[PDF] ESSENTIEL Optique Introduction `a loptique ondulatoire

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PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Introduction a l'optique ondulatoire Modele scalaire, intensite, eclairement, chemin optique La lumiere est uneonde electromagnetique, il s'agit de la propagation des champs electrique et magnetique, grandeurs vectorielles. Localement, les ondes electromagnetiques progressives ont une structure transversale et leur amplitude varie en 1r (cf rayonnement dipolaire). Dans une petite zone autour d'un point M loin de la source, on peut considerer l'amplitude constante et la direction du champ electrique constante; seule la phase varie de facon notable.

La lumiere naturelle (soleil, lampes usuelles) est non polarisee (c'est a dire toutes les directions du

champ electrique sont equiprobables dans le plan d'onde local). On peut traiter alors la lumiere comme

une onde scalairetant que les milieux traverses sont isotropes. L'oeil est sensible a l'intervalle de longueurs d'onde[400nm,750nm]; c'estle domaine du visible. Dans ce domaine, les frequences sont de l'ordre de quelques1014s-1, les periodes sont de l'ordre de quelques10-15s. L'oeil a son maximum d'acuite visuelle dans le vert jaune560nm. L'intensite lumineuseemise par une source est proportionnelle a la moyenne temporelle du carre du signal lumineux au point M.I(M) =K?s2(M,t)?=K2 ss?. Postulat des recepteursOn postule que l'impression au point M sur une plaque photo ou l'eclai- rement au point M d'un ecran ou la reponse au point M d'un photodetecteur est proportionnelle a l'intensite recue au point M. Le recepteur oeil humain a un temps de reponse de l'ordre de0,1s. Pour un milieu quelconque, on denit lechemin optiquesur un rayon lumineux curviligne quelconque de A a B parL= (AB) =?B

An(M)dsM.L= (AB) =?B

An(M)dsM=?tBtAn(M)v(M)dt=?tBtAcdt=c(tB-tA). On peut donc interpreter le chemin optique comme le chemin parcouru dans le vide pendant la duree reelle mise pour aller de A a B.

Soient O et M appartenant au m^eme rayon ou a deux rayons paralleles dans un milieu d'indice constant,

le dephasage vaut :φ M/O=-→k·--→OMavec-→k=2π nλ

-→uet-→ule vecteur unitaire du rayon lumineuxTheoreme de MalusDans un milieu isotrope, les normales aux surfaces d'onde sont les rayons

lumineuxquelque soit le nombre de refractions et de re exions.

Dephasages supplementaires

Lors d'une re

exion sur un metal dite re exion metallique, l'onde re echie se dephase deπpar rapport a l'onde incidente.

Lors d'une re

exion d'un milieu d'indicen1sur un milieu d'indice plus eleven2> n1, l'onde re echie

se dephase deπen plus par rapport a l'onde incidente tandis que l'onde transmise reste en phase avec

l'onde incidente. 1

PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Interferences a deux ondes en lumiere monochromatique

Deux sources coherentessontdeux sources ponctuelles(lumineuses en optique)eternelles de m^eme pulsationωnoteesS1etS2en relation dephase constante. Elles emettent respectivement deux signauxs1(t) =ao1cosωtets2(t) =ao2cos(ωt-?o)avec le dephasage?oconstant appele dephasage a la source de 2 par rapport a 1. Sa constance ainsi que le caractere eternel des deux sources assure la coherence des deux sources de m^eme pulsation. Les deux signaux se propagent et atteignent le point M ou ils valent respectivements1(M,t) = a o1cosω(t-(S1M)/c)ets2(M,t) =ao2cos(ω(t-(S2M)/c)-?o). Ils s'additionnent et on obtient au point Ms(M,t) =s1(M,t) +s2(M,t) =ao1cosω(t-(S1M)/c) + a o2cos(ω(t-(S2M)/c)-?o). On denit le dephasage au point M entre les deux signauxΦ2/1(M) =?o+2πλ

δ2/1(M)

On denit la dierence de marche optiqueδ2/1(M) = (S2M)-(S1M)I(M) =Io1+Io2+ 2⎷I

o1Io2cosΦ2/1(M)I(M) = 2Io(1 + cosΦ2/1(M))siIo1=Io2Cette formule appeleeformule de Fresnelfait intervenirIo1intensite recue au point M avec la seule

sourceS1etIo2intensite recue au point M avec la seule sourceS2, le seul terme dependant de M est le dephasageΦ2/1(M)entre la vibration lumineuse issue de la source2et celle issue de la source1 arrivant au point M.

Le dephasage est primordial quand on s'interesse aux interferences entre deux signaux et donc le calcul

de la dierence de marche optique. Lechamp d'interferencesest le lieu des points M pouvant ^etre atteint par les deux signaux.

Pour une m^eme intensite, le lieu des points M est une famille de franges d'interferences de m^eme phase

modulo2π. SiΦ2/1(M) =m2πavec m entier, lesinterferencessontconstructivesau point M. L'intensite y est maximale noteeImax. On parle defranges brillantes. SiΦ2/1(M) = (2m+1)πavec m entier, lesinterferencessontdestructivesau point M. L'intensite y est minimale noteeImin. On parle defranges sombres. SiImin= 0, on parle de franges noires. Par denition, le contraste ou visibilite des franges est :C=Imax-IminI max+Imin=|V| I max= (⎷I o1+⎷I o2)2etImin= (⎷I o1-⎷I o2)2. Le contraste est maximal et vaut1quandImin= 0alorsIo1=Io2. Le contraste est nul siIo1?Io2 ouIo1?Io2. 2

PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Le probleme possede la symetrie de revolution par rapport a l'axeS1S2. Si le milieu est homogene

d'indicenconstant, cela correspond a deshyperbolodes de foyersS1etS2. Dans un plan meridien (donc contenant l'axeS1S2), cela correspond a des hyperboles de foyersS1etS2.

Forme des franges d'interferences selon la position de l'ecranSi l'ecranestperpendiculairea l'axeS1S2, l'intersection des hyperbolodes avec l'ecran est une

famille de cercles concentriques d'axeS1S2; on parle defranges circulaires ou d'anneaux. Si l'ecranestparallelea l'axeS1S2mais sans le contenir, l'intersection des hyperbolodes avec l'ecran

est une famille d'hyperboles. Mais si la distance de l'ecran aux sources est tres grande devant la distance

S

1S2alors ces franges sont pratiquement des segments de droite. On parle defranges rectilignes.

On denit l'ordre d'interferencesen un point parp(M) =Φ2/1(M)2π. L'inter^et est de raisonner avec

des nombres entiers (franges brillantes) ou demi entiers (franges sombres). Pour passer d'une frange a

une autre consecutive de m^eme nature, l'ordre varie de±1.

Calcul des dierences de marche optique et des dephasagesSiD?x,aaveca=S1S2et x la distance de M au plan mediateur des deux sources alorsδ

2/1=nax/D. Les franges sont rectilignes (x=constante), equidistantes d'interfrangei=λD/na.

SoientS1etS2deux sources a l'inni, elles denissent deux ondes planes de direction-→uS1et-→uS2. On

choisit le point O tel queΦ2/1(O) = 0.Φ

2/1(M) = (-→k2--→k1)·--→OMavec

-→k1=2nπλ -→uS1et-→k2=2nπλ -→uS2.

Coherence temporelle. necessite d'un dispositif diviseur d'ondeL'emission lumineuse n'est pas continue. Elle se fait par emission de trains d'onde de duree moyenne

τgrande devant la periode du signal lumineux.

Deux sources lumineuses independantes sont incoherentes entre elles. Elles n'interferent pas etI(M) =Io1+Io2. Pour obtenir un systeme de franges d'interferences, il faut fabriquer deuxsources secondairesa partir de la m^eme source diteprimaire. On parle dediviseurs d'onde. Les deux sources secon-

daires sont dites coherentes entre elles (m^eme pulsation et en relation de phase constante : coherence

mutuelle). Coherence temporelleIl faut que les deux trains d'onde secondaires issus du m^eme train d'onde primaire se recouvrent temporellement au point M ce qui impose a la dierence de marche optique

???δ2/1(M)???< cτ=lc.lcest appelee longueur de coherence temporelle. Pour les lampes spectrales,

l c?mm au cm. Pour les lasers de TP,lc?quelques dizaines de metres.

Dispositifs diviseurs d'onde. Source primaire et sources secondairesTout se passera comme s'il y avait deux sources secondairesS1etS2coherentes entre elles que l'on

pourra localiser. On peut calculer le dephasage.Φ2/1(M) =2πλ ((SM)2-(SM)1) =2πλ ((SS2)- (SS1)) +2πλ ((S2M)-(S1M)). Il faut distinguerdiviseurs du front d'onde(miroirs de Fresnel, trous d'Young..) et lesdiviseurs d'amplitude(lames minces, interferometre de Michelson). 3 PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Interferometre de Michelson Equivalence a un coin d'air ou lame d'air quelconqueS miroir M1miroir M2OY OX entrée sortie séparatricesource observation miroir M1miroir M2 OX séparatrice

SOYmiroir M1

miroir M2 OY OX entrée sortie séparatrice observation V2 V'2 V1 V'1 Vt compensatrice Vc V'c

verre anti caloriqueOn fait lasymetriedu miroirM1(et de tous les rayons entre la separatrice etM1)par rapport a la

separatriceainsi que de la source S (et des rayons situes entreSet la separatrice).Cela ne change pas les chemins optiques.

L'inter^et de cette gure est de montrer l'equivalence de l'interferometre de Michelson a un coin d'air

ou lame d'air quelconque. Cette equivalence va nous ^etre tres utile, elle simpliera les schemas et la

comprehension du dispositif.Tout se passera comme si la source etait situee enS?, qu'il n'y avait pas de separatrice et qu'un coin d'air pouvait re echir les rayons lumineux.S?est la source primaire, par les miroirM?1etM2, on obtient les images virtuelles deS?:S?1etS?2.Tout se passe comme si on avait deux sources coherentes entre ellesS?1etS?2.Savoir les placer sur le dessin equivalent dans les cas coin d'air et lame d'air. 4

PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Franges d'interferences et localisation des franges avec une source etendue, "coherence spatiale"

Pour une condition particuliere auxdiviseurs d'amplitude, on peut etendre la source tout en gardant un bon contraste sur une surface : la surface de localisation. La surface de localisation est l'ensemble des points d'intersection des deux emergents correspondants au m^eme incident primitif.incident primitif i I J K e H M2 M1

M à l'infini

M2 M1 S' a H

HM = x

J I = M e(M) = IJ = ax arêtePour unMichelson en coin d'airavec uneclairage etendu parallele en incidence quasi normale, lesfranges d'interferencessont localisees sur le coin d'air.δ2/1(M) = 2e(M)?2αxet

les franges dites d'egale epaisseur sont paralleles a l'ar^ete du coin d'air et equidistantes. L'interfrange

vauti=λ2α. Pour unMichelson en lame d'air a faces parallelesavec uneclairage etendu convergentsur le miroirM1, lesfranges d'interferencessontlocalisees a l'inni.δ2/1(M) = 2ecosiet les franges

dites d'egale inclinaison sont des anneaux concentriques non equidistants (plus resserres sur les bords

qu'au centre). Lenombre maximald'anneaux brillants visiblesestE(2eλ

Appareil reel. TP CoursNecessite de lacompensatrice. Lapremiere etape du reglageconsiste a rendre la compensatrice

quasi parallele a la separatrice et a rendre les deux miroirs quasi paralleles. Reglages dits geometriques.

La deuxieme etapeconsistera a visualiser les franges du coin d'air, a les agrandir an de passer a une lame d'air a faces paralleles.

La troisieme etapeconsistera a visualiser les anneaux et a les rendre le plus rond possible, a chercher

le contact optiquee= 0. On pourra eectuer ensuite des mesures. Experimentalement, on chariote dans un sens quelconque. Si le nombre d'anneaux augmente et si les

anneaux semblent se "produire"au centre tout en se rapprochant les uns des autres alors on s'eloigne du

contact optique. En revanche, si le nombre d'anneaux diminue et si les anneaux semblent "dispara^tre"

dans le centre tout en s'ecartant les uns des autres alors on se rapproche du contact optique. C'est un

test infaillible. Au contact optique, il n'y a plus d'anneaux car il n'y a plus d'interferences (S?1=S?2) :

on observera une teinte uniforme, couleur de la source. 5

PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Interferences a deux ondes en lumiere polychromatique

On denit la densite spectrale en nombre d'onde ou intensite spectraleIsp(σ):dI=Isp(σ)dσpour une bande elementaire de largeur elementairedσ.

On va raisonner sur cette bande elementaire emise par la source primaire, le diviseur d'onde va creer

deux sources secondaires coherentes qui vont pouvoirinterfereret l'intensite elementaire correspon- dante au point M d'interferences sera calculee avec la formule de Fresnel. dI(M) =dIo1+dIo2+ 2?dI o1dIo2cosΦ2/1(M) Pour un diviseur d'onde symetrique,dI(M) = 2dIo(1+cosΦ2/1(M))cardIo1=dIo2=dIo=Isp(σ)dσ. Chaque bande elementaire est incoherente avec les autres, il faut sommer sur toutes les bandes donc integrer.I(M) =?∞

0dI(M) =?∞

02Isp(σ)(1 + cosΦ2/1(M))dσΦ

2/1(M) =φo+ 2πσδ2/1(M)et pour un milieu non dispersif,δ2/1(M)est independant deσ.

Cas d'un doublet de raies inniment nesI(M) = 2Io(1 + cos2πσ1δ) + 2Io(1 + cos2πσ2δ) I(M) = 4Io(1 + cos2πσmoyenδcosπΔσδ)

cos2πσmoyenδjoue le r^ole de terme d'interferences.Attention,ImaxetIminne sont plus constants,

ils dependent deδdonc le contraste aussi,C(δ) =|cosπΔσδ|.

Il s'annule periodiquement avec une periode

1Δσ. Quand le contraste s'annule, il y abrouillage pe-

riodique des franges d'interferencestandis queC= 1correspond a un renforcement des franges ainsi plus contrastees. Cas d'une raie rectangulaireI(M) = 2IspoΔσ(1 +sincπδΔσcos2πδσo)

Le termecos2πδσojoue le r^ole de terme d'interferences tandis que le terme|sinc πΔσδ|joue le r^ole

de terme de contraste , il s'annule pourδ=1Δσet decro^t ensuite. On peut admettre et retenir le critere suivant :pour une source polychromatique s'etendant sur une bande de nombre d'ondeΔσ, l'observation de franges d'interferences contrastees ne peut se faire que dans une zone d'extension enδ?1Δσautour de la frange centrale, cela correspond a la longueur de coherence de la source car?c?cτ?cΔν=1Δσ.

Interferences en lumiere blanchePour la frange centraleδ= 0, toutes les longueurs d'onde vont donner une frange brillante. On

observera donc du blanc qu'on appelleblanc brillantpar opposition au blanc d'ordre superieur. On observe, quandδaugmente, desirisationsde part et d'autre de la frange centrale (une radiation eteinte pour laquellepλ= 1/2). On observe ensuite une espece de blanc appelele blanc d'ordre superieur(plusieurs radiations eteintes dans le visible, spectre cannele). 6 PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Diraction

La diraction est perceptible pourdde l'ordre deλa la centaine deλ, d etant une longueur caracte-

ristique des variations spatiales de l'objet. Il faut adapter ce critere a la situation experimentale.

Unepupille planeest un plan qui agit sur les ondes lumineuses. La pupille in ue sur l'amplitude

mais aussi sur la phase, il convient donc de raisonner en amplitude complexe pour le signal lumineux.

Par denition de latransparence complexed'une pupille :a(Psortie) =T(P)a(Pentree)pour tout point P du plan. Deux pupilles sont dites complementaires si la somme de leurs transparences est 1 et si leur produit est nul pour tout point P du plan.

Principe d'Huygens FresnelInteressons-nous a un petit element de surfacedSPcentre au point P. Une onde lumineuse incidente

eclaire cet element de surface qui va la diracter. On peut supposer que la lumiere diractee, au point

P, a une amplitude elementaire proportionnelle a l'amplitude de l'onde incidente recue au point P et proportionnelle adSP.

En complexes,daP

=K ai(P)dSP. Principe d'Huygens-Fresnel: tout point d'une pupille eclairee par une onde incidente reemet une ondelette spherique de m^eme pulsation que l'onde incidente, d'amplitude complexe proportionnelle a celle de l'onde incidente recue au point P. Tous les points P eclaires etant dessources secondaires coherentes, les innites d'ondes diractees par chacun de ces points vont pouvoir interferer.

Diraction de Fraunhofer : onde incidente plane et diraction a l'inniMontage de Fraunhofer: une source, la pupille et deux lentilles convergentes : la premiere lentille

permet d'obtenir une source a l'inni, la seconde lentille permet de ramener le plan de l'inni a distance

nie et d'observer sur un ecran dans le plan focal image de la lentille .S

F'2O1O2

Z L1L2 M q x OF'1 pupille S' xM xS = SF'1L'onde incidente est plane de vecteur d'onde -→ki=2π nλ -→uiet l'onde emergente est plane de vecteur d'onde-→kd=2π nλ -→udavec-→ud. da(M) =K T(P)ai(Pentree)dSPexp-i-→kd·--→PM da(M) =K T(P)aoexp 7 PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12adiractee (M) =Kexp iωt? pupilleT(P) exp-i(-→ki--→kd)·--→OPdSPI diractee(M) =C? pupilleT(P) exp-i(-→ki--→kd)·--→OPdSP(?

pupilleT(P) expi(-→ki--→kd)·--→OPdSP)?Le plan de la pupille est noteOxy, le vecteur--→OPa pour coordonnees(x,y,0)et le point M est repere

par le vecteur-→k=-→ki--→kd, de coordonneeskxetky. adiractee (kx,ky) =Kexp iωt∞?

T(x,y) exp-i(kxx+kyy)dxdy

k x=-2π nλ xM-x?Sf ?2? =-2π nλ (sinθx-sinix) k y=-2π nλ yM-y?Sf ?2? =-2π nλ (sinθy-siniy) Cette formulation met bien en evidence le r^ole joue par l'image geometrique(kx= 0,ky= 0)de la source.

Si la transparence est reelle, la gure de diraction est centree sur l'image geometrique de la source. Si

la transparence admet un centre de symetrie alors la gure de diraction admettra l'image geometrique de la source comme centre de symetrie. Si la pupille possede un axe de symetrie alors sa gure de diraction s'organise line quement perpen- diculairement a cet axe.

Pupille rectangulaire et cas limite de la fenteI

diractee(kx,ky)) =I(0,0)sinc(kxa2 )2sinc(kyb2 )2pour une pupille plane rectangulaire de surface ab. L'intensite maximaleest obtenue en l'image geometrique de la source, lesextensions angu- laires de la tache centralede diraction pour un rectangle de surfaceabsont2λa et2λb selon les deux directions concernees. Latache centraleestdeux fois plus grandeque lestaches secondaires. Quand on observe a l'inni avec lentille, il sut de multiplier les angles par la distance focalef?2. Quand on observe a l'inni sans lentille, en fait a tres grande distance D, il sut de multiplier les angles par D. Sia?b, on obtient une fente dite inniment ne de directionOy. I diractee(kx,0) =I(0,0)sinc2(kxa2 I diractee(kx,ky) = 0siky?= 0 Nous observons sur l'ecran une gure de diraction qui s'etend line quement dans une direction per-

pendiculaire a la direction de la fente. Cela ne diracte plus dans la direction de la fente car la pupille

est de longueur innie selonOyc'est a dire de longueurb?λ.

Trou circulaire8

PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12La gure de diraction a la symetrie de revolution autour de l'image geometrique de la source. Le

rayon angulaire du premier anneau sombre est0,61λR avecRle rayon du trou donc le diametre de la tache centrale lumineuse est1,22λR . On appelle la tache centrale latache d'Airy. L'intensite decro^t tres vite, le premier maximum secondaire ne vaut plus que1,75%de l'intensite maximale. On dit qu'il y aapodisation. Lagure de diractionestinchangeepartranslation de la pupille dans son plan. Toutedilatationde lapupilledans une direction se traduit par unecontractionde lagure de diractiondans la m^eme direction et toute contraction de la pupille dans une direction se traduit par une dilatation de la gure de diraction dans la m^eme direction. Pupille et gure de diraction forment un bloc pour une rotation autour de l'axe optique. Quand la sourceSse deplace, l'image geometriqueS?se deplace et la gure de diraction centree surS?pour une pupille a transparence reelle se deplace en bloc avecS?. La gure de diraction de deux pupilles complementaires est la m^eme sauf en l'image geometrique de la source.

Dispositif des deux fentes d'YoungNecessite d'une fente source parallele aux deux fentes pour obtenir des franges d'interferences sur

l'ecran. aF

2(kx,ky) = exp-i-→k·---→O1O2aF

1(kx,ky)

2/1(M) =-→k·---→O1O2I

2 fentes(M) = 2I1 fente(M)(1 + cosΦ2/1(M))Limitation du pouvoir separateur des instruments d'optique

Critere de Rayleigh : l'ecart angulaire des deux images doit ^etre superieur au rayon angulaire image

de la tache de diraction an de les separer soit dans l'espace objetα >0,61λR 9 PC* Lycee HocheESSENTIEL OptiquePascale Piquemal 11/12Interferences a N ondes coherentes. Reseaux Interferences a N ondes coherentes de m^eme amplitude et de dephasage constanta(M,t) =ao expiωtN-1? n=0expinφ=ao expiωt1-expiNφ1-expiφ =ao expiωtexpiNφ/2exp iφ/2exp -iNφ/2-expiNφ/2exp -iφ/2-expiφ/2=ao expiωtexpi(N-1)φ/2sinNφ/2sinφ/2I(M) =IoN2?sinNφ/2Nsinφ/2?

2=IoN2R2N(φ/2) =Io(terme d'interferences a N ondes)2On denit la fonction reseau par :RN(x) =?sinNxNsinx?

avecx=φ/2. Retenonsles principaux resultats de l'etude de la fonction reseau au carre. Quandx=nπavecnentier relatif,R2N(x) = 1, ce sont des maxima principaux. Elle s'annule(N-1)fois sur l' intervalle[0,π]pourx=nπN avecnentier,n?[1,N-1]. Il y a (N-2)maxima secondaires sur l'intervalle[0,π], chaque maximum secondaire est situe entre deux annulations. Retenir que la largeur en x d'un maximum principal est

2πN

Qualitativement, les N ondes coherentes interferent au point M. Si deux ondesnetn+ 1sont en phase,φ(M) = 0modulo2π, alors les N ondes sont en phase et on prevoit un maximum pour l'intensite. SiN?1etφ?= 0modulo2π, les N ondes qui interfereront auront des phases quelconques les unes par rapport aux autres et l'intensite resultante sera negligeable. On prevoit donc, sans aucun calcul, qu'il n'y aura de la lumiere qu'en les maxima principaux donnes par l'equationφ= 0modulo2πsiN?1.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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