5 Etude des groupes (Z/nZ) PDF Quel est l'ordre de (

5 Etude des groupes (Z/nZ)

Quel est l'ordre de (Z/nZ)? pour n ? {5 8

Cours dArithmétique

1Cela permet d'ailleurs de donner un sens précis et agréable à ce qu'est le dernier chiffre d'un entier négatif. 6. Page 7. 3 Équations dans Z/nZ. 3.1 ?

Exercice 1. Équations linéaires Résoudre dans Z/37Z : 1) { ?3x + ?7y

Z/nZ. Exercice 1. Équations linéaires. Résoudre dans Z/37Z : 1) Montrer qu'une équation du second degré : x2 + ax + b = ?0 admet une solution dans Z/pZ ...

cours-exo7.pdf

On définit une addition sur Z/nZ par p+q = p+ q. L'équation du second degré az2 + bz + c = 0 où a

ficall.pdf

20 104.02 Racine carrée équation du second degré 146 205.02 Anneau Z/nZ

1) Exercice 6. (Z/2n

Z/nZ. Khôlles - Classes prépa. Thierry Sageaux Lycée Gustave Eiffel. 1) Montrer qu'une équation du second degré : x2 + ax + b = ?0 admet une solution ...

Exo7 - Exercices de Michel Quercia

Exercice 2946 Équations du second degré Application : déterminer tous les morphismes : Z/nZ ? Z Z/nZ ? C?

TD n 2. 1 Arithmétique

c) l'anneau Z/nZ n'a pas d'élément nilpotent non nul ssi n n'a pas de facteur carré. Ce n'est pas B1 d'après la seconde equation donc B2 = 0.

SECOND DEGRÉ - maths et tiques

Partie 1 : Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme !!"+$"+ =0 où ! $ et sont des réels avec !?0 Exemple : L'équation 3"!?6"?2=0 est une équation du second degré Définition : On appelle discriminant du trinôme !"!+$"+ le nombre D=$?4!

Équations du second degré - Weebly

Théorème – Solutions de l’équation et factorisation du trinôme Solution(s) de l’équation Pas de solution Une solution « double » : Deux solutions distinctes : ? ? Factorisation de par des termes Pas de factorisation du premier degré ) Exemples a) Résoudre dans l’équation

Quelle est la forme d'une équation du second degré?

Les équations du second degré sont de la forme : L'équation a alors deux solutions distinctes dans R, qui sont : Ici a = 1, b = - 5 et c = 6. Dans ce cas il y a une seule solution réelle : Dans ce dernier cas l'équation n'a PAS DE SOLUTION dans R.

Quel est le degré d’une équation ?

Le degré d’une équation est la plus grande valeur de l’exposant des inconnues. Si le degré est 2 , l’équation du 2nd degré … b) 2x² + 3x - 5 = 0 est une équation du 2nd degré. On conserve une égalité en ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres.

Comment écrire l’équation Zn 2+ + 2e- ?

Zn 2+ + 2e- ? Zn. Petite remarque avant de passer aux cas plus complexes : on a vu que l’équation s’écrivait oxydant + électrons ? réducteur. Mais on peut très bien écrire l’équation dans l’autre sens : réducteur ? oxydant + électrons. Ce sera l’énoncé qui te dira dans quel sens écrire l’équation.

Comment calculer le théorème de Wilson ?

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Wilson : un entier n ? 2 est premier si et seulement si (n ? 1)! ? ? 1 [n]. Soit p ? 2 premier. Combien de solutions l'équation x2 = 1 admet-elle de solutions dans Z / pZ ?

UNIVERSITE DE PARIS 7

Annee 2000-2001, DEUG 2eme annee

Groupes et arithmetique (MT282)

5 Etude des groupes(Z=nZ)

5.1 Arithmetique

1. Quel est le dernier chire de 7777

7777?

2. Quels sont les restes des divisions euclidiennes de 900

2000et de 101102103par 13 ?

3. Quel est le reste de la division euclidienne de 31

3233par 7 ?

4. Quel est le reste de la division euclidienne de 100

100100par 12 ?

5.2 Isomorphismes(Z=nZ;)' i(Z=niZ;+)

1. Quel est l'ordre de (Z=nZ)pourn2 f5;8;13;19;21;25;27;33;36g?

2. Lesquels de ces 9 groupes sont isomorphes deux-a-deux ?

3. Les groupes (Z=45Z)et (Z=56Z)sont-ils isomorphes ?

5.3 Algorithme de calcul

Soient (G;) un groupe etgun element deGd'ordre nim. On veut calculergnpour un entier nque l'on suppose inferieur am.

1.Premiere methode :On calculeg2,g3,g4, ... jusqu'agn. Combien d'operations eectue-t-on

alors ?

2.Deuxieme methode :On considere le developpement en base 2 den:n=c0+c1:2+c2:22+

+ck:2k. Lescisont donc des entiers egaux a 0 ou 1 etkest la partie entiere du logarithme en base 2 den. On calculeg2,g4= (g2)2,g8, ... jusqu'ag2k.

Exprimergnen fonction desg2iet descipouri= 0:::k.

3. Combien eectue-t-on alors au maximum d'operations dansGpour obtenirgn?

4. Calculer 9

39dansZ=83Zpuis 1123dansZ=101Z.

5.4 Diviseurs de zero

SoitAun anneau commutatif. On appelle un elementadeAdiviseur de zeros'il existeb2A non-nul tel queab= 0.

1. Montrer qu'un element inversible deAn'est pas un diviseur de zero.

2. On pose maintenantA=Z=nZ, ounest un entier naturel non-nul. Sian'est pas un diviseur

de zero deZ=nZ, montrer que l'ensemblefabjb2Z=nZgest en bijection avecZ=nZ.

3. En deduire que les elements inversibles deZ=nZsont les elements qui ne sont pas des diviseurs

de zero. 1

5.5 Diviseurs premiers des nombres de Fermat

Soitnun entier naturel. On rappelle que len-eme nombre de Fermat est l'entierFn= 22n+ 1.

1. Soitpun nombre premier divisantFn. Quelle est la classe deFndansZ=pZ?

2. Quel est l'ordre de 2 dansZ=pZ?

3. En deduire que 2

n+1divisep1. Remarque :Ainsi par exemple 641 = 10:26+ 1 diviseF5, comme on l'a vu dans la feuille 1.

5.6 Carres dans Z=pZ

Soientpun nombre premier impair,xun element non-nul deZ=pZ.

1. Que vautxp1? Quel peut ^etre l'ordre dexp12?

2. Quelles valeurs peut prendrexp12?

3. On dit qu'un elementxdeZ=pZest un carre s'il existey2Z=pZtel quex=y2. Quels sont

les carres deZ=13Z?

4. Que vautxp12sixest un carre ?

5. Soitx0un generateur de (Z=pZ). Que vautx0p12?

6. Soitx2(Z=pZ)tel quexp12= 1. En utilisant le fait quex0engendre (Z=pZ), montrer

quexest un carre dansZ=pZ. En deduire la regle suivante : Un elementxde(Z=pZ)est un carre si et seulement sixp12= 1.

7. On considere le groupe multiplicatiff1g. Montrer que l'application

": (Z=pZ)! f1g x7!xp12 est un morphisme de groupe surjectif. En deduire l'ordre de son noyau puis le nombre de carres de (Z=pZ).

8. Verier les deux questions precedentes en supposantp= 7.

5.7 Equations du second degre dans Z=nZ

1. Resoudre l'equationx2+ 4x1 = 0 dansZ=11Z.

2. Montrer en utilisant l'exercice precedent que l'equationx2+ 5x+ 2 = 0 n'a pas de solution

dansZ=11Z.

3. En utilisant le lemme chinois, resoudre l'equationx2+ 6x13 = 0 dansZ=21Z.

4. Resoudre l'equationx2+ 3x+ 2 = 0 dansZ=6Z.

5. Resoudre l'equationx2+ 4x+ 6 = 0 dansZ=9Z.

5.8 Theoreme de Wilson

Le but de ce probleme est de montrer le theoreme de Wilson : Un entiern >1est premier si et seulement si(n1)! 1 (modn).

1. Supposons d'abord quenn'est pas premier. Soitpun nombre premier divisantn. Quelle est

la classe de (n1)! dansZ=pZ? En deduire que (n1)! ne peut ^etre congru a1 modulo n.

2. Reciproquement, sipest un nombre premier, montrer que pour tout entierxtel que 0< x <

p, il existe un entierytel que 0< y < petxy1 (modp). Dans quel cas a-t-ony=x?

3. En deduire que (p1)! 1 (modp) et conclure.

5.9 Racine carree de1

1. Soitpun nombre premier impair. Montrer que1 est un carre dansZ=pZsi et seulement si

p1 (mod 4).

2. Montrer que [(

p12)!]2(1)p12(p1)! (modp), puis calculer [(p12)!]2dansZ=pZen utilisant le theoreme de Wilson.

3. Sip1 (mod 4), donner une expression des racines carrees de1.

3quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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