Applications linéaires matrices
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
Applications linéaires
Exercice 9. Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et ? une application linéaire de E dans F. Montrer que ? est un isomorphisme si et seulement
Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid
1) Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? 2) Déterminer le noyau de f. L'application linéaire f est-elle injective ? 3) Quelle est l
Polycopié MAT101
25 févr. 2021 Exercice corrigé. ... Matrice d'une application linéaire matrice de la composée. ... couvre les concepts de base de l'algèbre linéaire.
Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid
1) Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? 2) Déterminer le noyau de f. L'application linéaire f est-elle injective ? 3) Quelle est l
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
et linéaire donc son noyau N est un sous-espace vectoriel de L(E). Exercice 9 : Soit F l'ensemble des applications de classe C1 de R dans R vérifiant.
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Notion de Matrice Associée à une Application Linéaire et Calcul. Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés. 57. 1. Espace vectoriel des matrices.
Feuille dexercices I : révisions dalgèbre linéaire 1
Exprimer A4 en fonction de A2 A et I. Exercice 19. Soit b la base canonique de R4. Soit u l'application linéaire dont la matrice dans b est.
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Une application linéaire est une application d'un espace vectoriel dans un autre Algèbre 1ère année - Cours et exercices avec solutions.
Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1
Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1. Exercice 1. (*) Soit (a1a2
Applications linéaires matrices déterminants
Soit :?3??2définie pour tout =( 1 2 3)??3par ( )=( 1+ 2+ 32 1+ 2? 3) 1 Montrer que est linéaire 2 Déterminer ker( ) Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit :?3??2définie par ( )=( + + ? +2 +2 ) On appelle =( 1 2 3)la base canonique de ?3(et ?= 1 2)la base canonique de ?2 1
V Applications linéaires - Université Sorbonne Paris Nord
Exemple V 1 7 Soit ~u= (1;3)~v= (1;4) Alors il existe une unique application linéairef: R2!R3 tellequef(~u) = ( 1;2;3)f(~v) = (0;0;0) ExerciceV 1 8 Soit(x;y) 2R2 Calculerf(x;y) oùfestl’applicationdel’exemple précédent (Correctionp 66) V 2 Applicationslinéairesetmatrices V 2 a Matricedereprésentationd’uneapplicationlinéaire
Algèbre linéaire 2L2 - MATH
Feuille d"exercices I : révisions d"algèbre linéaire 1Exercice 1
1.Montrer que les vecteursv1= (0;1;1),v2= (1;0;1),v3= (1;1;0)forment une base deR3.
(a) Trouver les composantes du vecteurw= (1;1;1)dans cette base. (b) Trouver les composantes des vecteurs canoniquese1,e2,e3dans cette base.2.DansR3, donner un exemple d"une famille libre qui n"est pas génératrice.
3.DansR3, donner un exemple d"une famille génératrice qui n"est pas libre.
Exercice 2
Pour quelles valeurs det2Rles vecteursf(1;0;t);(1;1;t);(t;0;1)gforment-ils une base deR3?Exercice 3
SoitEun espace vectoriel de dimension3et de baseB= (e1;e2;e3). Les familles de vecteurs suivants deEsont-elles des familles libres ou liées? Sont-elles des bases? Pour chacune de ces familles, donner son
rang. Pour les familles liées en extraire une famille libre maximale et pour les familles libres les compléter
par des vecteurs deBpour obtenir une base deE. (a)(e1+e2+e3;e1+e2+e3) (b)(e1e3;e1+e2;e2+e3) (c)(e1+e2+e3;2e1e2+ 2e3; e12e2e3).Exercice 4
1.Est-ce que le sous-ensembleE=f(x;y)2R2jy= 2xg, muni des lois habituelles de l"espace
vectorielR2, est unR-espace vectoriel?2.Est-ce que le sous-ensembleF=f(x;y;z)2R3jy2= 2x; z= 0g, muni des lois habituelles de
l"espace vectorielR3, est un sous-espace vectoriel deR3?Exercice 5 (Extrait du partiel d"octobre 2017)
DansE=R4, soitF=f(x;y;z;t)2E:x+y+zt= 0et2y+z+t= 0g.1.Déterminer une base deF.
2.Déterminer un supplémentaire deFdansE.
Exercice 6
Soienta= (2;3;1),b= (1;1;2),c= (3;7;0),d= (5;0;7). SoientE=< a;b >etF=< c;d >.Montrer queE=F.
Exercice 7
Les fonctionsx7!cos(x),x7!cos(2x)etx7!cos(3x)sont-elles linéairement indépendantes dans l"espace
vectoriel réelC(R;R)des fonctions continues surR? 1Exercice 8
SoitE=f(x;y;z)2R3jx+y+z= 0g. Soienta= (1;2;3)etb= (2;1;1). On poseF=< a;b >.1.Montrer queEest un sous-espace vectoriel deR3.
2.DéterminerE\F.
3.A-t-onR3=EF?
Exercice 9
SoitE=f(x;y;z;t)2R4jxy= 0etzt= 0g.
1.Montrer queEest un sous-espace vectoriel deR4.
2.Déterminer une base deE.
3.Compléter cette base en une base deR4.
Exercice 10 (Extrait du partiel d"octobre 2018)
On muni l"espace vectorielE=R4de sa base canonique. Soit F 1=n (x;y;z;t)2Etels que(4x2yzt= 0
2xy2z+t= 0o
etF2le sous-espace vectoriel deEengendré par(1;1;2;1)et(1;2;1;1).1.(a) Montrer queF1est un sous-espace vectoriel deE. Trouver une base deF1.
(b) Quelles sont les dimensions deF1etF2? (c) Montrer queE=F1F2.2.Pour toutu2E, on noteu12F1etu22F2les vecteurs correspondants à la décomposition
u=u1+u2dansE=F1F2. Déterminer les coordonnées deu2dans la base canonique deEen fonction de celle deuet en déduire les coordonnées deu1.3.On définit l"application
p:E!E u7!u2 (a) Montrer quepest un endomorphisme deE. (b) Quelles sont les coordonnées dep(u)dans la base canonique deEen fonction de celles deu?Exercice 11
On considère l"applicationh:R2!R2définie par :h(x;y) = (xy;3x+ 3y).1.Montrer quehest une application linéaire.
2.Montrer quehn"est ni injective ni surjective.
3.Donner une base de son noyau et une base de son image.
Exercice 12
On considère l"application linéairef:R4!R2définie parf(x;y;z;t) = (x+y+z+t;x+2y+3z+4t).1.Quelle est la matrice defdans les bases canoniques deR4etR2?
2.Déterminer le noyau def. Est-ce quefest injective?
3.Déterminer l"image def. Est-ce quefest surjective?
2Exercice 13
SoientEunR-espace vectoriel de dimension3etB=fe1;e2;e3gune base deE. On considèrefl"appli- cation linéaire deEversEtelle que : f(e1) =e1+e2+e3 f(e2) = 2e1e2+ 2e3 f(e3) = 4e1+e2+ 4e31.Quelle est la matriceAdefdans la baseB? Siu2Ea pour coordonnées(x;y;z)dans la base
B, quelles sont les coordonnées def(u)dans la baseB?2.Calculerf(e1+ 2e2).
3.Déterminer le noyau et l"image def.
4.Ces sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires?
5.Quelle est la matrice def2dans la baseB? En déduiref2(e1),f2(e2)etf2(e3).
Exercice 14
Soitf:R4!R3l"application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques deR4etR3est A=0 @1 2 1 31 1 2 1
12 5111
A1.Déterminer une base du noyau def.
2.Déterminer une base de l"image def. Quel est le rang deA?
Exercice 15
Déterminer le rang de la matrice
A=0 BB@1 1 2 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 2 1
2 1 1 1 11
C CAExercice 16
SoitBla base canonique deR3. Soitul"application linéaire qui à un vecteur(x;y;z)2R3associe le vecteuru(x;y;z) = (y2z;2xy+ 4z;xy+ 3z).1.Déterminer la matriceAdeudans la base canoniqueB.
2.Déterminer une base(a;b)deKer(uId).
3.Donner un vecteurctel queKer(u) =< c >.
4.Montrer queB0=fa;b;cgest une base deR3.
5.Déterminer la matriceDdeudans la baseB0.
6.Montrer que Im(u) =Ker(uId).
7.Montrer que Ker(u)Im(u) =R3.
Exercice 17 (Extrait du partiel d"octobre 2017)
SoientEunk-espace vectoriel de dimension3etfun endomorphisme deE. Déterminer le rang def dans chacun des cas suivants :1.f6= 0etf2= 0.
2.f26= 0etf3= 0.
3Exercice 18
On considère la matrice
A=0 @1 0 0 0 0 1 01 01 A1.CalculerA2etA3. CalculerA3A2+AI.
2.ExprimerA1,en fonction deA2,AetI.
3.ExprimerA4en fonction deA2,AetI.
Exercice 19
SoitBla base canonique deR4. Soitul"application linéaire dont la matrice dansBest 0 BB@7 6 6 6
0 2 0 0
3 3 2 3
6 3 6 51
C CASoienta;b;c;dles quatre vecteurs
a=2e1e2e3e4; b=e2e4; c= 2e1+e3+e4; d= 3e1+e3+ 2e41.Montrer queB0=fa;b;c;dgest une base deR4.
2.Calculeru(a);u(b);u(c);u(d)dans la baseB0.
3.En déduire la matriceDdeudans la baseB0.
4.Déterminer la matrice de passagePdeBàB0.
5.CalculerP1etP1AP.
Exercice 20
Soitf:R2[X]!R2[X]définie parf(P) =P(X2)P0.
1.Montrer quefest une application linéaire.
2.Montrer quefest un endomrphisme deR2[X].
3.Déterminer le noyau et l"image def.
4.Déterminer la matrice defdans la baseB=f1;X;X2g.
5.Montrer queB0=f1;X2;(X2)2gest une base deR2[X].
6.Déterminer la matrice de passagePdeBàB0. CalculerP1.
7.Quelle est la matrice defdans la baseB0.
Exercice 21
SoientEun espace vectoriel etu;vdeux endomorphismes deE.1.Montrer queKer(u)Ker(u2).
2.Montrer queIm(u2)Im(u).
3.Montrer queKer(u)\Im(u) =u(Ker(u2)).
4.Montrer queu(Ker(vu)) = Ker(v)\Im(u).
5.Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Ker(u)\Im(u) =f0g. (ii) Ker(u) =Ker(u2). 4Universit
e de Lorraine - Metz Annee universitaire 2018 - 2019 Alg ebre lineaire 2L2 - MATHFeuille d'exercices II
Exercice 1
Pour chacune des permutationssuivantes :
1=1 2 3 4 5 6
3 5 4 6 2 1
2=1 2 3 4 5 6 7
3 5 6 7 1 2 4
3=1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 6 9 7 2 5 8 1 3
1. Decomposeren produit de cycles a supports disjoints.
2. Decomposeren produit de transpositions.
3. Donner la signature de.
4. Calculer1001,20012et1003.
Exercice 2
Soitn1 un entier. Determiner la signature de la permutation suivante: =1 2n1n n n12 1Exercice 3
Soientn2 et 2kndes entiers.
Combien le groupeSnpossede-t-il de cycles de longueurk?Exercice 4
1. Soientn4 eta;b;c;d2 f1;;ngtous distincts. Caracteriser (ab)(cd)(da) ?
2. Que dire d'une permutation deSnpossedant au moinsn1 points xes ?
3. Une permutationstelle ques2=idest-elle necessairement une transposition ?
4. Enumerer tous les elements deS4.
Exercice 5
Pourn1, on noteAnl'ensemble des elements deSnde signature egale a 1.1. Demontrer queAnest un sous-groupe deSn. (Anest appele groupe alterne d'indicen.)
2. Enumerer tous les elements deA3etA4.
3. On suppose desormais quen2 et on xeune transposition deSn. Demontrer que l'application
:Sn!Sn; 7! est une bijection. En deduire le cardinal deAn.Universit
e de Lorraine - Metz Annee universitaire 2018 - 2019 Alg ebre lineaire 2L2 - MATHFeuille d'exercices III
Exercice 1Dans chacun des cas suivants dire si l'application'deR3R3R3dansRest multilineaire. (1)'0 @x 1 x 2 x 31A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1+y2+z3. (2)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1y3+y2z1+z3x2. (3)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2. (4)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
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