exemple de groupeGet de deux sous-groupesK?H?G,H´etant distingu´e dans GetK´etant distingu´e dansH, maisKn"´etant pas distingu´e dansG. Exercice 10(a) Montrer que pour tous entiersm,n >0 premiers entre eux, les deux groupes (Z/mnZ)×et (Z/mZ)××(Z/nZ)×sont isomorphes. En d´eduire que?(mn) =?(m)?(n), o`u ?est la fonction indicatrice d"Euler. (b) Le groupe multiplicatif (Z/15Z)×est-il cyclique? Montrer que (Z/8Z)×?Z/2Z×Z/2Z, que (Z/16Z)×?Z/4Z×Z/2Z. Etudier le groupe multiplicatif (Z/24Z)×. 1 Exercice 11(a) Montrer que simetnsont des entiers premiers entre eux et qu"un ´el´ement zd"un groupeGv´erifiezm=zn=eo`ued´esigne l"´el´ement neutre deG, alorsz=e. (b) Montrer que simetnsont deux entiers premiers entre eux, l"application

φ:μm×μn→μmn

qui au couple (s,t) fait correspondre le produitstest un isomorphisme de groupes

Exercice 12Montrer que les groupesμ4etμ2×μ2ne sont pas isomorphes. De fa¸con g´en´erale

montrer que simetnsont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupesμmnet m×μnne sont pas isomorphes. Exercice 13Soitnetddeux entiers tels queddivisen. On d´efinit une applicationf:μn→μd qui `asassociesn/d. Montrer quefest un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est n/d. Exercice 14Soitf:G→Hun morphisme de groupes finis. SoitG?un sous-groupe deG. Montrer que l"ordre def(G?) divise les ordres deG?et deH. Exercice 15Soitf:G→Hun morphisme de groupes finis. SoitG?un sous-groupe deG d"ordre premier `a l"ordre deH. Montrer queG??ker(f). Exercice 16SoitGun groupe fini etHetKdeux sous-groupes deG. On suppose queHest distingu´e dansG, que|H|et|G/H|sont premiers entre eux et|H|=|K|. Montrer queH=K.

Exercice 17Soitfun morphisme de groupesf:Q→Q×>0,Q´etant muni de l"addition etQ?>0muni de la multiplication. Calculerf(n) en fonction def(1) pour tout entiern >0. Montrer

que les deux groupes pr´ec´edents ne sont pas isomorphes. Exercice 18Trouver tous les morphismes du groupe additifQdans lui mˆeme.

Mˆeme question deQdansZ.

Mˆeme question deZ/mZdansZ.

Exercice 19Etant donn´es deux entiersm,n >0, d´eterminer tous les morphismes de groupe deZ/mZdansZ/nZ, puis tous les automorphismes deZ/nZ. Exercice 20SoitGun groupe etHun sous groupe distingu´e deGd"indicen. Montrer que pour touta?G,an?H. Donner un exemple de sous-groupeHnon distingu´e deGpour lequel la conclusion pr´ec´edente est fausse. Exercice 21SoitGun groupe fini etHun sous-groupe distingu´e d"ordrenet d"indicem. On suppose quemetnsont premiers entre eux. Montrer queHest l"unique sous-groupe deG d"ordren. Exercice 22Montrer que SLn(R) est un sous-groupe distingu´e du groupe GLn(R) et que le groupe quotient est isomorphe `aR×. 2

Exercice 23On consid`ere les groupes suivants :

T={z?C||z|= 1}μn={z?C|zn= 1}μ∞={z?C|?n zn= 1} (a) Montrer les isomorphismes suivants : R/Z?TC×/R×>0?TC×/R×?T T/μn?TC×/μn?C× (b) Montrer queμ∞?Q/Z. Quels sont les sous-groupes finis deμ∞? (c) Montrer qu"un sous-groupe de type fini deQcontenantZest de la forme1q

Z. En d´eduire

la forme des sous-groupes de type fini deQ/Zet deμ∞. (d) Soitpun nombre premier. Montrer queμp∞={z?C|?n?Nzpn= 1}est un sous-groupe deμ∞. Est-il de type fini? Exercice 24SoitGun sous-groupe d"indice fini du groupe multiplicatifC×. Montrer que

G=C×.

Exercice 25SoitGun groupe etHun sous-groupe contenu dans le centreZ(G) deG. Montrer queHest distingu´e dansGet que, si le groupe quotientG/Hest cyclique,G=Z(G). Exercice 26Montrer qu"un groupe d"ordrep2o`upest un nombre premier est ab´elien. Exercice 27SoitGun groupe ab´elien de cardinalpqo`upetqsont deux nombres premiers distincts. Montrer queGest un groupe cyclique.

Exercice 28(Th´eor`eme de Wilson).

Montrer qu"un nombre entierpest premier ssi (p-1)! + 1≡0 [mod p].

Exercice 29(Th´eor`eme de Cauchy).

SoitGun groupe ab´elien d"ordrem.

(a) Montrer que sixn= 1 pour toutx?G, alorsmdivise une puissance den. (b) Soitpun nombre premier divisantm. Montrer qu"il existe un ´el´ement deGdont l"ordre est divisible parp. (c) En d´eduire que sip|m, il existe un ´el´ement deGd"ordrep. Exercice 30(Indicateur d"Euler?(n)). On consid`ere le groupe additifZ/nZ(n?2). (a) Montrer que pour touta?Z, ¯aest un g´en´erateur deZ/nZssiaetnsont premiers entre eux. On note?(n) le nombre de g´en´erateurs deZ/nZ. (b) Montrer que sipest premier,?(pα) =pα-pα-1(o`uα?1 est un entier). (c) Montrer que simetnsont premiers entre eux, alors?(mn) =?(m)?(n). En d´eduire que pourn=pα11···pαkk, on a?(n) =n(1-1p

1)···(1-1p

k). (d) Montrer que pour tout entiern?1,? d|n?(d) =net que cette propri´et´e caract´erise la fonction?. Exercice 31(a) SoitGun groupe ab´elien fini d"ordren. On suppose que pour tout diviseur dden, l"ensembleG(d) ={x?G|xd= 1}a au plusd´el´ements. Montrer qu"il y a dansG exactement?(d) ´el´ements d"ordred.

(b) En d´eduire que siKest un corps fini, alors le groupe multiplicatif (K×,×) est cyclique.

3

Exercice 32(a) Soitpun nombre premier. Montrer que tout morphisme de groupes entreFnpetFmpest une applicationFp-lin´eaire.

(b) Montrer que le groupe des automorphismes deZ/pZest isomorphe au groupe multiplicatif F ?p. (c) D´eterminer le nombre d"automorphismes deFnp. Exercice 33D´eterminer le centre du groupeGLn(Fp) des automorphismes de (Fp)n. Exercice 34Soitpun nombre premier. Montrer qu"un groupe ab´elien fini, dont tous les ´el´ements diff´erents de l"´el´ement neutre sont d"ordrep, est isomorphe `a (Z/pZ)n. Exercice 35(a) SoitGun groupe etHun sous-groupe distingu´e deG. On note?la surjection canonique?:G→G/H. Montrer que l"ordre d"un ´el´ementxdeGest un multiple de l"ordre de?(x). (b) Pour toutx?Gon poseτxl"application deGdansGd´efinie parτx(y) =xyx-1. Montrer queτxest un automorphisme deGet que l"application x→τx est un morphisme de groupes deGdans Aut(G). Quel est le noyau de ce morphisme? (c) On suppose queGest fini et queHest un sous-groupe distingu´e dont l"ordre est le plus petit nombre premierpdivisant l"ordre deG. Montrer que pour toutx?Gl"ordre de la restriction `aHdeτxest un diviseur dep-1 et de l"ordre deG. En d´eduire queτxrestreint `aHest l"identit´e pour toutxet donc queHest contenu dans le centre deG. Exercice 36SoitGun groupe. On appelle groupe des commutateurs deGet l"on noteD(G) le sous-groupe deGengendr´e par les ´el´ements de la formexyx-1y-1. Montrer queD(G) est distingu´e dansGet que le quotientG/D(G) est ab´elien. Montrer queD(G) est le plus petit sous-groupe distingu´e deGtel que le quotient deGpar ce sous-groupe soit ab´elien. Exercice 37SoitGun groupe d"ordrep3o`upest un nombre premier. Montrer que siGn"est pas commutatif,Z(G) =D(G) et que ce sous-groupe est d"ordrep. 4

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Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308Fiche n ◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientIndication 1Standard.

Indication 2(xy)-1=x-1y-1?xy=yx.

Indication 10(a) est standard. En utilisant (a), on obtient (Z/15Z)×?Z/2Z×Z/4Z,

lequel n"est pas cyclique puisque tous les ´el´ements sont d"ordre 1, 2 ou 4. Le reste ne pose pas

de grandes difficult´es.

Indication 11(a) Bezout. (b)φest injectif et ensembles de d´epart et d"arriv´ee ont mˆeme

cardinal.

Indication 13e2ikπ/d=?e2ikπ/n?n/d(k?Z).

Indication 14f(G?) est un sous-groupe deHisomorphe `aG?/(ker(f)∩G?).

Indication 15R´esulte de l"exercice 14.

Indication 18Les morphismes du groupe (Q,+) dans lui-mˆeme sont de la formex→axavec a?Q. Les morphismes du groupe (Q,+) dans (Z,+) sont, parmi les pr´ec´edents, ceux dont l"image est dansZ; il n"y a que le morphisme nul. Les morphismes du groupe (Z/mZ,+) dans

(Z,+) sont d´etermin´es par l"entierf(1) qui doit v´erifiermf(1) = 0; il n"y a que le morphisme

nul, sim?= 0. Indication 19L"ensemble Hom(Z/mZ,Z/nZ) des morphismes de groupe deZ/mZdans Z/nZest un groupe ab´elien pour l"addition naturelle des morphismes. On noteδle pgcd dem etnetm?etn?les entiersm/δetn/δ. Sip:Z→Z/mZd´esigne la surjection canonique, la correspondance associant `a toutf?Hom(Z/mZ,Z/nZ) l"´el´ementf◦p(1) induit un isomor- phisme de groupe entre Hom(Z/mZ,Z/nZ) et le sous-groupen?Z/nZdu groupe additifZ/nZ, lequel est isomorphe `aZ/δZ. L"ensemble Aut(Z/nZ) des automorphismes deZ/nZest un groupe pour la composition. La correspondance pr´ec´edente induit un isomorphisme entre Aut(Z/nZ) et le groupe (Z/nZ)×des inversibles deZ/nZ. Indication 22Le morphisme "d´eterminant" de GLn(R) dansR×est surjectif et de noyau SL n(R). Indication 26Utiliser l"exercice 25 avecH=Z(G) et le fait que le centre d"unp-groupe est non trivial. 1 Indication 27Montrer d"abord que siaest d"ordrepetb?G\< a >, alorsbest d"ordreq oupq). Indication 29Pour le (a), faire une r´ecurrence surmen introduisant le sous-groupeHen- gendr´e par un ´el´ement deGet le groupe quotientG/H. Utiliser (a) pour montrer (b), puis montrer (c). Indication 31Pour le (a), montrer d"abord que s"il existe un ´el´ementx?Gd"ordred, alors ?x?=G(d)). Pour le (b), utiliser le (d) de l"exercice pr´ec´edent.

Indication 33Exercice classique d"alg`ebre lin´eaire :Z(GLn(Fp)) =F×p·Idn(o`u Idnd´esigne

la matrice identit´e d"ordren). Indication 35Les questions (a) et (b) ne pr´esentent aucune difficult´e. Pour la question (c), noter que, pour toutx?G, on a (τx)|G|= 1, et que la restriction deτx`a Happartient `a Aut(H)?Aut(Z/pZ) (et utiliser l"exercice 19). Indication 36Aucune difficult´e. Observer que tout conjugu´e d"un commutateur est un com- mutateur et qu"un quotientG/Hest ab´elien si et seulement si pour tousu,v?G, on a uvu -1v-1?H. 2

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Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308Fiche n

◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientCorrection 4Soientx,y?Gquelconques. De (xy)n=xnyn, on d´eduit (yx)n-1=xn-1yn-1

puis (yx)n=yxnyn-1et doncynxn=yxnyn-1, ce qui donneyn-1xn=xnyn-1. Ainsi, pour tout y?G,yn-1commute `a tous les ´el´ements de la formexnavecx?G, et est donc dans le centre deG, puisque l"applicationx→xnest suppos´ee surjective. Correction 5Tout automorphisme?du groupeG=Z/2Z×Z/2Zpermute les trois ´el´ements

d"ordre 2, c"est-`a-dire l"ensembleG?des trois ´el´ements non triviaux. La correspondance qui `a

??Aut(Z/2Z×Z/2Z) associe sa restriction `aG?induit un morphismeχ: Aut(Z/2Z× Z/2Z)→S3. Tout morphisme??Aut(Z/2Z×Z/2Z) ´etant d´etermin´e par sa restriction `aG?, ce morphismeχest injectif. De plus, tout automorphisme lin´eaire (pour la structure deZ/2Z-espace vectoriel deZ/2Z×Z/2Z) est un automorphisme de groupes. Il y a 6 tels automorphismes (autant qu"il y a de bases). L"image deχcontient donc au moins 6 ´el´ements. Comme c"est un sous-groupe deS3, c"estS3lui-mˆeme etχest un isomorphisme. Correction 6Le sous-groupeHest `a la fois la classe `a gauche et la classe `a droite modulo Hde l"´el´ement neutre. Si [G:H] = 2, son compl´ementaireHcdansGest donc l"autre classe, `aquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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