Groupes anneaux
anneaux
MéTHodeS eT exerciceS
Les corrigés des exercices. 10. Thèmes abordés dans les exercices. • Établir une structure de groupe de sous-groupe. • Calculs dans un groupe.
GROUPES Exercices corrigés de Algebra Hungerford
https://math.umons.ac.be/ga/Groupes02.pdf
Groupes sous-groupes
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf
Algèbre - Cours de première année
d'une première structure algébrique avec la notion de groupe. site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours
Algèbre 1
Corrigé des exercices du chapitre 1. 133. Corrigé des exercices du On munit l'ensemble G d'une structure de groupe en considérant la loi suivante :.
Groupes Examen final + corrigé
11 mai 2016 Les questions de cet exercice sont indépendantes. On attend une rédaction concise et précise. 1. Soit G un groupe abélien a ? G d'ordre m
TD3 : Groupes abéliens de type fini
Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en G = (Z/187Z)× sous la forme donnée par le théor`eme de structure des groupes.
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Exercices Corrigés. 28. Chapitre 4. Structures Algébriques avec Exercices Corrigés. 35. 1. Lois De Composition Internes. 35. 2. Groupes.
EXERCICES SUR LES GROUPES Exercice 1. Groupes diédraux
(2) En déduire la structure du groupe Aut(Z/pZ × Z/pZ × Z/pZ) en terme de groupe Corrigés. Solution de l'exercice 1. On note O le centre du polygone.
Exercices corrigés -Groupes - BibMath
Groupes anneaux corps Groupes anneaux corps Pascal Lainé 1 Groupes anneaux corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative non associative et que est élément neutre 2 On munit de la loi de composition interne définie par : ? Montrer que est commutative
Éléments de théorie des groupes Solutions des exercices
Éléments de théorie des groupes Solutions des exercices Éric GUIRBAL Version: bd44c09 (2022-11-08) Compilé le 8 novembre 2022 Ce document est distribué selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Partage à l’identique 3 0 France https://creativecommons org/licenses/by-nc-sa/3 0/fr/
Structures Algébriques 1 : Résumé de cours - u-bordeauxfr
Un groupe est la donnée d’un ensemble G et d’uneloi de composition interne G G ! G (xy) 7!x y qui véri?e les propriétés suivantes : 1 )la loi est associative : 8(xyz) 2G3 x (y z) = (x y)z 2 )il existe un élément e 2G qu’on appelleélément neutre qui est tel que : forallx 2G x e = e x = x
ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 - Université Clermont Auvergne
1 Groupes et sous-groupes 1 1 Notion de groupe 1 1 1 D efinition Soit G un ensemble non-vide On appelle loi de composition interne dans G ou op eration interne dans G toute application ? : G G ! G Une telle loi de composition interne permet donc d’associer a tout couple (x;y) d’ el emen ts de G
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Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique; (iii) Montrez que pour djn il existe un unique sous-groupe d’ordre d de Z=nZ;
Comment calculer la composition d'un groupe ?
Soit (G, ?) un groupe. Pour a ? G, on note ?a: G ? G défini par ?a(x) = axa ? 1. Démontrer que ?a est un endomorphisme de G . Vérifier que, pour tous a, b ? G, ?a ? ?b = ?ab . Montrer que ?a est bijective et déterminer son inverse. En déduire que ? = {?a; a ? G} muni du produit de composition est un groupe.
Comment montrer qu'un ensemble est un groupe ?
Soit G un ensemble muni d'une loi de composition interne ? associative, qui possède un élément neutre à droite e (ie pour tout x de G, x. e = x) et tel que tout élément x possède un inverse à droite x ? (ie xx ? = e ). Montrer que G est un groupe. Exercice 7 - Sous-groupes ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Comment calculer les sous-groupes d'un produit matriciel ?
Montrer que l'ensemble G des matrices de la forme (1 x z 0 1 y 0 0 1) est un groupe pour le produit matriciel. Déterminer son centre, c'est-à-dire les matrices A de G telles que AB = BA pour tout B ? G. Exercice 11 - Quelques sous-groupes usuels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit (G, ?) un groupe.
Comment calculer l’ordre d’un sous-groupe ?
Sig 2 G, son ordre est un diviseur dencar le sous-groupe engendr¶e pargest de cardinal son ordre, et le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe (cf. 1 cours). Ainsi pourddivisantn, on noteAd(resp.Hd) l’ensemble des ¶el¶ements deGd’ordred (reps. divisantd): en particulier on aHd=fg 2 G = gd= 1g.
Algèbre 1
Cécile Armana
Licence de mathématiques L3
Université de Franche-Comté
2018-2019
IITable des matières
Présentation de l"unité iii
I Le cours 1
1 Permutations d"un ensemble 3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Permutations et groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2 Cycles et décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.3 Signature d"une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112 Généralités sur les groupes 17
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.4 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . .
282.5 Produit direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303 Ordre d"un élément, classes modulo un sous-groupe 35
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Ordre d"un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353.2 Le groupe additifZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3.3 Classification des groupes monogènes et des groupes cycliques . .
413.4 Classes à gauche et à droite modulo un sous-groupe . . . . . . .
434 Groupes quotients, théorème d"isomorphisme 47
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
474.2 Groupe quotient, théorème d"isomorphisme . . . . . . . . . . . .
504.3 Sous-groupes d"un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . .
544.4 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554.5 Groupe diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58i ii Table des matières
5 Actions de groupes, théorèmes de Sylow 61
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1 Action d"un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2 Stabilisateurs, orbites, équation des classes . . . . . . . . . . . . .
645.3p-groupes et théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
6 Arithmétique dansZ75
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.1 L"anneauZet son arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
6.2 L"anneauZ/nZet son arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . .85
6.3 Constructions deNet deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Annexe 1 : relation d"équivalence, ensemble quotient 99 Annexe 2 : synthèse des groupes rencontrés 103II Les exercices 105
Exercices du chapitre 1 107
Exercices du chapitre 2 111
Exercices du chapitre 3 115
Exercices du chapitre 4 119
Exercices du chapitre 5 123
Exercices du chapitre 6 127
III Les corrigés des exercices 131
Corrigé des exercices du chapitre 1 133
Corrigé des exercices du chapitre 2 141
Corrigé des exercices du chapitre 3 151
Corrigé des exercices du chapitre 4 159
Corrigé des exercices du chapitre 5 169
Corrigé des exercices du chapitre 6 177
Présentation de l"unité
L"unitéAlgèbre 1vise à :
-d"une part acquérir des connaissances de base et avancées sur lesgroupes, qui sont des structures algébriques fondamentales; d"autre part étudier l"arithmétiquedes entiers, dans laquelle intervient la théorie des groupes, et qui fournit aussi les premiers exemples d"anneaux que sontZetZ/nZ. L"étude des anneaux sera développée et approfondie au semestre 6 avec l"unitéAlgèbre 2.
Prérequis
Nous supposerons acquis les notions et résultats usuels de théorie des en- sembles, ainsi que l"arithmétique élémentaire. Pour cette dernière, une partie du chapitre 6 peut tenir lieu de rappels et être lue indépendamment des chapitres précédents. Afin de mieux comprendre les enjeux de cette unité et de la replacer dans un contexte mathématique plus général, le cours sera régulièrement illustré d"exemples et exercices faisant appel à vos connaissances antérieures d"algèbre linéaire et bilinéaire.Le cours
Le contenu du cours s"organise selon le plan suivant :Chapitre 1 :Permutations d"un ensemble;
Chapitre 2 :Généralités sur les groupes;
Chapitre 3 :Ordre d"un élément, classes modulo un sous-groupe; Chapitre 4 :Groupes quotients, théorème d"isomorphisme; Chapitre 5 :Actions de groupes, théorèmes de Sylow;Chapitre 6 :Arithmétique dansZ.
Les chapitres 1 à 5 portent sur la théorie des groupes. Le chapitre 6 est consacréà l"arithmétique des entiers. Il n"est pas tout à fait indépendant des précédents :
on y démontre certains résultats sur les groupes ou qui utilisent la théorie des groupes. Inversement, les cinq premiers chapitres peuvent faire appel à des résultats d"arithmétique élémentaire qui sont supposés connus (en cas de besoin, des rappels sont donnés dans le chapitre 6). iii iv Table des matièresLe cours est suivi de deux annexes :
-la première, page 99, reprend, sans démonstration, des prérequis sur les relations d"équivalences et leurs ensembles quotients, indispensables pour aborder cette unité; la seconde, page 103, présente une synthèse des principaux groupes et procédés de construction de groupes rencontrés dans le cours.Les exercices
Les différents types d"exercices sont identifiés par la nomenclature suivante qui concerne la priorité d"apprentissage (et non nécessairement la difficulté) : exercice fondamental exercice important exercice d"approfondissement. Au fil de chaque chapitre seront indiqués les exercices qui peuvent être traités. Il est conseillé de travailler prioritairement tous les exercices signalés comme fondamentaux, d"application directe du cours, ou importants. Les exercices d"ap- profondissement sont aussi à étudier : ils ne sont pas toujours plus difficiles que les autres et permettent de consolider vos connaissances en vue de l"examen.Une bibliographie
Une liste d"ouvrages couvrant les thèmes de l"unité est donnée ci-dessous. Il n"est pas indispensable de les consulter mais ils peuvent apporter à ce cours, compléments, précisions, et exercices d"entraînement supplémentaires. Josette Calais,Éléments de théorie des groupes, Presses Universitaires deFrance, 1998
Jean Delcourt, Théorie des groupes, Eyrolles, 2007 Jean-Pierre Escofier, Toute l"algèbre de la licence, Dunod, 2011.Première partie
Algèbre 1
Le cours
1Chapitre 1
Permutations d"un ensemble
IntroductionNous commençons ce cours par l"étude d"un groupe particulier : le groupe symétrique c"est-à-dire le groupe des permutations d"un ensemble. Il joue un rôle important pour des raisons historiques (c"est par son étude que la notion de groupe abstrait a commencé à apparaître, notamment via les travaux de Galois) et mathématiques (le théorème de Cayley, qui sera démontré au chapitre 2, affirme que tout groupe peut se voir comme sous-groupe d"un groupe symétrique). Vous avez déjà rencontré le groupe symétrique à travers la notion de détermi- nant d"une matrice en algèbre linéaire. Comme il se manipule de manière concrète, c"est un exemple de groupe qui vous sera utile pour appréhender les concepts fondamentaux des chapitres suivants.1.1 Permutations et groupe symétrique
SoitEun ensemble non vide.
Définition 1.1
Unepermutation deEest une bijection deEdansE. L"ensemble des permutations deEest notéSE, ou encoreSE, et appelé legroupe symétrique deE. Un cas particulier important est celui oùEest un ensemble fini. S"il est de cardinaln, alors quitte à numéroter ses éléments on peut supposer que E={1,...,n}et on note son groupe symétriqueSn. Les éléments du groupe symétrique, c"est-à-dire les permutations deE, sont souvent désignés par la lettre grecqueσ(sigma).Proposition 1.2Le cardinal deSnestn!.
Démonstration.
Une permutationσde{1,...,n}est déterminée par len-uplet de ses valeurs(σ(1),...,σ(n)), qui doivent être deux à deux distinctes dans{1,...,n} 34 Chapitre 1. Permutations d"un ensemblepar injectivité deσ. De plus, à toutn-uplet(a1,...,an)avecai? {1,...,n}et
lesaideux à deux distincts, on associe l"applicationσ:{1,...,n} → {1,...,n} donnée parσ(i) =ai; l"applicationσest alors injective par construction, et bijective car c"est une application injective entre deux ensembles ànéléments; doncσest une permutation. DénombrerSnrevient donc à dénombrer lesn-uplets(a1,...,an)avecai?1,...,n}et lesaideux à deux distincts. Poura1, il y anchoix possibles dans
{1,...,n}. Le choix dea1étant effectué, il y a ensuiten-1choix possibles pour a2cara2?=a1. De même il y a ensuiten-2choix possibles poura3, puisque a3?=a1eta3?=a2. On procède ainsi par récurrence surn: le nombre de choix possibles pour len-uplet(a1,...,an)estn(n-1)···1 =n!. Pour bien se rendre compte du nombre d"éléments du groupe symétriqueSn, rappelons les premières valeurs prises par la factorielle1:n12345678910 n!126241207205040403203628803628800 On représente de manière conventionnelle la permutationσsous forme d"un tableau à deux lignes comme suit : ?1 2···nσ(1)σ(2)···σ(n)?
Exemple 1.3.Les deux éléments deS2sont :
?1 2 1 2? ,?1 2 2 1? et les six éléments deS3sont : e=?1 2 31 2 3?
,s1=?1 2 3
2 3 1?
,s2=?1 2 3
3 1 2?
t1=?1 2 3
1 3 2?
,t2=?1 2 3
3 2 1?
,t3=?1 2 3
2 1 3?
Composer deux permutations d"un même ensembleEdonne à nouveau une permutation deE. La composition, notée◦et qui se lit " rond », est donc une loi interne sur l"ensembleSE.Exemple 1.4.DansS3, on a
(s1◦t3)(1) =s1(t3(1)) =s1(2) = 3, (s1◦t3)(2) =s1(t3(2)) =s1(1) = 2, (s1◦t3)(3) =s1(t3(3)) =s1(3) = 11. On rappelle quen!se lit " factoriellen».1.1. Permutations et groupe symétrique 5doncs1◦t3=
?1 2 33 2 1?
=t2. Un calcul similaire donnet3◦s1= ?1 2 31 3 2?
=t1.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] calcul mfz flexion
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